第23讲-数列的概念及简单表示法（讲义版）学案

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第23讲-数列的概念及简单表示法 一、                   考情分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.二、                   知识梳理1.数列的定义按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an＋1＞an其中n∈N+递减数列an＋1＜an常数列an＋1＝an摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法.4.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.[微点提醒]1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，则an＝2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关.3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号.三、                   经典例题考点一　由数列的前几项求数列的通项【例1-1】 （2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（文））数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（    ）A． B．C． D．【解析】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C.【例1-2】已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是(　　)A.an＝(－1)n－1＋1    B.an＝C.an＝2sin    D.an＝cos(n－1)π＋1【解析】对n＝1，2，3，4进行验证，an＝2sin不合题意.【例1-3】已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________.【解析】各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.规律方法　由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+处理.考点二　由an与Sn的关系求通项【例2-1】（2020·全国高三（文））数列的前项和,则的通项公式 _____.【解析】当时,；当时,；∴故答案为【例2-2】（2020·北京高三二模）已知数列的前n项和，则（    ）A．3 B．6 C．7 D．8【解析】由数列的前n项和，当时，，则.故选：B.规律方法　数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.易错警示　在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.例如例2第(1)题易错误求出an＝2n(n∈N+).考点三　由数列的递推关系求通项　【例3-1】（2020·全国高三月考（理））已知数列的前n项和为，，，则数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．【解析】因为数列的前项和为，，，当时，；把代入检验，只有答案AB成立，排除CD；当时，；排除B；故选：A ．【例3-2】（2020·安徽省舒城中学高一月考（理））已知数列满足， ，则__________．【解析】因为，所以===【例3-3】（2020·全国高三（文））已知数列满足，，则=       ．【解析】，，累和得规律方法　由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且＝f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可用待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列.(4)形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解.易错警示　本例(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式.考点四　数列的性质【例4-1】（2020·北京高考真题）在等差数列中，，．记，则数列（    ）．A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项【解析】由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B.【例4-2】（2020·黑龙江省高三零模（理））已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（  ）A． B． C． D．【解析】根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3.本题选择D选项.【例4-3】（2020·上海高三专题练习）已知数列的通项公式为，则数列中的最小项为（    ）.A． B． C． D．【解析】因为,所以,所以,当且仅当取“=”.又因为.当时,.当时,.所以数列中的最小项为.故选：C.【例4-3】（2020·全国高三其他（理））已知数列的前项和为，且，数列满足，则数列的最小值为______.【答案】【解析】由，得，当时，.因为也适合上式，所以.由题意知，故当，即时，规律方法　1.在数学命题中，以数列为载体，常考查周期性、单调性.2.(1)研究数列的周期性，常由条件求出数列的前几项，确定周期性，进而利用周期性求值.(2)数列的单调性只需判定an与an＋1的大小，常用比差或比商法进行判断.[方法技巧]1.数列是特殊的函数，要利用函数的观点认识数列.2.已知递推关系求通项公式的三种常见方法：(1)算出前几项，再归纳、猜想.(2)形如“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列.(3)递推公式化简整理后，若为an＋1－an＝f(n)型，则采用累加法；若为＝f(n)型，则采用累乘法.3.解决数列问题应注意三点(1)在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值是正整数.(2)数列的通项公式不一定唯一.(3)注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.4.数列{an}中，若an最大，则an≥an－1且an≥an＋1；若an最小，则an≤an－1且an≤an＋1.四、                   课时作业1．（2020·河北省高一期中）数列，…的通项公式可能是（    ）A． B． C． D．2．（2020·周口市中英文学校高二期中（理））数列满足  ，，则等于(　　)A． B．－1 C．2 D．33．（2020·河北省唐山一中高一期中）数列满足，且，，则（  ）A． B． C． D．4．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）在数列中，，，则的值为（  ）A． B． C． D．以上都不对5．（2020·全国高三（文））设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（ ）A． B．C． D．6．（2020·全国高三（文））在数列中，，，则（ ）A． B． C．0 D．7．（2020·金华市江南中学高一期中）已知数列的前项和为，且，则（    ）A．-10 B．6 C．10 D．148．（2020·辽宁省高三月考（理））若是公比为的等比数列，记为的前项和，则下列说法正确的是（    ）A．若是递增数列，则，B．若是递减数列，则，C．若，则D．若，则是等比数列9．（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（文））数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（    ）A． B．C． D．10．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列11．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，能被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ）A．181 B．191 C．201 D．21112．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）已知数列满足：，，则（    ）A． B．5 C． D．13．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列，的前n项和为，则下列说法中正确的是（    ）A．数列是递增数列 B．数列是递增数列C．数列的最大项是 D．数列的最大项是14．（2020·黑龙江省齐齐哈尔市实验中学高一期中）已知数列满足：，，，则数列的通项公式为（    ）A． B． C． D．15．（2020·广西壮族自治区北流市实验中学高三开学考试（理））已知数列满足：，，则（）A． B． C． D．16．（2020·浙江省绍兴一中高一期中）在数列中，，则等于A． B． C． D．17．（2020·全国高二）等比数列的前项和，则等于（    ）A． B． C．3 D．118．（2020·定远县民族学校高一月考）已知数列满足，则（    ）A．1024 B．1023 C．2048 D．204719．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三三模（文））“克拉茨猜想”又称“猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果为奇数就将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到，得到即终止运算，己知正整数经过次运算后得到，则的值为（    ）A．或 B．或 C． D．或或20．（2020·黑龙江省哈师大附中高三月考（理））已知数列中的前项和为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．21．（2020·吉林省实验高一期中）已知数列中，，则下列关于的说法正确的是（    ）A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列22．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）数列中，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．23．（多选题）（2020·江苏省如皋中学高一月考）已知数列满足，，，，若存在正整数，，使得等式成立，则下列结论正确的有（ ）A． B．C． D．24．（多选题）（2020·山东省高三一模）已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，，则下列选项正确的为（    ）A．数列是等差数列 B．数列是等比数列C．数列的通项公式为 D．25．（多选题）（2018·山东省山东师范大学附中高二学业考试）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为26．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）已知数列的前项和为．（1）求出它的通项公式；（2）求使得最小时的值.27．（2020·江西省宜春实验中学高二期中（文））下面图形都是由小正三角形构成的,设第个图形中的黑点总数为.(1)求的值;(2)找出与的关系,并求出的表达式.①         ②           ③              ④28．（2020·辽宁省沈阳二中高三其他（理））已知数列满足：，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足：，求数列的通项公式.