一轮复习专题5.1 平面向量的概念、基本定理及运算（解析版）教案

这是一份一轮复习专题5.1 平面向量的概念、基本定理及运算（解析版）教案，共27页。教案主要包含了知识要点，题型训练，课后强化等内容，欢迎下载使用。

5.1 平面向量的概念、基本定理及运算
一、知识要点
1．向量的有关概念
(1)向量：既有____________又有____________的量叫做向量，向量的大小，也就是向量的____________(或称模).的模记作____________．
(2)零向量：____________的向量叫做零向量，其方向是________的．
(3)单位向量：长度等于__________________的向量叫做单位向量.
是一个与a同向的____________；－是一个与a________的单位向量．
(4)平行向量：方向________或________的________向量叫做平行向量．
平行向量又叫____________，任一组平行向量都可以移到同一直线上．
规定：与任一向量_________．
(5)相等向量：长度____________且方向____________的向量叫做相等向量．
(6)相反向量：长度____________且方向____________的向量叫做相反向量．
(7)向量的表示方法：用________表示；用____________表示；用________表示．
2．向量的加法和减法
(1)向量的加法
①三角形法则：以第一个向量a的终点A为起点作第二个向量b，则以第一个向量a的起点O为________以第二个向量b的终点B为________的向量就是a与b的________(如图1)．
推广：＋＋…＋An－1An＝____________.

图1 　　　　图2
②平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱ABCD，则以A为起点的__________就是a与b的和(如图2)．在图2中，＝＝b，因此平行四边形法则是三角形法则的另一种形式．
③加法的运算性质：
a＋b＝____________(交换律)；(a＋b)＋c＝____________(结合律)；a＋0＝____________＝a.
(2)向量的减法

已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝____________，即a－b表示从向量b的终点指向向量a(被减向量)的终点的向量(如图)．
3．向量的数乘及其几何意义
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作____________，它的长度与方向规定如下：
①＝____________；
②当λ>0时，λa与a的方向____________；当λ<0时，λa与a的方向____________；
当λ＝0时，λa＝____________.
(2)运算律：设λ，μ∈R，则：
①λ(μa)＝__________；②(λ＋μ)a＝__________；③λ(a＋b)＝____________.
4．两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得____________．
5.向量共线定理拓展：
①三点共线；
②为平面上任一点，三点共线，且.
6．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使________________．我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组__________．
7．向量的夹角：

(1)已知两个________向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角(如图)．
(2)向量夹角θ的范围是_______________．
a与b同向时，夹角θ＝________；a与b反向时，夹角θ＝____________.
(3)如果向量a与b的夹角是____________，我们就说a与b垂直，记作____________．
8．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个____________的向量，叫做向量的正交分解．
(2)在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.则实数对__________叫做向量a的(直角)坐标，记作a＝__________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，该式叫做向量的坐标表示．与a相等的向量的坐标也为________．显然，i＝________， j＝________，0＝________.
9．平面向量的坐标运算
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a±b＝__________________________.
(2)如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝___________________________.
(3)若a＝(x，y)，则λa＝____________.
(4)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是____________________．
※10.线段的分点坐标
设点P是线段P1P2上的一点，且P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)．
当＝λ时，点P的坐标(x，y)＝.
特别地：①当λ＝1时，点P为线段P1P2的中点，其坐标为P.
②G(x，y)为△ABC的重心，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则AB中点D的坐标为.再由＝2，我们便得到了三角形的重心坐标G(，)．
自查自纠：
1．(1)大小　方向　长度　　(2)长度为0　任意　(3)1个单位长度　单位向量　方向相反
(4)相同　相反　非零　共线向量　平行　(5)相等　相同　(6)相等　相反　(7)字母　有向线段　坐标
2．(1)①起点　终点　和　　②对角线　③b＋a　a＋(b＋c)　0＋a　(2)a－b
3．(1)λa　①|λ||a|　②相同　相反　0　(2)①μ(λa)　②λa＋μa　③λa＋λb
4．b＝λa
6．a＝λ1e1＋λ2e2　基底
7．(1)非零　(2)0°≤θ≤180°　0°　180°　(3)90°　a⊥b
8．(1)互相垂直　(2)(x，y)　(x，y)　(x，y)　(1，0)　(0，1)　(0，0)
9．(1)(x1±x2，y1±y2)　(2)(x2－x1，y2－y1)
(3)(λx，λy)　(4)x1y2－x2y1＝0
二、题型训练：
题组一：
1．化简（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，∴ ．
2．++= .
【答案】
【详解】.
3．在平行四边形中，等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，在平行四边形ABCD中，,∴.
4． D、E、F分别是三边BC、CA、AB中点，则=（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】∵D、F分别是三边BC、AB中点，∴，∴
5．设是所在平面内一点，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以P是AC的中点，则.
6．如图，点M是的重心,则为（ ）

A． B．4 C．4 D．4
【答案】D
【详解】点M是的重心，所以有点是中点，
课堂检测：
7． +-等于( )
A.2 B.3 C. D.
【答案】A
【详解】
8．化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
9．化简下列式子：其结果为零向量的个数是（ ）
① ； ②；③； ④
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【详解】对于①成立，对于②,对于③=,对于成立，故答案为D.
10．在ABCD中，错误的式子是( )

A. B. C. D.
【答案】.
题组二：
11．若向量，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为向量，，所以．
12．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据平面向量的坐标运算可得，故选择A
13．已知点，向量，则向量( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【详解】∵=（3,1），∴=(-7,-4)，故选A.
14．已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，则．
15．已知向量，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得：，
，，故选B。
16．已知向量a＝（sin x，cos x），向量b＝（1，），则|a＋b|的最大值是________．
【答案】
【详解】
，最大值为9，因此的最大值为3
课堂检测：
17．已知向量 , ,则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】向量减法的定义，对应坐标分别相减，即
18．已知平面向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由向量的减法法则,所以选C；
19．已知向量，，若，则 ．
【答案】
【详解】因为，所以，解得：，所以．
20．已知点A和向量=，若=3，则点B的坐标是（ ， ）．
【答案】
【详解】设若=3则
21．设向量，其中为实数，若，则的取值范围为 。
【答案】
【详解】因为，所以，
，
.
，，解得.
，
，即.
题组三：
22知平面向量________．
【答案】－4
【详解】由向量平行可知，
23知向量，，若，则__________________．
【答案】或
【详解】两向量平行，所以，解得：或．
24.向量与共线且方向相同，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】两向量共线，坐标满足时，两向量共线，所以
25．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】
26．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】根据题意，，因为，，解得，答案为D．
课堂检堂：
27．若向量，，且，则的值为 ．
【答案】1
【详解】由两向量平行，所以坐标满足
28．已知向量，，且，则的值为（ ）
A．4 B．-4 C．9 D．-9
【答案】B
【详解】根据平面向量共线的坐标表示，需满足的条件“”，代入可求得.
29．已知平面向量，向量，向量． 若，则实数的值为 ．
【答案】
【详解】
30．已知平面向量，，且，则．
【答案】
【详解】∵，∴，∴，∴．
31．已知向量a = （,1），b = （0, -1），c = （k,），若a - 2b与c共线，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【详解】
32．已知，，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，，，所以，又，，所以.
题组四：
33．如图，是△的边的中点，则向量等于（ ）

A. 　 B.　 C. 　D.
【答案】A
【详解】
34．已知平行四边形，是的中点，若，则向量= （用表示）．
【答案】
35．四边形OABC中，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】,所以.
36．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．
【答案】－a＋b.
【详解】＝＋＝－＝b－ (a＋b)＝－a＋b.
37．如图，在中，点是边上靠近的三等分点，则（　　）

A．　B． C．　 D．
【答案】C
【详解】由平面向量的三角形法则，可得：，又因为点是边上靠近的三等分点，所以，＝＝.
38．如图，已知＝，用，表示，则等于(　　)

A.－ B.＋
C.－＋ D.－－
【答案】C
【详解】＝＋＝＋＝＋ (－)＝－＋.
39．如图所示，已知，，，，则下列等式中成立的是( )





(A) (B)
(C) (D)
【答案】A
【详解】,所以.
40．如下图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点M是线段OD的中点，设，则= ．（结果用表示）

【答案】
【详解】由题可知，=.
课堂检测：
41．如图，在中，是边的中线，是边的中点，若,则=（ ）.

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，在中，是边上的中线，所以,
又因为为的中点，所以,所以.
42．在△ 中，为边上的中线，为的中点，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】根据向量的运算法则，可得 ，所以，故选A.
43．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵∴−=3(−)；∴=−.故选：A.
44．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】利用向量的三角形法则，可得，，
为的中点，为的中点，则，

又 .故选D.
题组五：
45．在中，点在边上，且，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题设，又，所以，故选D.
46．在中，点，满足，，若，则_____.
【答案】
【详解】根据向量的线性运算，可得
，又由，所以，所以.故答案为：.
47．如图，在四边形中，，为的中点，且，则 .

【答案】1
【详解】因为为的中点，，又
，

，
48．如图，正六边形ABCDEF中，若AD=λAC+μAE（λ ，μ∈R），则λ+μ的值为____．

【答案】43
【详解】连接EC交AD于点M，连接FC交AD于点O，如下图：

由题可得：O为AD的中点，M为AD的一个四等分点，且MD=14AD，M为EC中点所以AD=43AM=43×12AC+AE=λAC+μAE所以λ=23μ=23，所以λ+μ=43
49．在△ABC中，是边所在直线上任意一点，若，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为三点共线，由共线向量的充要条件可知，，所以．
50．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 .

【答案】
【详解】：令,则
.
所以.
51．在中，D为AB边上一点，，，则=（ ）
A． B. C. D.
【答案】B
【详解】由已知得，，故,故．
52．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

【答案】2
【详解】∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝n，∴＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.
53．已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，，则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：故选：D．
54．如图，在中，、分别是、的中点，若（，），且点落在四边形内（含边界），则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，当在线段上时，，当点在线段上时，，∴当在四边形内（含边界）时，（＊），又，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，表示可行域内点与连线的斜率，由图形知，
，即，∴，，选C.
课堂检测：
55．在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知：
，据此可知：.本题选择B选项.
56．设为所在平面内一点，，若，则__________．
【答案】-3
【详解】∵为所在平面内一点, ，∴B，C，D三点共线.若 ∴，化为： =+，与=−+，比较可得： ，解得.即答案为-3.
57．如图，在中，、分别为边、的中点.为边上的点，且，若，，则的值为 .

【答案】.
【详解】为的中点，，，，，.
58．在正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD的中点，若=λ+μ，则λ+μ=______．

【答案】
【详解】在中，为中点，所以，为中点，所以
所以
即，所以而
所以故
59．如图，在中，已知，是上一点，若，则实数的值是 ．

【答案】
【解析】三点共线，存在实数，使得，又，，解得，故答案为.
60．中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足，则的最大值为_________；的最小值为_________．
【答案】
【详解】如图所示，

由得，所以，所以，所以，等号成立当且仅当，所以的最大值为.因为，等号成立当且仅当，所以的最小值为.故答案为：；.
61．点P在△ABC的BC边上，若，则的最小值为_____.
【答案】
【详解】因为点P在△ABC的BC边上，且，所以因此
当时取最小值故答案为：
题组六：
62．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则=（ ）
A．0 B． C．－2 D．
【答案】B
【详解】因为与是两个不共线向量，所以向量不是零向量，又因为向量与共线，所以存在唯一实数，使成立，所以，，所以，，故选B。
63．设，是两个不共线的平面向量，若，，，且三点共线，则实数的值为_______．
【答案】4或
【详解】由，，所以因为，所以与共线，
所以存在实数使，即又，是两个不共线的平面向量，
所以解得或 故答案为：4或
64．设与是不共线向量，，若且，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】因为，易知，所以存在唯一实数使得即，也就是，因为与是不共线向量，由平面向量的基本定理可知，解得或，当时，，不符合题意，所以，故选C．
65．已知向量，，，则（ ）
（A）A、B、C三点共线 （B）A、B、D三点共线　
（C）A、C、D三点共线 （D）B、C、D三点共线
【答案】B
【详解】，由于与有公共点，因此、、三点共线，故答案为B.
66．已知是不共线的向量，，若三点共线，则满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由三点共线，则、共线，所以存在不为零的实数，使得
即 ，又因为是不共线的向量，所以，消解得
67．在下列向量组中，可以把向量表示出来的是 .
A. B.　
C. D.
【答案】B
【详解】A，C，D中两向量是共线的，只有不共线的向量才可以作为基地，因此可用不共线的来表示.
68．若，是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（ ）
A．－，－ B．＋，－ C．2－3,6－4 D．2＋，＋
【答案】B
【解析】显然向量＋，与向量－不共线，故选B.
69．已知平面直角坐标系内的两个向量,,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）,则实数的取值范围是（ ）
A． B．　　 C． 　 D．
【答案】D
【详解】平面内的任一向量都可以唯一的表示成为实数）的充要条件是,不共线,即,故选D.
课堂检测：
70．已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则 ．
【答案】
【详解】因为与共线，所以存在唯一使，所以.
71．已知向量，，，则（ ）
A．三点共线 B. 三点共线 C． 三点共线 D． 三点共线
【答案】B
【详解】由题意，所以与共线，即三点共线．
72．向量.若三点共线，则的值为（）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【详解】，.因为三点共线，所以，所以，整理得，解得或.故选C.
73．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】选项D中的向量不共线，故可作为基底．选D．
74．设，，，，，为坐标原点，若、、三点共线，则的最小值是_______．
【答案】
【详解】依题意，由于三点共线，所以，化简得，故，当且仅当，即时，取得最小值
三、课后强化：
1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )
A．e1=0,0，e2=1,-2 B．e1=5,7，e2=-1,2
C．e1=3,5，e2=6,10 D．e1=2,-3，e2=12,-34
【答案】B
2．已知,且，则（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【详解】因为，故，所以，故，故.
3．已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】由，得，解得.故选B.
4．已知向量，，若与共线，则实数的值是 ．
【答案】－1
【详解】， ，又共线，则,即：
5．设向量与不共线，若，，，且三点共线，则_____.
【答案】
【详解】三点共线且向量与不共线 ，解得：本题正确结果：
6．向量PA=(k,12)，PB=(4,5)，PC=(10,k)，若A，B，C三点共线，则k的值为__________．
【答案】11或 -2.
【详解】由题意可知：AB=PB-PA=4-k,-7，BC=PC-PB=6,k-5，
由题知AB//BC，故4-kk-5--7×6=0，解得k=11或k=-2，故答案是11或-2.
7．已知的边上有一点满足，则可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】画出图像如下图所示，
故，故选A.
8．已知中，，延长交于，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，设，则，
又，所以，
两式相加得，即，所以，故选：C．
9．在△ ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（ ）
A．3 B．1 C． D．
【答案】C
【详解】如图：
∵， ，则又 三点共线， 故得 ．故选C.．
10．如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，则的最小值为（ ）

A．4 B．
C． D．6
【答案】C
【详解】，又，
，又三点共线，
，即得，易知，
，
当且仅当，即时，取等号.
11．在中，点满足，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】A
【详解】

三点共线，
则 当且仅当即时等号成立.故选A.
12．如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】如图可知x，y均为正，设，
共线， ，
，
则，
，
则的最小值为，故选D.