第25讲-等比数列及其前n项和（解析版）学案

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第25讲-等比数列及其前n项和
一、 考情分析
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；
2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.体会等比数列与指数函数的关系.
二、 知识梳理
1.等比数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.
数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).
(2)如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，其中G＝±.
2.等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1；
通项公式的推广：an＝amqn－m.
(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3.等比数列的性质
已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则有ak·al＝am·an.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，
ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.
(3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.
[微点提醒]
1.若数列{an}为等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，也是等比数列.
2.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
3.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
三、 经典例题
考点一　等比数列基本量的运算
【例1-1】 （2020·湖南省高三三模（理））已知数列的前项和满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，可得.
两式相减得，即.
∵，∴
∴是首项为6，公比为3的等比数列
从而.
【例1-2】（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前8项的和为（ ）
A．64 B．22 C．-48 D．-6
【答案】C
【解析】等差数列的首项为，设公差（）．
若，，成等比数列，
所以，即， 解得，
所以的前8项和为．
【例1-3】（2020·陕西省高三二模（文））等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质得，所以，
所以，
则，故选：B.
规律方法　1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
考点二　等比数列的判定与证明
【例2-1】 （2020·上海高三专题练习）已知数列满足.
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明： .
【解析】（1）证明：由得，所以，所以是等比数列，首项为，公比为3，所以，解得.
（2）由（1）知：，所以，
因为当时，，所以，于是=，
所以.
【例2-2】（2020·安徽省六安一中高三月考（文））已知正项数列的前n项和为，若数列是公差为的等差数列，且是的等差中项.
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）若是数列的前n项和，若恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，
所以，故，所以；
所以数列是公比为3的等比数列，
因为是的等差中项，所以，
所以，
解得；
数列的通项公式为；
（2）由（1）可知，
故数列是以1为首项，为公比的等比数列，

，
因为恒成立，
所以，
即实数的取值范围为.
规律方法　1.证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.
2.在利用递推关系判定等比数列时，要注意对n＝1的情形进行验证.
考点三　等比数列的性质及应用
【例3-1】（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三三模（理））在等比数列中，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设公比为，因为，故，所以，故选：D.
【例3-2】（2020·定远县育才学校高三其他（理））已知正项等比数列{an}，若向量，，，则＝（ ）
A．12 B． C．5 D．18
【答案】D
【解析】由题意，向量，，，
则，即，
根据等比中项的知识，可得，
∵，故，
∴





【例3-3】（2020·陕西省高三三模（理））若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，，函数满足且，，则（ ）
A．e B． C． D．
【答案】A
【解析】因为数列为等差数列，且，所以；
又为等比数列，且，所以，所以；
又，所以，
所以函数的最小正周期为4，
又，
所以 ，即.
【例3-1】（2020·东北育才学校高三其他（文））已知正项等比数列的前项和为，，则公比的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，．
，
化为：，解得．
规律方法　1.在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度.
2.在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.
[方法技巧]
1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解.
2.(1)方程思想：如求等比数列中的基本量.
(2)分类讨论思想：如求和时要分q＝1和q≠1两种情况讨论，判断单调性时对a1与q分类讨论.
3.特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况.
4.Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1时且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立.
四、 课时作业
1．（2020·黑龙江省哈师大附中高三其他（文））数列的前项和为，首项，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，，得
当时，由得，
所以，即，
所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以，
所以，故选：B
2．（2020·海东市教育研究室高三其他（文））设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．1023 B．511 C． D．
【答案】A
【解析】设数列的公比为，由题意可得，所以，
由题得.
故.
3．（2020·宁夏回族自治区宁夏大学附属中学高三月考（文））等比数列不具有单调性，且是和的等差中项，则数列的公比（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【解析】等比数列不具有单调性，或，
是和的等差中项，所以，
或（舍去）.
4．（2020·贵州铜仁伟才学校高一期中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ）
A．人 B．人
C．人 D．人
【答案】D
【解析】由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8，
所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有：
,故选D.
5．（2020·全国高三（文））在等比数列中，，是方程的两根，则等于（ ）
A．1 B．-1 C． D．不能确定
【答案】B
【解析】∵，是方程的两根，∴，，∴，
又是等比数列，∴，而等比数列中所有偶数项同号，∴。
6．（2020·全国高三（文））已知等比数列满足，，则数列前项的和( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由等比数列满足，，
则等比数列，即，
代入可得，
则数列前8项的和，故选：A.
7．（2020·海南省海南中学高三月考）已知正项等比数列，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
所以，，
所以.
8．（2020·广西壮族自治区高三二模（文））若等差数列和等比数列满足，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得，
∴，
∴．选A．
9．（2020·四川省泸县第四中学高三二模（文））已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（    ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=
10．（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））元代数学家朱世杰在“算学启蒙”中提及如下问题：今有银一秤一斤十两,1秤=10斤，1斤=10两，令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半”若银的数量不变，按此法将银依次分给5个人，则得银最少的3个人一共得银（ ）
A．两 B．两 C．两 D．两
【答案】C
【解析】一秤一斤十两共120两，将这5人所得银两数量由小到大记为数列，则是公比的等比数列，于是得，
解得，故得银最少的3个人一共得银数为（两）.
11．（2020·全国高三其他（理））已知等比数列满足，，则（ ）
A．-48 B．48 C．48或-6 D．-48或6
【答案】D
【解析】由题意，，得或1，
当时，，
当时，，故选D。
12．（2020·黑龙江省哈师大附中高三月考（理））已知数列是等比数列，，，则（ ）
A． B．48 C．192 D．768
【答案】B
【解析】，，即，解得，，
.
13．（2020·江西省新余一中高一月考）设等比数列的前n项和为，若，，则　　
A．144 B．81 C．45 D．63
【答案】B
【解析】由等比数列性质可知：，，，……成等比数列，设公比为
由题意得：

14．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））在等比数列中，，且、、成等差数列，则公比（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【解析】在等比数列中，，则其公比，
由题意可得，即，
则，即，解得或（舍去）.
15．（2020·黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学高一期中）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
【解析】S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
16．（2020·全国高三其他（文））等比数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

17．（2020·江苏省淮阴中学高一期中）等比数列的前项和为，若，则公比（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
又，
∴．
18．（2020·全国高三其他（文））在等比数列中，，则的值是（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为，由题意可得，
则，两式相除可得，所以，
所以.
19．（2020·全国高三其他（文））已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】设正项等比数列的公比为q，且，由，得，
化简得，解得或（舍去）.
因为，所以，则，解得，
所以，
当且仅当时取等号，此时解得所以的最小值为2.
20．（2020·全国高三其他（理））已知公比不为的等比数列满足，若，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】由等比数列性质得：

21．（2020·全国高三其他（文））已知数列满足，等比数列满足，则的前6项和为
A． B． C．63 D．126
【答案】D
【解析】因为，
所以，则，
，
等比数列的首项为2，公比为2，
则的前6项和，故选D.
22．（2020·广东省湛江二十一中高三月考（文））已知正项等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正项等比数列的前项和为，，，
，，且，
解得，
．
23．（2020·天津一中高三月考）已知是各项均为正的等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为，由题意知，，即，
因为数列各项均为正数，解得，所以
24．（2020·黑龙江省高三其他（理））等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则满足的最小的n值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】由已知，由，得，解得，
又.∴，，∴，，
∴化为，∵，∴，
n的最小值为5.
25．（2020·黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三一模（理））设为正项递增等比数列的前项和，且，则的值为（ ）
A．63 B．64 C．127 D．128
【答案】A
【解析】因为，
所以，
又，
所以，
即，
解得或（舍去），
所以，
所以.
26．（2020·新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第70中高一期末）已知为等比数列,,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】或.
由等比数列性质可知
或

27．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设{an}是有正数组成的等比数列，为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得a2a4＝a32＝1，∴a3＝1，
设{an}的公比为q，则q＞0，
∴S31＝7，解得q或q（舍去），
∴a14，∴S5
28．（多选题）（2020·海南省高三其他）已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由题意，得，解得（负值舍去），选项A正确；
，选项B正确；
，所以，选项C错误；
，而，选项D正确．
29．（2020·山东省曲阜一中高三月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路
【答案】ACD
【解析】设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，
因为，所以，解得，
对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于 ，所以B不正确；
对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，由于，所以D正确，故选：ACD
30．（2020·山东省高二期末）若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列是等比数列 D．数列是等比数列
【答案】AC
【解析】因为为数列的前项和，且，
所以，因此，
当时，，即，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C正确；
因此，故A正确；
又，所以，故B错误；
因为，所以数列不是等比数列，故D错误.
31．（2020·眉山市东坡区永寿高级中学高一期中）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
【解析】（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
32．（2020·山东省嘉祥县萌山高级中学高三其他）已知等比数列的公比，且的等差中项为10， .
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设， 求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）由题意可得：，
∴
∵，∴，∴数列的通项公式为.
（Ⅱ） ， ∴

上述两式相减 可得
∴=
33．（2020·全国高三其他（理））设数列的前项和为，已知，.
（1）证明：为等比数列；
（2）记，数列的前项和为.若，求的取值范围.
【解析】（1）由已知，得， ，
当时，，
所以 ，
所以 ，
又，
所以，所以是首项，公比的等比数列.
（2）由（1）可知，
所以.
，
，
因为，所以，从而，
因为，
所以的取值范围为.
34．（2020·海南省高考真题）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
【解析】(1) 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，
，
数列的通项公式为：.
(2)由于：，故：


.
35．（2020·全国高三其他（理））已知数列的前n项和满足，其中.
（Ⅰ）证明：数列为等比数列；
（Ⅱ）设，求数列的前n项和.
【解析】（Ⅰ），①
∴当时，，解得；
当时，，②
由①-②得，
∴，
∴，
由得，
故是首项为，公比为的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
∴，
则的前项和，


．