第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式（解析版）学案

这是一份第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式（解析版）学案，共14页。

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
知识梳理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcs__β±cs__αsin__β.
cs(α∓β)＝cs__αcs__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcs__α.
cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.函数f(α)＝asin α＋bcs α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)·cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tan φ＝\f(a,b))).
[微点提醒]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)，sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2).
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cs α)2，1－sin 2α＝(sin α－cs α)2，
sin α±cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α±\f(π,4))).
经典例题
考点一 三角函数式的化简
【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)＝________.
(2)化简：eq \f(（1＋sin α＋cs α）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cs α))(0<α<π)＝________.
【解析】 (1)sin(α＋β)cs(γ－β)－cs(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cs (β－γ)－cs(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).
(2)原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cs2\f(α,2)))
＝eq \f(cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))＝eq \f(cs\f(α,2)cs α,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))).
因为0<α<π，所以00，所以原式＝cs α.
规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.
2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.
考点二 三角函数式的求值 多维探究
角度1 给角(值)求值
【例2－1】 (1)计算：eq \f(cs 10°－\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))＝________.
【解析】 eq \f(cs 10°－\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)cs 80°,\r(1－cs 80°))＝eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,\r(2)·sin 40°)＝eq \f(2sin（10°＋30°）,\r(2)·sin 40°)＝eq \r(2).
(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
①求cs 2α的值；
②求tan(α－β)的值.
【解析】 ①因为tan α＝eq \f(4,3)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)，
所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，
因此，cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).
②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2（α＋β）)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan 2α－tan（α＋β）,1＋tan 2αtan（α＋β）)＝－eq \f(2,11).
角度2 给值求角
【例2－2】 (1)已知cs α＝eq \f(1,7)，cs(α－β)＝eq \f(13,14)，若0<β<α(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq \f(1,2)，tan β＝－eq \f(1,7)，则2α－β的值为________.
【解析】 (1)由cs α＝eq \f(1,7)，0<α得sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))\s\up12(2))＝eq \f(4\r(3),7).
由0<β<α∴sin(α－β)＝eq \r(1－cs2（α－β）)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13,14)))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(3),14).
由β＝α－(α－β)得cs β＝cs[α－(α－β)]
＝cs αcs(α－β)＋sin αsin(α－β)＝eq \f(1,7)×eq \f(13,14)＋eq \f(4\r(3),7)×eq \f(3\r(3),14)＝eq \f(1,2).
∵β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴β＝eq \f(π,3).
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝eq \f(tan（α－β）＋tan β,1－tan（α－β）tan β)
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq \f(1,3)>0，
又α∈(0，π)，∴0<α又∵tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq \f(3,4)>0，
∴0<2α∴tan(2α－β)＝eq \f(tan 2α－tan β,1＋tan 2αtan β)＝eq \f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.
∵tan β＝－eq \f(1,7)<0，∴eq \f(π,2)<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－eq \f(3π,4).
规律方法 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.
2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好.
考点三 三角恒等变换的简单应用
【例3】设函数f(x)＝sin2ωx－cs2ωx＋2eq \r(3)sin ωxcs ωx＋λ的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))，求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,5)))上的最值.
【解析】 (1)f(x)＝sin2ωx＋2eq \r(3)sin ωx·cs ωx－cs2ωx＋λ
＝eq \r(3)sin 2ωx－cs 2ωx＋λ
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx－\f(π,6)))＋λ，
因为图象关于直线x＝π对称，
所以2πω－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，
所以ω＝eq \f(k,2)＋eq \f(1,3)(k∈Z)，又ω∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))，
令k＝1时，ω＝eq \f(5,6)符合要求，
所以函数f(x)的最小正周期为eq \f(2π,2×\f(5,6))＝eq \f(6π,5).
(2)因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝0，
所以2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(5,6)×\f(π,4)－\f(π,6)))＋λ＝0，则λ＝－eq \r(2).
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)x－\f(π,6)))－eq \r(2).
由0≤x≤eq \f(3,5)π，知－eq \f(π,6)≤eq \f(5,3)x－eq \f(π,6)≤eq \f(5,6)π，
∴当eq \f(5,3)x－eq \f(π,6)＝－eq \f(π,6)，即x＝0时，f(x)取最小值－1－eq \r(2).
当eq \f(5,3)x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(2,5)π时，f(x)取最大值2－eq \r(2).
规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.
2.把形如y＝asin x＋bcs x化为y＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
[方法技巧]
1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.
(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.
2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.
3.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.
4.在(0，π)范围内，sin α＝eq \f(\r(2),2)所对应的角α不是唯一的.
5.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.
课时作业
1．（2020·渭南市尚德中学高一月考）化简的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
2．（2019·贵州省高二学业考试）计算的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】.
3．（2020·上海高一课时练习）若，则的值为（ ）
A．B．C．或0D．
【答案】C
【解析】由，得，
得，得或，
得或.
4．（2020·新疆维吾尔自治区高三其他（文））若角的终边过点，则的值为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】角的终边过点，
，
.
5．（2020·江西省南昌二中高二月考（文））若，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】，.
于是
6．（2020·山西省高三其他（文））已知sin（），则sin2x的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设,则，,选C.
7．（2020·山西省高三其他（理））已知，(0, π)，则=
A．1B．C．D．1
【答案】A
【解析】，，
，即，故
8．（2020·渭南市尚德中学高一月考）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，
.
9．（2020·渭南市尚德中学高一月考）的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
.
10．（2020·福建省高三其他（理））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
，
.
11．（2020·遵义市南白中学高三其他（文））已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由得，
∴，即，
∴，
12．（2020·渭南市尚德中学高一月考）若，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，，故选B.
13．（2020·常德市第二中学高三其他（文））设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，，∴，，因为，∴，因为，所以.
14．（2019·延安市第一中学高三月考（文））设，且是第四象限角，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
，
是第四象限角，，
由半角公式得，故选A.
15．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，
联立方程组，可得，
又由.
16．（多选题）（2020·福建省宁化第一中学高一期中）若，则下列不等式中不一定成立的是( )
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】，，
，，，
则，
即，则B一定成立，C一定不成立；
当时，
当时，
则A，D可能成立，也可能不成立；
17．（2020·福建省南安市侨光中学高一月考）在中，，，下列各式正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】，，
，，选项A，B错误；
，
①，
又②，
联立①②解得，，故选项C，D正确:
18．（2020·山东省安丘市实验中学高一期中）下列各式中，值为的是（ ）
A．B．C．
D．E.
【答案】BCE
【解析】不符合，；
符合，；
符合，；
不符合，；
符合，．
19．（2020·上海高一期中）已知且则______.
【答案】
【解析】已知且根据二倍角公式得到
因为故得到，,故得到
20．（2020·上海高一期中）已知（），则等于________
【答案】
【解析】
又（）
21．（2020·上海高一月考）已知，，，求：
（1）和的值；
（2）的值.
【解析】由，，可得，，
又由，.
解：由(1)得，，，
22．（2020·湖南省高一月考）已知，求：
（1）；
（2）
【解析】（1）
（2）
23．（2020·宝鸡中学高一期中）已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
【解析】（1）∵，，∴在第四象限，
所以，从而；
（2）.
24．（2020·陕西省西安中学高一期中）计算（1）已知，均为锐角，，角的顶点是直角坐标系的原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点，求；
（2）已知，且，求．
【解析】（1）为锐角，,
所以，
因为终边上有点，
所以，
.
（2）
因为，所以，故.