人教版九年级上册24.3 正多边形和圆教学课件ppt

这是一份人教版九年级上册24.3 正多边形和圆教学课件ppt，共56页。PPT课件主要包含了圆内接四边形的性质，什么叫做正多边形，正多边形的对称性，与正多边形有关的概念，亭子地基的面积S，正多边形的有关结论，正多边形的有关计算，正多边形和圆，正多边形的性质，轴对称等内容，欢迎下载使用。

1.对角互补；2.四个内角的和是360°；3.任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角)．
1. 了解正多边形和圆的有关概念.
2. 理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
下面这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等.
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
EF是边AB，CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.GH是边AD，BC的垂直平分线，∴OA=OD，OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
AC平分∠DAB及∠DCB，BD平分∠ABC及∠ADC，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,并且这两个圆是同心圆.任意三角形都有外接圆和内切圆.任意多边形不一定有外接圆和内切圆.
1.如图所示，△AOB是正三角形，以点O为圆心，OA为半径作☉O，直径FC//AB，AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
解： ∵ △AOB是正三角形，∴ ∠AOB=∠OAB=∠OBA =60°,OB=OA,∴点B在☉O上.∵FC//AB,∴∠FOA=∠OAB=60°,∠COB=∠OBA= 60°,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，∴∴六边形ABCDEF是正六边形．
2.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是(　　)A．矩形B．菱形C．正方形 D．不能确定
解: 只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方形．故选C.
例 有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积 (结果保留小数点后一位).
作OP⊥BC垂足为P.
利用勾股定理，可得边心距r=
正n边形的中心角怎么计算？
正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
边长为a，边心距为r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
2.若已知正n边形的边长、周长、边心距、面积中的任意一项，则可求出其他各项.
1.正六边形的边长等于其外接圆的半径；正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍；正方形的边长等图其外接圆半径的 倍.
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.
4.正多边形的中心角等于外角，中心角和内角互补.
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角.
圆内接正多边形的辅助线
1.如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是(　　)A．4 B．5 C．6 D．7
解: 设这个正多边形为正n边形，由题意可知72n＝360，解得n＝5.故选B.
2.如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( 　)A. B．2 C．2 D．2
解: 如图，连接OB，OC.∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC.∵正六边形的周长是12，∴BC＝2.∴⊙O的半径是2.故选B.
3.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是(　　)A．60° B．45° C．30° D．22.5°
1.下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
解:∵正三角形一条边所对的圆心角360°÷3=120°，正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.故选A.
2.已知圆的半径是2 ，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）A. B. C. D.
解:如图，连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，∵等边三角形的边长是2 ，∴高是3，∴等边三角形的面积是 ，∴正六边形的面积是 .
3.如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝ .
解: 如图，连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝ ＝72°.∵△AMN是正三角形，∴∠AOM＝ ＝120°，∴∠BOM＝∠AOM－∠AOB＝48°.
添加辅助线的方法：连半径，作边心距
中心、半径、边心距、中心角
1. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
2.一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm，上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶带按如图(1)所示的方式包扎礼盒，所需胶带的长度至少为 cm.
在Rt∆OBC中，由勾股定理,得OC= cm，∴上、下底面每段胶带的长至少为12 cm，∴所需胶带的长度至少为6×12 +6×10=(72 +60)(cm).
2.一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10 cm，上、下底面正六边形的边长为12 cm，如果用彩色胶带按如图(1)所示的方式包扎礼盒，所需胶带的长度至少为 cm.
题图中只画出了礼盒的部分面，但是在包扎礼盒时，上底面和下底面都是需要彩色胶带的，六个侧面也需要彩色胶带.
24.3 正多边形和圆
会利用等分圆周画圆内接正多边形.
正多边形和圆有什么关系？你能借助圆画一个正多边形吗？
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.以圆内接正五边形为例进行证明.
证明：如图，得到五边形ABCDE.∵∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B. 同理可得∠B=∠C=∠D=∠E.又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆.
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形．
度量法①：用量角器或 30°角的三角板度量，使∠1=∠2=30°．△ABC即所求.
度量法②：用量角器度量，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．
度量法③：用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB，BC，CA 即可．
例如，由于正六边形的边长等于半径，所以在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图.
再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形.
次方法简便，且可以画任意正多边形、误差小．
②用尺规等分圆：用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形.
这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上讲是一种准确方法．
用等分圆周的方法画出下列图案.
解:(1)把圆六等分，分别以六等分点A,B,C,D,E,F为圆心，都以OA为半径画弧即可得到图案．(2)把圆五等分，分别以五等分点A,B,C,D,E为圆心，都以AB为半径画弧即可得到图案．
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为 .
3.如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON. (1)图（1）中∠MON的度数是________；(2)图（2）中，∠MON的度数是________，图（3）中∠MON的度数是________；
(3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系式： ．
(1)图①中∠MON的度数是________；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；
(3)直接写出∠MON的度数与正n边形的边数n之间的关系式： ．
连接OB,OC,△OMB≌△ONC,∠MON=∠BOC.
此方法可将圆任意n等分，所以用该方法可作出任意正多边形，但边数很大时，容易产生较大的误差.
此方法是一种比较准确的等分圆的方法，但有局限性，不能将圆任意等分.
1.已知⊙O如图所示.(1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2) 若⊙O的半径为4，求它的内接正方形的边长.
解：(1) 如图所示，正方形ABCD即为所求.(2) ⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形，所以 AC⊥BD，OA=OB=4，所以 AB=
作直径AC的垂直平分线.
2.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M.求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
3.(2020.绥化中考)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为 上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等 于 度．
解:连接OC，OD，如图所示.∵四边形ABCDE是正五边形，∴∠COD=360º÷5=72º，∴∠CPD=36º.∵DG⊥PC， ∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90º-∠CPD＝90º-36º＝54°.
4.(2020•随州中考)设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是（　 ）
A．h＝R+r B．R＝2r C． D.
解:如图，∵△ABC是等边三角形，∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O.设OE＝r，AO＝R，AD＝h，∴h＝R+r，故A正确；