专题2.8 函数与方程（解析版）教案

这是一份专题2.8 函数与方程（解析版）教案，共22页。教案主要包含了必备知识，应用题组，课外作业等内容，欢迎下载使用。

08函数与方程
一、必备知识：
1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．
(2)函数有零点的几个等价关系：
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴________⇔函数y＝f(x) ________．
由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．
2．函数的零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈________，使得________，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)
自查自纠：
1．(1)f(x)＝0　实数根　交点的横坐标 (2)有交点　有零点　零点　函数y＝f(x)
2．f(a)·f(b)＜0　(a，b)　(a，b)　f(c)＝0
二、应用题组：
题组一：
1．已知函数f（x）=ex﹣x2+8x，则在下列区间中f（x）必有零点的是（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2）
【答案】B
【解析】根据存在零点定理，看所给区间的端点值是否异号，，，，所以，那么函数的零点必在区间．
2．已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ）
（A） 　　（B）　　　（C）　　　（D）
【答案】B
【解析】由题可知，因为，所以，，，，，所以函数的零点在上.
3．方程的根，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则可知函数在单调递增，且函数在连续，，，由函数的零点判定定理可得，函数的零点区间，，故选B。
课堂检测：
4．函数的零点所在的一个区间是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】求导恒成立，且函数连续，由
知选A
5．函数的零点所在的大致区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（3，4）
【答案】B
【解析】∵，，∴函数的零点所在的大致区间是（1，2）．
6．设函数，则函数 （ ）
（A）在区间内均有零点
（B）在区间内均无零点
（C）在区间内有零点，在区间内无零点
（D）在区间内无零点，在区间内有零点
【答案】D
【解析】由已知得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，且，因此在区间内无零点，在区间内有零点，选D.
7．已知函数的零点在区间内，则 ．
【答案】
【解析】，，由零点存在性定理．

题组二：
8．函数的零点个数为 ．
【答案】2
【解析】函数的零点个数方程的实根的个数，即函数与函数图象交点的个数；作出两函数图象的草图如图所示，由图可知两函数图象有且只有2个交点，故函数零点个数是2．

9．若定义域为R的函数f（x）的周期为2，当x∈（－1,1]时，f（x）＝|x|，则函数y＝f（x）的图象与y＝log3|x|的图象的交点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【解析】分别画出函数，与函数的图像，由图像可得，共4个交点．

10．设函数，则函数的零点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【解析】，转化为如图，画出函数和的图像，
当时，有一个交点，当 时，，，此时，是函数的一个零点，，，满足，所以在有两个交点，同理，所以在有两个交点，，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点,所以，共有6个．

课堂检测：
11．函数的零点个数为_______.
【答案】1
【详解】令，整理得：，在同一坐标系中分别作出及图像，如图.由图可知，两函数图像只有一个交点。函数零点个数为1个。

12．函数f（x）=（x-2）2-lnx的零点个数为______．
【答案】2
【详解】函数的定义域为，画出两个函数，的图象，由函数图象的交点可知，函数的零点个数为2．故答案为：2．

13．已知函数，该函数零点的个数为_____________
【答案】3
【详解】令，可得：或,当时，或（舍） 为函数的一个零点,当时，，,，为函数的零点,综上所述，该函数的零点个数为：个

题组三：
14．已知三个函数的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是______．
【答案】
【解析】由于故的零点∵∴的零点；∵∴的零点，由于函数均是定义域上的单调增函数，∴.
15．已知函数，，的零点分别为，则的大小关系是（ ）
A．＞＞ B．＞＞　　　C．＞＞ D．＞＞
【答案】D
【解析】的零点即方程的根，转化为函数的交点，结合图像可知，同理可得，因此有＞＞.
16．已知偶函数的其图像与轴有四个交点，则方程的所有实数根的和为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设的图象与轴交点的横坐标为， ， ， ，∵是偶函数，
∴．方程的实根为： ， ， ， ，和为，
∴方程的所有实数根的和为，故选．
17．设函数f(x)＝若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可知：

课堂检测：
18．已知，并且， 是方程的两根，实数， ， ， 的大小关系可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
19．已知函数f（x）＝x｜2－x｜－m有3个零点分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3的取值范围是 .
【答案】
【解析】设g（x）=x|2-x|，原函数的零点个数就是函数g（x）与函数y=m图象的交点个数，分别画出函数g（x）与y=m的图象，如图，设x1＜x2＜x3，则由图知：x1+x2=2，,则取值范围是.．

20．已知函数，若关于x的方程恰有三个不同的实数根a，b，c，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】作图可得，，所以.

21．已知函数若的两个零点分别为，则__________．
【答案】
【解析】由，所以令得： ，所以直线和曲线 的交点横坐标，
直线和曲线的交点横坐标为，如图，两曲线关于对称，直线和关于对称；所以；所以。

题组三：
22．函数f(x)=3x-3x-a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是（ ）
A．(1,152) B．(3,6) C．(0,6) D．(0,152)
【答案】D
【详解】由基本初等函数的性质，可得函数fx=3x-3x-a单调递增,而函数fx=3x-3x-a的一个零点在区间1,2内，所以由题意可得f1<0f2>0，解得0 23．已知关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】关于的方程的两个实数根一个小于1，另一个大于1.则 根据函数的零点存在定理：:当时，只需满足即
当时，只需满足即
综上所诉：故答案为：
24．已知函数只有一个零点，则__________．
【答案】-3
【详解】因为，所以函数为偶函数，
因为函数只有一个零点，故，所以.故答案为：-3.
25．已知只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围为_________．
【答案】.
【详解】，.
令，得或，当变化时，、的变化情况如下表：














极大值

极小值

由于函数只有一个零点，且该零点为正数，所以，，，化简得，解得，因此，实数的取值范围是，故答案为：.
26．已知函数有两个零点，则的取值范围是_____________．
【答案】
【详解】f′（x）＝-a+（x＞0），当a0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，故函数在x＞0时单调递增，与题意不符，舍去；当a>0，f′（x）＝-a+＝，时，x=,∴当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，要保证函数有两个零点，只需f（）＝﹣1+ln（）＞0，解得0＜a＜，综上a的取值范围；故答案为：
课堂检测：
27．函数fx=3ax-2a+1，若存在x0∈-1,1，使fx0=0，那么（ ）
A．-115 D．a<15
【答案】C
【详解】由题意得f-1f(1)<0⇒a>15或a<-1，选C
28．函数在区间和区间上分别存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
29．若函数f(x)=(x-1)(x-a)2-a+1有三个不同的零点，则实数a的取值范围是___．
【答案】-∞,1-332∪1+332,+∞
【详解】f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1，∴f′（x）＝（x﹣a）（3x﹣a﹣2）
令f′（x）＝0，解得x＝a或x=a+23，∵f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）2﹣a+1有三个不同的零点，
∴f（x）极大值f（x）极小值＜0，∴f（a）f（a+23）＜0，即（﹣a+1）[（a+23-1）（a+23-a）2﹣a+1]＜0，整理可得（a﹣1）2（4(a-1)2-2727）＞0，即4（a﹣1）2﹣27＞0且a≠1,解得a＜1-332或a＞1+332.
30．已知函数有两个零点，则的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由题意，设函数，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数由最小值，又由当时，总有恒成立，

要使得函数有两个零点，即函数与的图象由两个不同的交点，在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示，则，所以，即实数的取值范围是．

题组四：
31．已知函数函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】由题画出的图像如图所示，，若有三个不同点，则

32．已知，若函数只有一个零点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】图象如图所示，∴k的取值范围是．

33．已知函数f(x)=|x-3|-1,x≥0-x2+2,x<0，函数g(x)=mx，若函数y=f(x)-2g(x)恰有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．(-16,12) B．(-13,1) C．(-16,+∞) D．(-∞,12)
【答案】A
【详解】由题意，画出函数fx=x-3-1,x≥0-x2+2,x<0的图象如下图所示：y=fx-2gx恰有三个零点即fx=2gx有三个不同交点，即fx=2mx有三个不同交点由图象可知，当直线斜率在kOA ,kOB之间时，有三个交点即kOA<2m 所以-13<2m<1可得-16
34．已知函数，，若函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】显然，所以得,因为，作图得由图得当时，函数至多有两个不同的零点，当时，，，选B.

35．若函数没有零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】令得，令是半径为，圆心在原点的圆上半部分，以端点的折线，在同一坐标系中画出它们的图像：如图根据图像知，两曲线没有公共点，有图像可得当半圆的半径时，半圆和折线相切，当半圆的半径等于时，半圆和折线有三个交点．故当圆的半径或者圆的半径时，满足条件．由此求得的取值范围为．

课堂检测：
36．已知函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数的图像如上图，函数有3个零点等价于有三个零点即函数与函数的图像有三个交点．显然由图像知，当直线在轴和直线之间时符合题意，故

37．已知函数，若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_________________．
【答案】
【解析】首先画出函数的图像，然后令，有两个不同交点，经分析，只能与 有两个不同的交点，所以当与相切时，令，解得切点是，得，那么经数形结合得到．
38．设函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为____；
【答案】
【详解】由题意，函数恰由3个零点，即方程有3个不同的解，设，，则，可得当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，则函数的图象，如图所示，方程有3个不同的解等价于函数的图象与直线由3个的交点，结合图象可得，实数的取值范围。


题组五：
39．已知函数，则函数的零点个数为________.
【答案】3
【详解】函数的零点，即的解，可得或，当时，，可得，令，可得或，当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数，时，函数取得极大值：1，时，函数取得极小值：-1，时，，绘制函数图像如图所示.故，函数有1个零点，，函数有2个零点；所以函数的零点个数为3.

40．奇函数f（x）、偶函数g（x）的图像分别如图1、2所示，方程，的实根个数分别为a、b，则 （ ）

A. 14 B. 10 C. 7 D. 3
【答案】B
【解析】观察函数的图象可知， ，，使的为，使的均有个，使的有个，所以的实根个数；使的有个，使的只有.所以的实根个数，故，选
41．函数 ，关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B．　C． D．
【答案】D
【解析】设，方程为：，方程有两个不等实根和，根据的图像，可得，和有三个不同交点，所以，根据数形结合分析，，，所以设函数，，解得

42．已知函数是定义域为R的偶函数，当时，，若关于x的方程，有且仅有6个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，是定义域为R的偶函数，当时，，当时，，作出函数图像，关于x的方程，解得，当时，，当时，，由，则有4个实根，于是由图像可得，当时，有两个实根，当时，有两个实根，综上可得，；

课堂检测：
43．已知函数，若函数有6个不同的零点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，则函数化为，若满足题意需方程的根分别在区间和内，又，则需，即解得．
三、课外作业：
1．函数f（x）＝2x－5的零点所在区间为[m，m＋1]（m∈N），则m＝ ．
【答案】2
【解析】因为，函数为增函数，所以可得零点所在区间为，故
2．已知函数的零点在区间内，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题知f(x)单调，故，故选B.
3．方程的两根分别为，且，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】令，由两个根的分布可知： ，应填答案。

4．函数f(x)=的零点个数是________个．
【答案】2
【详解】函数的零点个数，即为函数与的图象的交点个数，在同一坐标系内分别作出两个函数的图象，如图所示，即可得到两函数的图象有且只有2个交点，即函数有2个零点.
5．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】画出函数的图象如图所示．不妨令，则，则．结合图象可得，故．∴．选B．

6．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】由题意得方程在上有两个实数根，∴方程在上有两个实数根．令，则，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴，又当时，；，画出函数的大体图象如图所示．结合图象可得若方程在上有两个实数根，则．∴实数的取值范围为．

7．已知函数f（x）=|2x-e|-a在R上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【详解】由题意可知，函数f（x）=|2x-e|-a在R上有两个不同的零点即：函数y=|2x-e|与函数y=a有两个不同的交点，绘制函数图像如图所示，观察可得：实数a的取值范围为.

8．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】首先画出函数的图像，令有两个不同的交点，根据图像分析，如果有两个不同的交点，．

9．定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，可得函数f（x）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k（x+3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y＝k（x+3）过定点（﹣3，0），观察图象可知实数k的取值范围为：

10．已知函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则方程为，解得或，即或．如图，作出函数的图象，由函数图象，可知的解有两个，故要使方程恰有5个不同的解，则方程的解必有三个，此时．所以a的取值范围是．

11．函数在R上有4个零点，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【详解】根据题意，对于函数，设，则，的图象如图：若函数在R上有4个零点，则方程在区间有2个不同的根，则有，解可得：，即m的取值范围为.

12．函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解，即有解，时符合题意，时转化为有解，即的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，设相切时，切点的坐标为，则，
解得，切线斜率为，由图可知，当，即且时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为，故答案为.