一轮复习专题6.3 数列的通项公式（解析版）教案

6.3数列的通项公式

一、必备知识：

1．数列的概念

(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的________．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做__________)，排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以，数列的一般形式可以写成__________，其中an是数列的第n项，叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．

(2)通项公式：如果数列{an}的__________与序号__________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

(3)从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列________．

(4)数列的递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项__________与它的前一项__________ (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

(5)数列的表示方法有__________、__________、__________、__________.

2．数列的分类

(1)数列按项数是有限还是无限来分，分为__________、__________.

(2)按项的增减规律分为__________、__________、__________和__________．

递增数列⇔an＋1______an；

递减数列⇔an＋1_____an；

常数列⇔an＋1______an.

递增数列与递减数列统称为__________．

3.常见的递推关系、变形方法及求法：

（1），用累加法.

（2），用累积法.

（3），取倒数变形为，为等差数列，利用公式可求的通项公式，从而可求的通项公式.

（4），变形为，利用累加法可求的通项公式，也可以变形为，利用等比数列的通项公式求的通项公式，两种方法都可以得到的通项公式.

附：数列通项相关公式:

(1),

(2)（当时，两式的值相同则合二为一，否则按此形式写出。）

(3) 累加公式:

(4) 累积公式:

（5）等差数列通项公式：＝

（6）等比数列通项公式：＝

自查自纠：

1．(1)项　首项　a1，a2，a3，…，an，…(2)第n项　n　(3)函数值　(4)an　an－1

　(5)通项公式法(解析式法)　列表法　图象法　递推公式法

2．(1)有穷数列　无穷数列　(2)递增数列　递减数列　摆动数列　常数列　＞　＜　＝　单调数列

二、题组探究：

题组一：

1．已知数列的前n项和，则其通项公式为_________ ．

【答案】

【解析】当时，，当时，，而也满足，所以。

2．已知数列的前n项和，则数列的通项公式          ．

【答案】

分析：当时，，当时，

，

验证当时，，所以

3．已知数列的前项和，则其通项公式____________.

【答案】

分析： 当时，对n=1也适用，故．

4．已知数列的前n项和，数列的通项公式为：              ．

【答案】

【解析】当时，，当，不适合，故．

5．已知数列的前项和，其中，…，那么通项公式______．

【答案】

分析：时，；时，

，所以．

题组二：

6．已知数列的前n项和为，那么该数列的通项公式为=_______.

【答案】

分析：当时，；当时，将代入上式可得.综上可得.

7．已知数列{}的前n项和（），那么数列{}的通项=_____．

【答案】

【详解】由题意可得，当时，，当时，.综上可得，数列的通项公式为：.

8．已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，则数列{an}的通项公式为_________.

【答案】

【详解】由log2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，显然a1不符合上式，所以数列{an}的通项公式为

9．已知数列的前n项和，则该数列的通项公式是___________

【答案】

【解析】当 时 ；当 时

10．已知数列{an}的前n项和，则数列的通项公式为________.

【答案】

题组三：

11．数列{an}满足，则an=　     　．

【答案】

分析：当n=1时，可得，即a1=14当n≥2时，  两式相减可得，∴，当n=1时，a1=14不适合上式,故故答案为：

12．数列的前项和为，且，则数列的通项公式        .

【答案】

分析：由可知，当时有，两式相减得，，由可知当时，可得，此时仍然成立，所以，由此可解得数列的通项公式，故答案填.

13．数列满足,则________．  

【答案】

分析：令，的前项和为，则.当时, ;当时,将代入上式可得,综上可得,即,所以.

14．若数列满足，则数列的通项公式为___________．

【答案】．

由题

题组四：

15．在数列中，，则数列的通项公式为________________.

【答案】

【详解】因为，所以数列是公差为3的等差数列，

所以.所以数列的通项公式为.故答案为

16．若数列满足，且，则数列的通项公式为_____.

【答案】2n

【解析】由递推公式可得：，数列是等差数列，故：

.

17.已知数列满足且当，则的通项。

【答案】

【详解】当，    得所以数列的首项为5，公差为4的等差数列．

18.在数列中，，，则的通项。

【答案】

【详解】

数列为等差数列,公差为,

19．数列满足，则数列的通项公式为________.

【答案】  

详解：由题意可得：a1=1，且an+1=，则a2==，a3==，a4==,…∴通过观察归纳出规律：其通项应是分子为1，分母与相应的下标相同，故an=（n∈N*）．

可用数学归纳法或取倒数法加以推理证明，故答案为：   ．

20．设数列的前项积为，且. 则数列的通项公式_____

【答案】

【详解】由，两边同除以，可得，是等差数列，首项为，公差为..   当时，,  时也成立. 故填.

21．设数列的前n项和为,若且（n≥2）则的通项公式_______．

【答案】

解：时，由 可得化为 是公差为 ，首项为的等差数列，，时， ，又因为 ，故答案为.

22．若为数列的前项和，且，，则数列的通项公式为         ．

【答案】

分析：当时，，当时，根据，有，两式相减得，所以数列和数列成公差为的等差数列，故.

题组五：

23．已知数列满足则=________

【答案】

分析：由题意可知，  相加，可得 ，所以

24．已知数列满足那么的值是（   ）

A．20092      B．2008×2007       C．2009×2010   D． 2008×2009

【答案】D

分析：

25．在数列中，， ，则  （    ）

A．      B．  C．     D．

【答案】A

【详解】因为在数列中，， ，则，累加法可知，选A

26．在数列中，，对于任意自然数，都有，则（   ）

A.        B.        C.       D.

【答案】D

【详解】 累加得：

由①-②得：故选D．

题组六：

27．在数列中，若，，则该数列的通项公式为__________

【答案】

【详解】由可知数列为等比数列，公比为2，所以通项公式为

28．在数列中，，，则数列的通项公式为_________.

【答案】

【详解】方法1：令，即与，比较得，

又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；

方法2：因为，所以，所以，

所以是等比数列，首项，公比，

所以，即，即，故答案为：.

29．已知数列的前n项和，则的通项公式          

【答案】

【详解】令，得，，当时，，所以，所以，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以．

30．在数列中，已知, 则数列的通项公式为____________．

【答案】

【解析】 因此

31．若数列满足 （），，则数列的通项公式为        .

【答案】

【详解】等价于，故是以，公比为的等比数列，故.

32．在数列中，已知，，则数列的通项公式为________．

【答案】

【详解】因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．当且时，，当时，符合上式，所以．

题组六：

33．若数列的前n项和为，且满足，则数列的通项公式是______.

【答案】

【详解】令，，则由于......(1)，

当时，.......(2),(2)-(1)得：，

则，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列，

则数列的通项公式为.

34．设数列的前n项和为若且则的通项公式____．

【答案】

【详解】当n≥2时，Sn﹣1=an+1，Sn=an+1+1，作差可得，an=（an+1﹣an），故an+1=3an；当n=1时，3=a2+1，解得，a2=4；故数列{an}从第2项起成等比数列，故an=

35．数列的前n项和记为，，，则的通项公式为______．

【答案】

【详解】由，可得，.当时，.

所以可得.所以，的通项公式为.代入同样成立，

所以数列的通项公式为，.

36．如果数列的前n项和，则此数列的通项公式_______________.

【答案】2n－1

【详解】当时，，整理得，又由当时，，即，所以数列构成首项为1，公比为2的等比数列，

所以数列的通项公式为．

37．若数列的前n项和为，则数列的通项公式是_______．

【答案】

【详解】当n=1时，，

时，

故数列从第二项开始是以-2为首项，-2为公比的等比数列，故当时，，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：

38． 数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为_______________.

【答案】

【解析】试题分析：当时，，所以，即，又，所以，综上所述，.

39．数列的前项和为，若，，则数列的通项公式__________．

【答案】

【解析】∵①，当时，，当时，②，两式相减可得即，则时不符合，故数列为从第二项起为首项为3，公比为4的等比数列，故其通项公式为，故答案为.

40．已知数列的前项和为，，，,则（   ）

A．         B．        C．       D．

【答案】D

【详解】因为，所以，则数列是等比数列，

题组七：

41．已知数列满足，则数列的通项公式为________.

【答案】

【详解】数列满足，则当时，，

所有的式子相乘得，整理得（首项符合通项）.故.故答案为：

42．数列中，已知，则数列的通项公式为               ．

【答案】

【详解】由已知得，所以有：即；故答案为

43．设是首项为1的正项数列，且(=1，2，3，…)，则它的通项公式是=(      ).

A．100    B．    C． 101      D．

【答案】B

【详解】由得

,所以.

44．已知数列，则数列的通项为      

【答案】

【详解】∵ ①，∴当n≥2时， ②，

①     ﹣②得：，即：，∴，

∴，当n=1时，结论也成立．∴．

三、自我检测：

1．已知一个数列的前n项和是，那么该数列的通项公式________.

【答案】.

【详解】 , ,当时，又也适合，故，

2．已知数列的前n项和，则该数列的通项公式=______________.

【答案】

【详解】当时，当时，，因为不适合该式，所以.

3．已知数列的前n项和,则数列的通项公式为________

【答案】

【详解】数列的前项和为,,

时, ,时上式也成立，

,故答案为.

4．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n－1，则数列{an}的通项公式为________________.

【答案】

【解析】当n＝1时，a1＝S1＝－2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，

所以数列{an}的通项公式为.

5．已知数列{an}的前n项和为，则数列{an}的通项公式an＝________．

【答案】

详解：当时，,

当时，,

且当时，，据此可得：数列{an}的通项公式an＝

6．已知数列的前n项和，那么__________.

【答案】.

【详解】当时，；

当时

当时，满足，所以.故答案为

7．在数列中, 猜想数列的通项公式为________.

【答案】

【详解】由，可得：；，……猜想数列的通项公式为：

8．已知数列的前项和为满足，则数列的通项公式________.

【答案】

【详解】，故，，故是以2为公差，以2为首项的等差数列，，，，综上所述可得

9．设是数列的前项和，，且，则数列的通项公式为________．

【答案】

【解析】当n=1时，，解得a1=3；当n≥2时， 整理，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0．因为an＞0，所以an﹣an﹣1﹣3=0，即an﹣an﹣1=3，

所以{an}是以3为首项，3为公差的等差数列，所以an=3+3（n﹣1）=3n，即an=3n．

10.在数列中，，，则的通项。

【答案】

【详解】

11．若数列满足，则数列的通项公式为         ．

【答案】

【详解】，，，．

是首相为，公比为2的等比数列．所以． ．

12．已知数列中，，则数列通项公式为_____．

【答案】

【详解】为等比数列，公比为3，首项为，所以通项公式为

13．设数列的前项和为，且.则数列的通项公式为______.

【答案】

【详解】由，知，.于是，是以1为首项、为公比的等比数列.故.

14．已知数列的前n项和为,且2=+3，则=____________．

【答案】

【详解】当时，，即；当时，由，得，两式相减，得，即；即为等比数列，其通项公式为．

15． 数列的前项和记为，若，，则数列的通项公式为_______________.

【答案】

【详解】当时，，所以，即，又，所以，综上所述，.

16．数列的前项和记为，，，则的通项公式为           ．

【答案】

【详解】因为，所以，两式相减可得，又，所以以1为首项，3为公比的等比数列，所以．

17．已知数列前项和为，，则__________．

【答案】

【详解】因为，所以，因为   ①，

所以   ②，①-②得，所以，即，

所以数列从第二项起是以3为首项，4为公比的等比数列，时，

因此，数列的通项公式是.

四、强化培优：

1．己知数列满足,数列的通项公式为___________.

【答案】

【详解】因为，所以，两边同时除以得到，整理得到：即，

累加得到即，

所以，其中，又时，符合，

故数列的通项公式为，故填.

2．已知数列中，，则的值是___．

【答案】

【详解】根据题意，分别令，解得：，，所以.

3．设已知数列对任意的，满足，且，那么等于(  )

  A.3               B.5               C.7            D.9

【答案】B

【详解】因为，且，所以，，

从而，故选B．

4．已知数列{an}的前n项和满足，且a1=1，则a10=(     )

A．1              B．9                 C．10                D．55

【答案】A

【详解】由知．

5．已知数列满足，则等于(  )

A.0        B.         C.      D.

【答案】B

【详解】根据题意，由于数列{an}满足a1＝0，an＋1＝，那么可知∴a1=0，a2=- ，a3=，a4=0，a5=-，a6=…，故可知数列的周期为3，那么可知，选B.

6．已知数列中，，，，，则（   ）

A．              B．              C．              D．

【答案】C

【详解】由，得，整理得，，，，因此下去，，，，故答案为C.