第01讲-集合（解析版）学案

第01讲  集合

一、                       考情分析

1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；

2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；

3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.

二、                       知识梳理

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.

(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

3.集合的基本运算

4.集合的运算性质

(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.

(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.

(3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.

[方法技巧]

1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个.

2.子集的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.

3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.

4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).

三、                       经典例题

考点一　集合的基本概念

【例1-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合，若中只有一个元素，则实数的值为（    ）

A．0 B．0或 C．0或2 D．2

【答案】C

【解析】若中只有一个元素，则只有一个实数满足，

即抛物线与轴只有一个交点，

∴，∴或2.

故选：C

【例1-2】（2020·海南省海南中学高三月考）若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S的非空真子集个数是（    ）

A．62 B．32 C．64 D．30

【答案】D

【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S一共有5个元素，

所以S的非空真子集个数是个.

故选：D

规律方法　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

考点二　集合间的基本关系

【例2-1】（2020·天津市滨海新区塘沽第一中学高三二模）已知集合，则集合真子集的个数为（    ）

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】C

【解析】由，得

所以集合的真子集个数为个.

故选：C

【例2-2】（2020·全国高三月考（文））已知集合且，则的非空真子集的个数为(    )

A．30 B．31 C．62 D．63

【答案】A

【解析】因为集合且，

所以的非空真子集的个数为 .

故选：A

【例2-3】（2020·北京牛栏山一中高三月考）已知集合A={-2，3，1}，集合B={3，m²}.若BA，则实数m的取值集合为（    ）

A．{1} B．{} C．{1，-1} D．{，-}

【答案】C

【解析】集合A={-2，3，1}，集合B={3，m²}.若BA

则或，解得

故选：

规律方法　1.若B⊆A，应分B＝和B≠两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.

考点三　集合的运算　

【例3-1】（2020·全国高三一模（文））已知集合，，则（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【解析】由题意或，所以.

故选：A

【例3-2】（2020·安徽省六安一中高一月考）已知集合，，则（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】解不等式，得或；

解不等式，得，解得.

，，则，

因此，，故选：C.

规律方法　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.

2.注意数形结合思想的应用.

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解.

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

(3)集合的新定义问题：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.

 [思维升华]

1.集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

2.对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到.

3.对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

[易错防范]

1.集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简.

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解.

3.解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系.

4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.

四、                       课时作业

1．（2020·全国高三月考（理））已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】，解得，即，，

.

故选：B.

2．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】∵ 集合，

∴.

故选:C.

3．（2020·全国高三月考（文））若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由解得所以.

故选：B

4．（2020·四川省高三二模（文））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得集合，

所以，

故．

故选：D

5．（2020·辽宁省高三开学考试（理））设集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】，解得：或.

或.

，解得：，即.

.

所以.

故选：B

6．（2020·福建省高三月考（文））已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为，，所以，

故选：D.

7．（2020·宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文））设函数的定义域为A，的定义域为B，，则a的取值范围是________．

【答案】

【解析】由，可得，，

由，可得或．

所以，

，或，

或．

故答案为：

8．（2020·江苏省泰州中学高三月考）已知集合，，则______

【答案】

【解析】因为集合，，

所以.

故答案为：

9．（2020·北京牛栏山一中高三月考）对于集合，给出如下三个结论：

①如果，那么；

②若，对于，则有；

③如果，，那么.

④如果，，那么

其中，正确结论的序号是__________.

【答案】①③

【解析】对①：对，

总是有，，故，则①正确；

对②，若，则存在，使得

，

因为当一个是偶数，一个是奇数时，

是奇数，也是奇数，故也是奇数，

而显然是偶数，故，故，故②错误；

对③如果，，

不妨设，

则，

故，故③正确；

对④同理，设，

则，

故不满足集合的定义，故④错误.

综上所述，正确的是①③.

故答案为：①③.

10．（2020·北京人大附中昌平学校高三二模）集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________

①的值可以为2；

②的值可以为；

③的值可以为；

【答案】②③

【解析】如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况，

集合：，故，即或，

集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合，

故所在的直线的倾斜角为，，故：，

解得，此时，，此时.

故答案为：②③.

11．（2020·全国高三一模（理））已知集合，集合.

（1）求集合；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由，即得或，

所以集合或.

（2）集合，

由得或，解得或，

所以实数的取值范围为.

12．（2020·全国高三其他（文））已知集合，.

（1）若，则；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）若，则，

依题意，

故；

（2）因为，故；

若，即时，，符合题意；

若，即时，，

解得；

综上所述，实数的取值范围为