第12讲-函数与数学模型（解析版）学案

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第12讲-函数与数学模型
一、 考情分析
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律；
2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义；
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.
二、 知识梳理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数
性质　　　
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值变化
而各有不同
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数
相关模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数
相关模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数
相关模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
[微点提醒]
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.
三、 经典例题
考点一　利用函数的图象刻画实际问题
【例1】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.

根据该折线图，下列结论错误的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【解析】　由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误.
规律方法　1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
考点二　已知函数模型求解实际问题
【例2】 为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10，k为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
【解析】　(1)当x＝0时，C＝8，∴k＝40，
∴C(x)＝(0≤x≤10)，
∴f(x)＝6x＋＝6x＋(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)＝2(3x＋5)＋－10.
令3x＋5＝t，t∈[5，35]，
则y＝2t＋－10≥2－10＝70(当且仅当2t＝，即t＝20时等号成立)，
此时x＝5，因此f(x)的最小值为70.
∴隔热层修建5 cm厚时，总费用f(x)达到最小，最小值为70万元.
规律方法　1.求解已知函数模型解决实际问题的关注点.
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.
2.利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
考点三　构造函数模型求解实际问题
【例3－1】活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4 (1)当0 (2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值.
【解析】(1)由题意得当0 显然v＝ax＋b在(4，20]内是减函数，
由已知得解得
所以v＝－x＋.故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意，
由(1)得f(x)＝
当0 当4 所以当0 故当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.
【例3－2】 一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
【解析】　(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
故每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，把x＝1－代入，
即＝，即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
规律方法　1.指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化.
2.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解.但应关注以下两点：
①分段要简洁合理，不重不漏；②分段函数的最值是各段的最大(或最小)值中的最大(或最小)值.
[方法技巧]
1.解函数应用问题的步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题.
以上过程用框图表示如下：

2.解应用题思路的关键是审题，不仅要明白、理解问题讲的是什么，还要特别注意一些关键的字眼(如“几年后”与“第几年后”，学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读，导致题目不会做或函数解析式写错，故建议复习时务必养成良好的审题习惯.
3.在解应用题建模后一定要注意定义域，建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系.
4.解决完数学模型后，注意转化为实际问题写出总结答案.
四、 课时作业
1．夏季山上气温从山脚起每升高100米，降低0.7℃，已知山顶气温是14.1℃，山脚下气温是26℃，那么山顶相对山脚的高度是 （ ）
A．1500米 B．1600米 C．1700米 D．1800米
【答案】C
【解析】由（米）,知应选C.
2．截至2019年10月，世界人口已超过75亿.若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就可相当于一个（ ）
A．新加坡（570万） B．希腊（1100万） C．津巴布韦（1500万） D．澳大利亚（2500万）
【答案】C
【解析】由题可知，年增长率为0.001，则两年后全世界的人口有万，
则两年增长的人口为万
3．人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为.喷气式飞机起飞时，声音约为，一般说话时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍.
A． B． C．8 D．
【答案】D
【解析】由，
所以当时，可得
当当时，可得
所以喷气式飞机起飞时的声音强度
是一般说话时声音强度的
4．当强度为x的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数）.装修电钻的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，
由题意，，
所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为
.
5．在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）之间满足函数关系（为自然对数的底数，，为常数），若该食品在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则该食品在时的保鲜时间为( )
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【答案】C
【解析】由题意可得，解得，，
所以当时，，
6．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱型，因为其各向受力均衡，而且在相同截面下，浇筑用模最省. 假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关于时间的函数为，若圆柱的体积以均匀速度增长，则圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径（ ）
A．成正比，比例系数为 B．成正比，比例系数为
C．成反比，比例系数为 D．成反比，比例系数为
【答案】C
【解析】由，知. 即，∴，又圆柱的侧面积，
则其侧面积增长速度，
∴圆柱的侧面积的增长速度与圆柱半径成反比，比例系数为，
7．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设最初总生产值为,则第一年的总产值为,第二年的总产值为，
设平均增长率为,故，
解得，
故两年平均增长率为.
8．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）
A．10天 B．15天 C．19天 D．2天
【答案】C
【解析】设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积，
根据题意，令，解得，
9．5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至2000，则大约增加了（ ）
A．10% B．30% C．50% D．100%
【答案】A
【解析】当时，
当时，
则
又，根据选项分析，
所以信噪比从1000提升至2000，则大约增加了10%.
10．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为　　
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
同理：孩子在2周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
孩子在3周岁生日时存入的元产生的本利合计为，

孩子在17周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前17项的和，
此时将存款（含利息）全部取回，
则取回的钱的总数：
；
11．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：
级数
一级
二级
三级
每月应纳税所得额元（含税）



税率
3
10
20
现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（ ）
A．1800 B．1000 C．790 D．560
【答案】C
【解析】李某月应纳税所得额（含税）为：元，
不超过3000的部分税额为元，
超过3000元至12000元的部分税额为元，
所以李某月应缴纳的个税金额为元．
12．（多选题）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）（ ）
A．6 B．9 C．8 D．7
【答案】BC
【解析】设经过次过滤，产品达到市场要求，则 ，即，由 ，即 ，得 ，
13．（多选题）如图，某池塘里的浮萍面积（单位：与时间（单位：月）的关系式为，且；a，且．则下列说法正确的是（ ）

A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月
D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则
【答案】BC
【解析】由题意可知，函数过点和点，代入函数关系式：，且；，且，得：，
解得：，
函数关系式：，
函数是曲线型函数，所以浮萍每月增加的面积不相等，故选项错误，
当时，，浮萍的面积超过了，故选项正确，
令得：；令得：，所以浮萍面积从增加到需要5个月，故选项正确，
令得：；令得：；令得：，，故选项错误，
14．某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数．f（t），随时刻t（时）变化的规律满足表达式，其中a为空气治理调节参数,且a∈（0，1）．
(1)令,求x的取值范围；
(2)若规定每天中f（t）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围．
【解析】(1)由题意,0≤t≤24，则1≤t+1≤10,
∴0=lg1≤lg（t+1）≤lg10=1．
故x的取值范围为：[0，1]．
(2)由(1),知：
可设
则．
根据一次函数的单调性,很明显h（x）在[0，a）上单调递减,在[a，1]上单调递增．
∴用表示函数的最大值是中最大的值.
∵，
∴,即,
解得0＜a≤．
∴a的取值范围为：（0，]．
15．某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理.现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图.100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.

（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？
（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕.
①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；
②求当天的利润不低于600圆的概率.
（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？
【解析】（1）当时，，
当时，．
（2）①由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：

②设“当天利润不低于”为事件，由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”
，所以当天的利润不低于元的概率为：．
（3）若一天制作个蛋糕，则平均利润为：；
若一天制作个蛋糕，则平均利润为：；
，蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕.
16．2019年是我国脱贫攻坚关键年.在扶贫工作中，为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，企业在经营过程中每月还要支付给职工3万元最低工资保障.
（Ⅰ）写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（Ⅱ）当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出最大利润；
（Ⅲ）企业只依靠生产并销售该产品，最早在几年后能偿还所有贷款？
【解析】（Ⅰ）当时，
年利润；
时，.
所以；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，，
所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元；
时，，
当且仅当万件时，乙获得的利润最大为24万元.
综上可知，年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为24万元.
（Ⅲ）由题意，设最早年后还清所有贷款，
则有，解得，
所以企业最早5年后还清所有贷款.
17．某水果批发商销售进价为每箱40元的苹果，假设每箱售价不低于50元且不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量y（箱）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售单价x（元/箱）之间的函数关系式.
（3）当每箱苹果的售价为多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润是多少？
【解析】（1）根据题意，得，化简得.
（2）因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润，
所以.
（3）因为，
所以当时，随x的增大而增大.
又，，所以当时，有最大值，最大值为1125.
所以当每箱苹果的售价为55元时，每天可以获得最大利润，最大利润为1125元.