第05讲-函数的单调性与最值（讲义版）学案

这是一份第05讲-函数的单调性与最值（讲义版）学案，共10页。

知识梳理
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间.
2.函数的最值
[方法技巧]
1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,f（x）)的单调性相反.
3.“对勾函数”y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)的增区间为(－∞，－eq \r(a))，(eq \r(a)，＋∞)；单调减区间是[－eq \r(a)，0)，(0，eq \r(a)].
经典例题
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．>0
B．f(a)C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
D．>0
【答案】B
【解析】
试题分析：函数在[a，b]上是增函数则满足对于该区间上的，当时有，因此，(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0，均成立，因为不能确定的大小，因此f(a)【例1－2】（2020·诸城市教育科学研究院高一期末）函数的单调递增区间为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由解析式知函数图像为开口向下的抛物线,且对称轴为轴,故可得出其单调增区间.
【详解】
∵函数, ∴函数图像为开口向下的抛物线,且其对称轴为轴
∴函数的单调增区间为.
规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.
2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.
考点二 求函数的最值
【例2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用分子分离法化简，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
，
又，
的值域为，故选：C.
【例2－2】（2020·民勤县第一中学高二期中（理））下列结论正确的是( )
A．当时，的最小值为B．当时，
C．当时，无最大值D．当且时，
【答案】B
【分析】
结合函数的单调性及基本不等式逐个判断即可．
【详解】
对于A，x+在[2，+∞）上单调增，所以x=2时，的最小值为，故A错误；
对于B，当x＞0时，，当且仅当x=1时，等号成立，故B成立；
对于C，在（0，2]上单调增，所以x=2时，取得最大值，故C不成立；
对于D，当0＜x＜1时，lgx＜0，＜0，结论不成立；
规律方法 求函数最值的四种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.
(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
考点三 函数单调性的应用
【例3－1】（2020·安徽师范大学附属中学高三月考（理））若函数有最小值，则实数的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
分别求出两段的范围，结合图象即可得到实数的取值范围.
【详解】
作出的图象：
当时，，
当时，在上在 上
则在上单调递减，在 上单调递增，又
∴，
函数有最小值，则，
即，故选：B
【例3－2】（2020·江苏省高一期末）函数（e是自然对数的底数）的图象大致为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
利用分离常数的方法，将式子化简，可得，根据单调性以及值域，可得结果.
【详解】因为
所以，
可知是递增的函数，
所以为递减的函数，
则是递减的函数，
且
所以
则，所以A正确
故选：A
【例3－3】（2019·会泽县第一中学校高二开学考试（理））已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
不等式为(*)，
当时，(*)式即为，，
又（时取等号），
（时取等号），
所以，
当时，(*)式为，，
又（当时取等号），
（当时取等号），
所以，
综上．故选A．
规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”.
[思维升华]
1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：
(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.
2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.
3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用均值不等式.
[易错防范]
1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝eq \f(1,x).
课时作业
1．（2020·湖南省茶陵三中高二开学考试）已知函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·湖北省高一月考）下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2019·湖南省长郡中学高二期中）下列函数中，在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2019·江苏省高一月考）下列函数，在区间上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·吉林省高三二模（理））下列与函数定义域和单调性都相同的函数是（ ）
A．B．C．D．
6．（2020·北京高三零模）下列函数中，在区间上为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2019·全国高三二模（理））若定义在R上的函数满足，且当时，，则满足的的取值范围是
A．B．C．D．
8．（2020·河北省衡水中学高三月考（理））函数是定义在上的增函数，则函数的单调减区间是（ ）
A．B．C．D．
9．（2020·湖北省高一期末）用表示a，b两个数中的最小值，设，则的最大值为（ ）
A．-2B．-3C．-4D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．（2019·河南省高三月考（理））若函数的图象关于原点对称，则函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
12．（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知函数，则函数有（ ）
A．最小值 ，无最大值B．最大值 ，无最小值
C．最小值1，无最大值D．最大值1，无最小值
13．（2020·九台市第四中学高一期末）给定函数：①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是__________．
14．（2019·江苏省高三月考）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．
15．（2019·嘉兴市第五高级中学高一期中）已知t为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则
16．（2018·安徽省六安二中高一月考）定义在上的函数满足且，又当且时，有.若对所有，恒成立，则实数的取值范围是__________.
17．（2020·枣庄市第三中学高二月考）已知函数在时有最大值1和最小值0，设.
（1）求实数的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．（2018·湖南省衡阳市八中高一月考）已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.
（1）证明：函数在区间内必有局部对称点；
（2）若函数在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
19．（2020·湖南省高一开学考试）已知函数，且.
（1）求实数的值，并指出函数的定义域；
（2）将函数图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数的图象，写出函数的表达式；
（3）对于（2）中的，关于的函数在上的最小值为2，求的值.
20．（2019·安徽省蚌埠二中高二月考）若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数.
（Ⅰ）若，是“距”增函数，求的取值范围；
（Ⅱ）若，，其中，且为“2距”增函数，求的取值范围.
21．（2020·湖南省株洲二中高一月考）设函数，函数在区间上的最大值为.
（1）若，求的值；
（2）若对任意的恒成立，求的最大值.增函数
减函数
定义
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当
Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数
Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；
(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M
结论
M为最大值
M为最小值