第16讲-导数与函数的零点（讲义版）学案

第16讲-导数与函数的零点

一、                       经典例题

考点一　判断零点的个数

【例1】已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．

解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.

∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.

(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，

∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：

当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0，

当x>3时，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，

因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，

故g(x)仅有1个零点．

规律方法　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法

(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．

(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

考点二　已知函数零点个数求参数的取值范围

【例2】 函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

解　(1)函数f(x)＝ax＋xln x的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝a＋ln x＋1，

因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋xln x，

即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；

令f′(x)<0，解得0<x<1.

所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．

(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点．

由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，

由题意得，m＋1>－1，

即m>－2，①

当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.

当x>0且x→0时，f(x)→0；

当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.

由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②

由①②可得－2<m<－1.

所以m的取值范围是(－2，－1)．

规律方法　与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．

考点三　函数零点的综合问题

【例3】 设函数f(x)＝e2x－aln x.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；

(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln .

(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．

当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；

当a>0时，因为y＝e2x单调递增，y＝－单调递增，

所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又f′(a)>0，假设存在b满足0<b<时，且b<，f′(b)<0，

故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．

(2)证明　由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，

当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，

所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．

由于2e2x0－＝0，

所以f(x0)＝＋2ax0＋aln ≥2a＋aln .

故当a>0时，f(x)≥2a＋aln .

规律方法　1.在(1)中，当a>0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而f′(x)在(0，

＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f′(b)<0.

2．由(1)知，函数f′(x)存在唯一零点x0，则f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f(x0)≥2a＋aln .

 [方法技巧]

1．解决函数y＝f(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象与x轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等．

2．通过等价变形，可将“函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点”与“方程f(x)＝g(x)的解”问题相互转化．

3．函数y＝f(x)在某一区间(a，b)上存在零点，必要时要由函数零点存在定理作为保证.

二、                       课时作业

1.已知函数f(x)的定义域为[－1，4]，部分对应值如下表：

f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.当1<a<2时，函数y＝f(x)－a的零点的个数为(　　)

A.1   B.2   C.3   D.4

2．（2020·四川省绵阳南山中学高三其他（文））设函数是偶函数的导函数，在区间上的唯一零点为2，并且当时，，则使得成立的的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．（2020·安徽省高三二模（理））函数恰有两个零点，，且，则所在区间为（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·四川省棠湖中学高二月考（理））函数在上有两个零点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

6．（2020·山东省高三二模）已知函数，若有两个零点，则实数的取值范围是________．

7.直线x＝t分别与函数f(x)＝ex＋1的图象及g(x)＝2x－1的图象相交于点A和点B，则|AB|的最小值为________.

8.若函数f(x)＝＋1(a<0)没有零点，则实数a的取值范围为________.

9.已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围.

10.设函数f(x)＝ln x＋(m>0)，讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数.

11.若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和.

12.已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数.

(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递增区间；

(2)当0<－<e时，若f(x)在区间(0，e)上的最大值为－3，求a的值；

(3)当a＝－1时，试推断方程|f(x)|＝＋是否有实数根.

13．（2020·陕西省西安中学高三其他（文））已知函数在处的切线与直线平行．

(1)求实数的值，并判断函数的单调性；

(2)若函数有两个零点，，且，求证：．

14．（2020·四川省高三三模（理））己知函数,它的导函数为.

（1）当时,求的零点；

（2）若函数存在极值点,求的取值范围.