第09讲-对数与对数函数（讲义版）学案

第09讲-对数与对数函数

一、                   考情分析

　1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；   2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；                                                                                                                                                                            3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a>0，且a≠1)．

二、                   知识梳理

1.对数的概念

一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.

2.对数的性质、换底公式与运算性质

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).

(2)对数的运算法则

如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R)；

④loga mMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).

(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

4.反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.

[微点提醒]

1.换底公式的两个重要结论

(1)logab＝；(2)logambn＝logab.

其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.

2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.

3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.

三、                   经典例题

考点一　对数的运算

【例1-1】 (1)计算：÷100－＝________.

(2)计算：＝________.

【解析】　(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.

(2)原式＝

＝

＝＝＝＝1.

规律方法　1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.

2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.

3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.

考点二　对数函数的图象及应用　

【例2-1】 (1)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是(　　)

(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范围是(　　)

A.(0，1)    B.(1，2)

C.(1，2]    D.

【解析】　(1)由f(x)在R上是减函数，知0<a<1.

又y＝loga(|x|－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).

∴当x>1时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax向右平移一个单位得到.因此选项D正确.

(2)由题意，易知a>1.

在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.

若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.

根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.

结合图象，a的取值范围是(1，2].

规律方法　1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

考点三　对数函数的性质及应用　

【例3－1】 已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)

A.f(x)在(0，2)上单调递增

B.f(x)在(0，2)上单调递减

C.y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称

解析　由题意知，f(x)＝ln x＋ln(2－x)的定义域为(0，2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝

ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A，B；又f(2－x)＝ln(2－x)＋ln x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.

答案　C

【例3－2】 (1)(一题多解)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)

A.a>b>c    B.b>a>c

C.c>b>a    D.c>a>b

(2)若loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是(　　)

A.(0，1)    B.

C.    D.(0，1)∪(1，＋∞)

【解析】　(1)法一　因为a＝log2e>1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.

法二　log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.

(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，

又loga(a2＋1)<loga2a<0，所以0<a<1，

同时2a>1，∴a>.综上，a∈.

【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).

(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；

(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.

【解析】　(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，

则t(x)＝3－ax为减函数，

x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，

当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，

即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.

∴3－2a>0.∴a<.

又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.

(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，

∴函数t(x)为减函数.

∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，

∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，

∴即

故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.

规律方法　1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.

2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.

3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.

[方法技巧]

1.对数值取正、负值的规律

当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；

当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.

2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.

3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.

4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.

5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0<a<1与a>1两种情况讨论.

6.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N+，且α为偶数).

7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.

四、                   课时作业

1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y＝ln|x|＋1的图象大致为 （ ）

A．    B． C．  D．

3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数的定义域为（ ）

A．（，1）     B．（，∞）     C．（1，+∞）      D．（，1）∪（1，+∞）

5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数，，，则a，b，c的大小关系是　　

A． B．

C． D．

6．（2020·肥东县综合高中高三二模（理））已知函数，若，且，则（    ）

A． B． C． D．随值变化

7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列的各项均为正数，且，则（   ）

A． B． C． D．

8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知，且，则函数与函数的图像可能是（ ）

A．                   B．

C． D．

9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数，则的值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数，若，则此函数的单调递增区间是（    ）

A． B． 

B．C．                     D．

11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在上的函数在区间上单调递增，且的图象关于对称，若实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数为奇函数（其中为常数），则不等式的整数解的个数是（    ）

A． B． C． D．

13．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：的值是________．

14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数，若，则实数的值是_______．

15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值

（1）；

（2）．

16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数，且．

（1）求的值；

（2）令，将表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．

17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数 ．

（1）当时，函数恒有意义，求实数的取值范围；

（2）是否存在这样的实数，使得函数f（x）在区间上为减函数，并且最大值为？如果存在，试求出的值；如果不存在，请说明理由．

18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数．

（1）当时，求的定义域；

（2）试判断函数在区间上的单调性，并给出证明；

（3）若在区间上恒取正值，求实数的取值范围．

19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数．

（1）求函数定义域；

（2）若，判断函数单调性，并用单调性定义证明；

（3）解关于的不等式．

20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数.

(1)当时，求函数的值域；

(2)如果对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．