初中数学青岛版九年级上册第3章 对圆的进一步认识综合与测试单元测试同步达标检测题

2021-2022学年青岛新版九年级上册数学《第3章 对圆的进一步认识》单元测试卷

一．选择题

1．下列说法中正确的有（　　）

①直径相等的圆一定是等圆；

②两个半圆一定是等弧；

③平分弦的直径垂直于弦；

④等弧所对的弦相等；

⑤相等的圆心角所对的弦相等．

A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．①④

2．如图，已知扇形OAB的半径为r，C是弧AB上的任一点（不与A，B重合），CM⊥OA，垂足为M，CN⊥OB，垂足为N，连接MN，若∠AOB＝α，则MN可用α表示为（　　）

A．rsinα B． C．rcosα D．

3．在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　）

A．当a＝﹣1时，点B在圆A上 

B．当a＜1时，点B在圆A内 

C．当a＜﹣1时，点B在圆A外 

D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内

4．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（　　）

A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个

5．有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确结论的个数有（　　）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

6．半径为5的圆内有长为的弦，则此弦所对的圆周角为（　　）

A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或120°

7．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连接AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（　　）

A．17 B．18 C．19 D．20

8．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于D，C两点，P是直线CD上的一个动点，⊙A的圆心A的坐标为（﹣4，﹣4），半径为，直线PO与⊙A相交于M，N两点，Q是MN的中点．当OP＝t，OQ＝S，则S与t的函数图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

9．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　）

A． +1 B． + C．2+1 D．2﹣

二．填空题

10．已知圆的两条平行弦分别长6dm和8dm，若这圆的半径是5dm，则两条平行弦之间的距离为　        　．

11．若⊙A的半径为5，点A的坐标为（3，4），则原点O与⊙A的位置关系是　    　．

12．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为M，若CM＝4，则AB的长为　   　．

13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB＝8，CD＝2，则△OCE的面积为　 　．

14．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3）则△ABC外接圆半径的长度为　            　．

15．如图，在⊙O中，点C是的中点，连接OC交弦AB于点D，若OD＝3，DC＝2，则AB的长是 　 　．

16．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°．现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为　                　m．

三．解答题

17．如图，圆中两条弦AB、CD相交于点E，且AB＝CD，求证：EB＝EC．

18．如图，以点O为圆心的三个同心圆把以OD为半径的大圆O的面积四等分，若OD＝r，求这三个圆的半径OA、OB、OC的长（用含r的式子表示）．

19．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，⊙O是△ABC的外接圆．

（1）求⊙O的半径；

（2）若在同一平面内的⊙P也经过B、C两点，且PA＝2，请直接写出⊙P的半径的长．

21．机器人“海宝”在某圆形区域按下列程序设计表演．其中，B、C在圆O上．

（1）请按程序补全下面图形；

（2）求BC的距离；

（3）求圆O的半径长．

（本题参考数据：sin67.4°＝，cos67.4°＝，tan67.4°＝）

参考答案与试题解析

一．选择题

1．解：①直径相等的圆一定是等圆，本小题说法正确；

②两个半径相等的半圆一定是等弧，本小题说法错误；

③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本小题说法错误；

④等弧所对的弦相等，本小题说法正确；

⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，本小题说法错误；

故选：D．

2．解：连接OC，延长OA、NC交于D，则OC＝6，

∵CM⊥OA，CN⊥OB，

∴∠DMC＝∠DNO＝90°，

∵∠D＝∠D，

∴△DMC∽△DNO，

∴，即，

∵∠D＝∠D，

∴△DMN∽△DCO，

∴，

∵CN⊥OB，∠AOB＝α，

∴sin∠AOB＝sinα＝，

∴＝sinα，

∵OC的半径为r，

∴，

∴MN＝rsinα．

故选：A．

3．解：如图：

∵A（1，0），⊙A的半径是2，

∴AC＝AE＝2，

∴OE＝1，OC＝3，

A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在⊙A上，正确，故本选项不合题意；

B、当a＝﹣3时，B在⊙A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；

C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；

D、当﹣1＜a＜3时，B在⊙A内正确，故本选项不合题意；

故选：B．

4．解：∵点A、B、C在同一条直线上，

∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，

故选：C．

5．解：不在同一直线上的三点确定一个圆，（1）错误；

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，（2）错误；

三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，（3）错误；

故选：A．

6．解：如图所示，

∵OD⊥AB，

∴D为AB的中点，即AD＝BD＝，

在Rt△AOD中，OA＝5，AD＝，

∴sin∠AOD＝＝，

又∵∠AOD为锐角，

∴∠AOD＝60°，

∴∠AOB＝120°，

∴∠ACB＝∠AOB＝60°，

又∵圆内接四边形AEBC对角互补，

∴∠AEB＝120°，

则此弦所对的圆周角为60°或120°．

故选：C．

7．解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，

∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，

∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，

∴H、I是AC、BC的中点，

∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，

∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，

∴PH+QI＝13﹣7＝6，

∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，

故选：C．

8．解：连接AO，并延长交直线CD于G，连接AQ，

∵Q是MN的中点．

∴AQ⊥MN，

∵A的坐标为（﹣4，﹣4），

∴直线AO：y＝x，AO＝4，

∵直线CD：y＝﹣x+4，

∴AO⊥CD，

∴∠AQO＝∠OGP＝90°，

∵∠AOQ＝∠POG，

∴∠AOQ∽△POG，

∴，

当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝4，

∴OC＝OD＝4，

∴OG＝CD＝2，

∵OP＝t，OQ＝S，

∴，

S＝，

故选项C、D不正确；

当OP＝2时，即S＝OQ＝4，t＝2，直线OP过圆心A，此时Q与A重合，此种情况成立，

故选项B不正确；

故选：A．

9．解：如图，

∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，

∴C在⊙B上，且半径为1，

取OD＝OA＝2，连接CD，

∵AM＝CM，OD＝OA，

∴OM是△ACD的中位线，

∴OM＝CD，

当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大，

∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°，

∴BD＝2，

∴CD＝2+1，

∴OM＝CD＝，即OM的最大值为+；

故选：B．

二．填空题

10．解：如图，AB∥CD，AB＝6dm，CD＝8dm，

过O点作OE⊥AB于E，交CD于F点，连OA、OC，

∴AE＝BE＝AB＝3，

∵AB∥CD，EF⊥AB，

∴EF⊥CD，

∴CF＝FD＝CD＝4，

在Rt△OAE中，OA＝5dm

OE＝＝＝4，

同理可得OF＝3，

当圆心O在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE+OF＝4+3＝7（dm）；

当圆心O不在AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OE﹣OF＝4﹣3＝1（dm）．

故答案为7dm或1dm．

11．解：∵点A的坐标为A（3，4），

∴OA＝＝5，

∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上．

故答案为：在圆上．

12．解：连接OA，

∵⊙O的直径CD＝20，

∴OA＝OC＝10，

∵CM＝4，

∴OM＝10﹣4＝6，

在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM＝＝8，

∴由垂径定理得：AB＝2AM＝16．

故答案为：16．

13．解：∵OD⊥AB，

∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，

设⊙O的半径为r，则AC2+OC2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，解得r＝5，

∵CD＝2，

∴OC＝3，

∴S△OCE＝OC•BC＝×3×4＝6．

故答案为：6．

14．解：设△ABC的外心为M，如图：

∵A（﹣1，3），B（﹣1，﹣3），C（3，﹣3），

∴AB、BC的垂直平分线过（1，0），故M（1，0）；

MA就是⊙M的半径长，

由勾股定理得：MA＝＝，

即△ABC的外接圆半径为．

故答案为：．

15．解：连接OA，如图：

∵OD＝3，DC＝2，

∴OA＝OC＝OD+DC＝3+2＝5，

∵点C是的中点，

∴OC⊥AB，

∴AD＝BD，

在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，

∴AB＝2AD＝2×4＝8．

故答案为：8．

16．解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q，

如图1，AB，AD的长分别是2m和4m，圆心角∠COD＝120°，

∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝，

∴OD＝2，PQ＝5，

当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时

h＝＝＝，

如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和，

易知，OQ≤OB，

而h＝OP+OQ＝2+OQ，

∴当点Q与点B重合时，h取得最大值，

由图1可知，OQ＝3，BQ＝，则OB＝，

h的最大值为OP+OB，即2+．

故答案为：（2+）．

三．解答题

17．证明：如图，连接AD，

∵AB＝CD，

∴＝，

∴﹣＝﹣，即＝，

∴∠BAD＝∠CDA，

∴AE＝DE，

又∵AB＝CD，

∴EB＝EC．

18．解：∵π•OA2＝π•r2，

∴OA2＝r2，

∴OA＝r；

∵π•OB2＝π•r2，

∴OB2＝r2，

∴OB＝r；

∵π•OC2＝π•r2，

∴OC2＝r2，

∴OC＝r；

因此这三个圆的半径为：OC＝r，OB＝r，OA＝r．

19．解：连接OB，

则OB＝×10＝5，

∵OM⊥AB，OM过O，

∴AB＝2AM＝2BM，

在Rt△OMB中，由勾股定理得：BM＝＝＝4，

∴AB＝2BM＝8．

20．解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接OB、OC，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD垂直平分BC，

∵OB＝OC，

∴点O在BC的垂直平分线上，即O在AD上，

∵BC＝4，

∴BD＝BC＝2，

∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2，

∴AD＝＝6，

设OA＝OB＝r，则OD＝6﹣r．

∵在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，

∴OD2+BD2＝OB2，即（6﹣r）2+22＝r2．

解得r＝，

即⊙O的半径为，

（2）当⊙P也经过B、C两点，

则设PB＝r，

PA＝2，则PD＝6﹣2＝4或6+2＝8，

BD＝2，

∴PB＝＝2

或PB＝＝2．

所以⊙P的半径的长为2或2．

21．解：（1）如图所示：

（2）过O作OH⊥AB于点H，

根据题意得：AB⊥BC，NS⊥BC，

∴AB∥NS，

∴∠BAO＝∠AON＝67.4°，

在Rt∉AHO中，OH＝AOsin∠BAO＝13×sin67.4°＝12，

设NS交BC于G，

∵AB∥NS，GB⊥AB，OH⊥AB，

∴BG＝OH＝12，

∵NS⊥BC，NS过圆心O，

∴CB＝2BG＝24，

答：所求弦BC的长是24米．

（3）由（2）知：在Rt△AHO中，

AH＝AOcos∠BAO＝13×cos67.4°＝5，

∵AB＝14，

∴HB＝9，

连接OB，在Rt△BOH中，OB＝＝＝15，

∴所求圆的半径是15米．