4.3 利用导数求极值最值（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份4.3 利用导数求极值最值（精讲+精练+原卷+解析），共32页。
1．（2021·陕西汉中市）设是函数的一个极值点，则（ ）
A．﹣3B．C．D．3
【答案】C
【解析】∵由已知可得，∴．故选：C．
2．（2021·浙江）函数在处（ ）
A．有极大值B．无极值C．有极小值D．无法确定极值情况
【答案】B
【解析】，则，
令，解得，令，解得，令，或，
所以函数在单调递增；在单调递减，
所以在处无极值.故选：B
3．（2021·全国专题练习）已知函数，则（ ）
A．在上为增函数B．在上为减函数
C．在上有极大值D．在上有极小值
【答案】A
【解析】，，令，则，
因此在上，，单减；在上，，单增；
又，因此，即，
故在及上，单增，无极值，故选：A
4．（2021·全国高三专题练习）函数（e为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A． 在R上只有一个极值点B．在R上没有极值点
C．在处取得极值点D．在处取得极值点
【答案】C
【解析】由题意，，
∴若，即或，
令，则，
∴当时，；当时，；
∴在上递减，在上递增；又，而，故在上存在一个零点.
∴在R上至少存在两个极值点，分别为、.
故选：C
5．（2021·安徽池州市）若函数，则（ ）
A．既有极大值，也有极小值B．有极小值，无极大值
C．有极大值，无极小值D．既无极大值，也无极小值
【答案】B
【解析】依题意，；令，解得，故当时，，当时，，故当时，函数有极小值，且函数无极大值，
故选：B．
6．（2021·江苏）若函数的极大值点与极大值分别为a，b，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，
或，
，或，
在单调递增，在单调递减，
为极大值点，且，
，，
，故选：C.
7．（2021·江西上饶市）函数的所有极大值点从小到大排成数列，设是数列的前项和，则（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】B
【解析】在，先在时讨论时极值点．
由已知，由得，或，，
易知当（）时，，当（）时，，所以的极大值点是，
所以，是等差数列，公差，首项为，
，是偶数，
所以．
故选：B．
8．（2021·安徽省太和中学高三）设函数，则（ ）
A．有极大值，且有最大值
B．有极小值，但无最小值
C．若方程恰有一个实根，则
D．若方程恰有三个实根，则
【答案】D
【解析】由题意，
∴当或时，，当时，，
在和上递增，在上递减．
极大值＝，极小值＝，
或时，，时，，时，，
∴也是最小值．无最大值．
作出的图象，和直线，如图，
当或时，有一个根，当时，有三个根．
故选：D．
9．（2021·安徽师范大学附属中学）函数的极值点是___________.
【答案】1
【解析】的定义域为，，
所以令，解得，令，解得，
所以为的极值点.
故答案为：1.
10．（2021·湖北武汉市·华中师大一附中）写出一个定义在上且使得命题“若，则1为函数的极值点”为假命题的函数__________．
【答案】答案不唯一)
【解析】由题意，且在处不存在变号零点，例如，则，所以，且，符合题意.故答案为：答案不唯一)
11．（2021·陕西宝鸡市）设是函数的一个极值点，则___________.
【答案】
【解析】因为，是函数的一个极值点
所以，所以
所以
故答案为：
【题组二 图像与极值（点）】
1．（2021·全国课时练习）已知函数的导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．在，上为减函数
B．在，上为增函数
C．的极小值为，极大值为
D．的极大值为，极小值为
【答案】D
【解析】根据函数的图象可知：
当时，，即，因此当时，函数单调递增；
当时，，即，因此当时，函数单调递减，显然当，函数有极小值，极小值为；
当时，，即，因此当时，函数单调递减；
当时，，即，因此当时，函数单调递增，显然当，函数有极大值，极大值为，
由上可以判断D是正确的.
故选：D
2．（2021·甘肃兰州市·兰州一中）设三次函数的导函数为，函数的部分图象如下图所示，则（ ）
A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
【答案】A
【解析】观察图像知，当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故当时，函数取得极小值为；
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
故当时，函数取得极大值为；
故选：A
3．（2021·全国课时练习）若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（ ）．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】，但在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值，
但有极值则在极值处一定等于.所以“有实根”是“有极值”的必要不充分条件.故选：A
4．（2021·浙江高二课时练习）设，则函数（ ）
A．有且仅有一个极小值B．有且仅有一个极大值
C．有无数个极值D．没有极值
【答案】A
【解析】，，∴单调递增且，
∴当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故有唯一的极小值点.故选：A.
5．（2021·全国课时练习） 如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】由导函数f′(x)的图象知
在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；
在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；
在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；
所以f(x)的极小值点的个数为1，
故选：A
10．（2021·全国课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．当时，则为的极大值
B．当时，则为的极小值
C．当时，则为的极值
D．当为的极值且存在时，则有
【答案】D
【解析】不妨设函数则可排除ABC
由导数求极值的方法知当为的极值且存在时，则有故选：D
11．（2021·陕西西安市）设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是
A．函数有极大值 和极小值
B．函数有极大值 和极小值
C．函数有极大值 和极小值
D．函数有极大值 和极小值
【答案】D
【解析】则函数增；
则函数减；
则函数减；
则函数增；选D.
【题组三 已知极值（点）求参数】
1．（2021·江苏苏州市）已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ）
A．1B．3C．1或3D．2或
【答案】B
【解析】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，
所以，解得或，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极大值，故满足题意
综上.
故选：B
2．（2021·四川凉山彝族自治州）若是函数的极值点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为函数，
所以，
因为是函数的极值点，
所以，即，
两边取以e为底的对数得： ，
即，
令 ，即 ，
因为，
所以 在上递增，
所以，即，
故选：C
3．（2021·浙江）已函，若在处取得极小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；
当时，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，满足题意；
当时，在上单调递增，不满足题意；
当时，在上单调递增，在上单调递减，不满足题意．故的取值范围为，
故选：D．
4．（2021·湖南师大附中）已知函数在处取得极值0，则（ ）
A．4B．11C．4或11D．3或9
【答案】B
【解析】因为，由题有，即，解得或，检验：当时，不合题意，舍掉；
当'时，，令，得或；令得.
所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则.
故选：B.
5．（2021·四川成都市）在中，，，分别为，，所对的边，若函数有极值点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，根据有极值点，
则有两个不同的实数根.
所以，即
由余弦定理可得，由，所以，
由，则
所以的范围是
故选：B
6．（2021·安徽宣城市）若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】函数，
，
由函数存在两个极值点，，
有两个不等实数根，
，，
解得．
且，．
则
，
令，．
，
在上单调递减．
．
的取值范围是．
故选：A．
7．（2021·浙江高三月考）已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，得.
下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A，B，C，D逐一分析.
对选项A：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
对选项B：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；
对选项C：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
对选项D：若，由图可知是的极小值点，不合题意；
故选：B.
8（2021·全国高三其他模拟）已知函数，若函数有三个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，求导，得，
令，得，或.
要使有三个极值点，则有三个变号实根，
即方程有两个不等于1的变号实根.
，令，
则，令，得.
易知，且，；，.
所以，当时，方程即有两个变号实根，
又，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
【题组四 无参函数的最值】
1．（多选）（2021·江苏泰州市）函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A．﹣3是函数y＝f（x）的极值点
B．﹣1是函数y＝f（x）的最小值点
C．y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增
D．y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零．
【答案】BD
【解析】根据导函数图象可知当x∈（﹣∞,﹣3）时，，在时，，
∴函数y＝f（x）在（﹣∞,﹣3）上单调递减，在上单调递增，故C正确；
则﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，故A正确；
∵在上单调递增，∴﹣1不是函数y＝f（x）的最小值点，故B不正确；
∵函数y＝f（x）在x＝0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故D不正确；
故选：BD
2．（多选）（2021·广东潮州市·高三二模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．时，取得最大值D．时，取得最小值
【答案】AB
【解析】由图象可知：当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
对于A，，，A正确；
对于B，，，B正确；
对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；
对于D，由单调性知，D错误.
故选：AB.
3．（多选）（2021·山东潍坊市·高三三模）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的周期为B．的图象关于对称
C．的最大值为D．在区间在上单调递减
【答案】ACD
【解析】由于，故A正确；
由于，
即的图象不关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减；
所以，故C正确；
由C项分析可知，在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
4．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.
【答案】1
【解析】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
故答案为：1.
5．（2021·江西高三二模）已知函数，则在上的最大值是__________．
【答案】
【解析】由题意可知，，
，．
当时，，
函数在区间上单调递增，则．
故答案为：
6．（2021·湖南）函数的最小值为_________.
【答案】
【解析】当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，的最小值为
【题组五 已知最值求参数】
1．（2021·湖南）已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意，且，
∴，则，
∴当时，，单调递减；当或时，，单调递增；
∴在上，单调递增；，单调递减；
∵，
∴在上最大值是.
故选：A.
2．（多选）（2021·云南）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】因为，所以，
令，解得，
所以在和时，，在时，，
所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，
则在内单调递增，所以在内，最大；
在时单调递减，所以在内，最大；
在时单调递增，所以在内，最大；
因为，且在区间上的最大值为28，
所以，即k的取值范围是，
故选：AB.
3（2021·江西）已知函数有最小值，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．不确定
【答案】C
【解析】由题意，，
因为函数有最小值，且，
所以函数存在单调递减区间，即有解，
所以有两个不等实根，
所以函数的零点个数为2.
故选：C.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题.
4．（2021·四川眉山市）若曲线在点处的切线方程为，则的最小值为（ ）
A．-1B．C．D．1
【答案】C
【解析】由，则切点为
求导，则切线斜率，
切线方程为，即
则
令，则，令，得
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
故当时，函数取得最小值，即的最小值为
故选：C
5．（2021·西藏拉萨市·高三二模（理））设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题得.设切点，
则;
则切线方程为
即
又因为是曲线的切线
所以
则.
令.
则.
则有时，在上递减;
时，在上递增﹐
所以时，取最大值
即的最大值为.
故选：D．
6．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数在上单调递减，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由在上单调递减，
得，
即，
令，则，
当时， ，则，
所以，即，
所以在是单调递减函数，，
得，的最小值为.
故选：D.
7．（2021·上海）函数在，上最大值为2，最小值为0，则实数取值范围为（ ）
A．，B．，C．，D．
【答案】A
【解析】. ，，
令，则或(舍负)，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
函数在，上最大值为2，最小值为0，且，（1），
.故选：A.
8．（2021·青海）函数+m在[0，2]上的最小值是2-e，则最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】，
因为，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，根据题意有，
所以，
当时，，当时，，
所以其最大值是2，
故选：B.
9．（2021·河南鹤壁市）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】解：由，可得，
当，，当或时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得，令，可得或，则的图像如图所示，
因为函数在区间上有最小值，故，
解得：，
故选：C.
10．（2021·天津）若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，
且函数在区间上存在最大值，
故只需满足，
所以，，
解得．
故选：C．
11．（2021·浙江）若函数在区间内既存在最大值也存在最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由得或，
可以判断在处取得极小值，在处取得极大值.
令，得或，令，得或，
由题意知函数在开区间内的最大、最小值只能在和处取得，
结合函数的图象可得：，解得，
故的取值范围是.
故选：A
12．（2021·浙江）设函数在区间 上存在零点，则的最小值为（ ）
A．7B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，函数，
设为函数在上的零点，则 ，
即，即点 在直线上，
又由表示点到原点的距离的平方，
则，即 ，
令，则 ，
因为，所以 ，
可得函数在区间上单调递增，
所以当时，函数取得最小值，最小值为，
所以的最小值为.
故选：C.