第26讲-数列求和及数列的综合应用（解析版）学案

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第26讲-数列求和及数列的综合应用
一、 考情分析
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；
3.了解数列是一种特殊的函数；
4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.
二、 知识梳理
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝
2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解.
3.数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
[微点提醒]
1.1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
2.12＋22＋…＋n2＝.
3.裂项求和常用的三种变形
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝－.
三、 经典例题
考点一　分组转化法求和
【例1-1】（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（文））已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为.
因为，所以，所以，解得.
所以.
检验：当时，，
则，合乎题意.
因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）知.
所以.
所以数列的前项和.
【例1-2】（2020·全国高三其他（理））已知数列的前n项和满足，其中.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和.
【解析】（Ⅰ），①
∴当时，，解得；
当时，，②
由①-②得，
∴，
∴，
由得，
故是首项为，公比为的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
则的前项和，


．
规律方法　1.若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
2.若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.
考点二　裂项相消法求和
【例2-1】（2020·全国高三月考（文））数列中，，，数列满足．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【解析】（1）由，即.
而，，
即.又，
数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是，.
（2），
.

.
【例2-2】（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知各项均为正数的数列，其前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）当时，，
当时，，
∴，
∵，∴，
∴是以为首项，为公差的等差数列，
∴.
（2）由（1）的，则，

∴.

规律方法　1.利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.
2.将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
考点三　错位相减法求和
【例3-1】 （2020·黑龙江省哈尔滨三中高三二模（文））已知等差数列的前n项和为，，，数列的前n项和为.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【解析】（1）∵，即，
又∵，解得，
所以，
∵的前n项和
∴时，
时，
∴（）；
（2），
，
，
所以，


.
【例3-2】（2020·福建省高三其他（理））已知数列满足，，且是等差数列.
（1）求；
（2）设的前项和为，求.
【解析】（1）设等差数列的公差为，
由题意得，即，
解得，
，
即.
（2），
，
两式相减可得，
，
.
规律方法　1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法.
2.用错位相减法求和时，应注意：
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形.
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式.
考点四　数列的综合应用
【例4-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列满足=且=-（）.
（1）证明：1（）；
（2）设数列的前项和为，证明（）.
【解析】（1）由题意得，，即，，
由，
得，
由得，，
即；
（2）由题意得，
∴①，
由和，得，
∴，
因此②，
由①②得.
【例4-2】（2020·江苏省如皋中学高三其他）设数列的前n项和为，
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，是否存在q的某些取值，使数列中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q的全部取值集合，若不能说明理由．
（3）若，是否存在，使数列中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q的一个取值，若不存在，说明理由．
【解析】（1）n=1时，，
时，（n=1也符合）
，，即数列是等比数列．
（2）若则
可设，两边同除以得：
因为左边能被q整除，右边不能被q整除，因此满足条件的q不存在．
（3）若则
可设，，， 不成立．
【例4-3】（2020·上海高三二模）某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列，表示第周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：
策略：环境整治，“虫害指数”数列满足；
策略：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足；
当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.
（1）设第一周的虫害指数，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？
（2）设第一周的虫害指数，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？
【解析】（1）由题意可知，使用策略时，；使用策略时，
令，即当时，使用策略第二周严重程度更小；当时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当时，使用策略第二周严重程度更小.
（2）由（1）可知，最优策略为策略，即，所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，所以，即，令，可得，所以虫害最快在第9周解除.
规律方法　数列的综合应用常考查以下几个方面：
(1)数列在实际问题中的应用；
(2)数列与不等式的综合应用；
(3)数列与函数的综合应用.
解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识，又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力.解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题.
[方法技巧]
1.非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；
(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.
2.解答数列应用题的步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求的是什么.
(3)求解——求出该问题的数学解.
(4)还原——将所求结果还原到实际问题中.
3.直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论.
4.在应用错位相减法时，要注意观察未合并项的正负号.
5.解等差数列、等比数列应用题时，审题至关重要，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解.
四、 课时作业
1．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模（文））已知数列满足，，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，则，
，
所以，数列的前项和为.
2．（2020·四川省仁寿第一中学校北校区高三二模（文））已知等差数列的前项和为,则数列的前100项和为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.
∵a5＝5，S5＝15，
∴⇒⇒an＝n.
∴＝＝，
S100＝＋＋…＋
＝1－＝.

3．（2020·定远县育才学校高一月考）数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，故选B．
4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））已知数列的通项公式，则 （　　）
A．150 B．162 C．180 D．210
【答案】B
【解析】由对勾函数的性质可知：
当时，数列为递减；当时，数列为递增．
所以
=
=
=
=162
5．（2020·广西壮族自治区桂林十八中高二期中（理））我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，,…，.则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵ak=．
n≥2时，ak﹣1ak==n2（﹣）．
∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an=n2[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=n2（1﹣）=n（n﹣1）．
6．（2020·广东省高三其他（文））设，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由
得
，故选：A.
7．（2020·内蒙古自治区高三二模（理））已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
【答案】D
【解析】函数满足，①，
②，
由①②可得，
，所以数列
是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为．
8．（2020·上海高三专题练习）设，其中每一个的值都是0或2这两个值中的某一个，则一定不属于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，当都取时，取最小值；所以排除A；
当，都取时，，所以排除BD；
9．（2020·四川省棠湖中学高三二模（理））已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，


解得



故选
10．（2020·广东省高三其他（理））设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an+an+1＝2n（n∈N*），则S2020＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，可知


．
11．（2020·张家口市崇礼区第一中学高一期中）数列，，，…，，…的前n项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵
∴
=
==
12．（2020·福建省高三其他（理））记数列的前项和为，设，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为数列的前项和为，，
所以，当时，，
又满足，所以；
因此，
因此数列的前10项和为
.
13．（2020·江西省高三其他（理））已知数列满足，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，即，
所以数列是以3为公差，1为首项的等差数列，
所以，所以，
所以，
所以，故选：C
14．（2020·江西省宜丰中学高二开学考试（文））已知数列满足，数列的前项和为，则 (　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
两式作差，可得，即，
又当时，，即满足，因此；
所以；
因为数列的前项和为，
所以，
因此.
15．（2020·安徽省高三三模（理））数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，记该数列的前项和为，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，将上述各式两边相加得，，
所以.
16．（2020·江西省江西师大附中高三月考（理））数列的前项和的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

,故选：A
17．（2020·浙江省高三二模）已知数列，满足且设是数列的前项和，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由且，
得，，
所以，，
，
又，所以，解得，故选：C.
18．（2020·晋中市和诚高中有限公司高三月考（理））(　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】（1）
=（1）= ，故选C.
19．（2020·山西省山西大附中高三月考）已知等差数列的前项和为，，，则数列的前2020项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】等差数列的前项和为，，
由等差数列前n项和公式可得
所以，结合，
由等差数列通项公式可得，解得，
由等差数列通项公式可得，
则.
所以


.
20．（2020·河南省高三月考（理））已知数列满足，，则数列的前10项和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以数列是首项为3、公差为4的等差数列，所以，所以，
所以，
所以，故选：C.
21．（2020·甘肃省高三月考（理））已知正项数列的前项和为，且，，设数列的前项和为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以，
因此，即，
又为正项数列，所以，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，
因此，
所以，
因为，所以.
22．（2020·全国高三二模（文））已知等差数列满足，，则数列的前10项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意等差数列满足，，所以，所以，所以.所以数列的前10项的和为.
23．（2020·全国高三月考（文））已知数列满足，设数列的前n项和为Sn，则S2019 =（ ）
A．2020 B．2019 C．1010 D．0
【答案】D
【解析】由题意，可构造数列：令，则可得数列，，，，，，，，…即数列是最小正周期为的周期数列．
∴ 数列，，，，，，，，…
∴ ＝
＝
＝＝，
∴ ＝＝＝．
24．（2020·安徽省高三二模（理））已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当为奇数时，，
则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，
当为偶数时，，
则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.
所以

.
25．（2020·库车县乌尊镇中学高三月考（理））数列的前2016项和等于（ ）
A．－2016 B．2016 C．－2015 D．2015
【答案】B
【解析】.
26．（2020·盘县红果镇育才学校高三月考（文））记为数列的前n项和，且有，，则（ ）
A．255 B．256 C．502 D．511
【答案】C
【解析】依题意可得，则有
，
.
27．（2020·河南省鹤壁高中高三月考（文））各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等比数列的性质可得成等比，故选D.
28．（2019·全国高三专题练习）已知数列的通项公式为，数列满足，则数列的前10项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴
∴

，
.
29．已知数列的通项公式是，则
A． B． C．5 D．55
【答案】C
【解析】因为，
所以


30．（2020·全国高三其他（理））已知数列满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得．
所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，
所以，所以．
设的前项和为，则，
两边同乘2，得
，
两个式子相减得
，
所以，所以．
31．（2020·全国高三月考（理））已知等差数列的前项和为.若，，则数列前2019项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由等差数列性质可知，，解得；
而，故，则，故，
，
设的前项和为，则，
故.
32．（2020·辽宁省高三二模（文））已知数列满足.则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，，，……，
所以
所以
所以



33．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三一模（文））已知数列an是递增的等差数列，a2=3，a1，a3−a1，a8+a1成等比数列．
（I）求数列an的通项公式；
（II）若bn=3anan+1，求数列bn的前n项和Sn.
【解析】（I）设an的公差为d(d>0)，由条件得a1+d=3a12a1+7d=(2d)2d>0，
∴a1=1d=2，
∴an=1+2n-1=2n-1．
（II）由（I）可得bn=3anan+1=32n-12n+1=3212n-1-12n+1，
∴Sn=321-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-12n+1=3n2n+1．
34．（2020·哈尔滨市第一中学校高三一模（理））已知数列的前项和为，，且，
（1）证明：数列是等比数列：
（2）求数列的通项公式与前项和.
【解析】（1）因为，由已知可得，
因为，故即为常数.
所以是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由是以为首项，为公比的等比数列.
得，所以.
所以，
，
所以
.
所以.
综上，，.
35．（2020·黑龙江省大庆四中高一月考（文））数列{}满足
（1）若{}是等差数列，求其通项公式；
（2）若{}满足为{}的前项和，求．
【解析】（1）若数列{an}是等差数列，则an＝a1+（n﹣1）d，an+1＝a1+nd．
由an+1+an＝4n﹣3，得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d]＝4n﹣3，即2d＝4，2a1﹣d＝﹣3，解得d＝2，a1．故
（2）∵，∴
又∵，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4
∴，

=
=