人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程同步测试题

这是一份人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.3 实际问题与一元二次方程同步测试题，共124页。试卷主要包含了1 一元二次方程，由此想到，4m，拱高，72+2，PC=23等内容，欢迎下载使用。




九年级数学课时教案

九年级
（数学 上册）







姓名：





九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
21.1 一元二次方程
课型
新授
周次

序号
1
教学目标
1.使学生理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的一般形式,并能将一元二次方程化成一般式,正确识别二次项系数、一次项系数和常数项.
2.会判断一个数是否是一元二次方程的根.
3.经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.
4进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.
教学重点
一元二次方程的概念及其一般表现形式.
教学难点
从实际问题中抽象出一元二次方程的模型；识别方程中的“项”及“系数”.
一、情境导入,初步认识
(课件展示问题)雷锋纪念馆前的雷锋雕像高为2m，设计者当初设计它的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，即下部高度的平方等于上部与全部的积，如果设此雕像的下部高为xm，则其上部高为（2-x）m，由此可得到的等量关系如何？它是关于x的方程吗？如果是，你能看出它和我们以往学过的方程有什么不同吗？
二、思考探究，获取新知
由上述问题，我们可以得到x2=2(2-x),即x2+2x-4=0.显然这个方程只含有一个未知数，且x的最高次数为2，这类方程在现实生活中有广泛的应用.
探究1见教材第2页问题1.(课件展示问题)
探究2见教材2~3页问题2.
【教学说明】教学过程中,教师可设置如下问题:
(1)这次排球赛共安排 场;
(2)若设应邀请x个队参赛，则每个队与其它 个队各赛一场，这样共应有 场比赛；
(3)由此可列出的方程为 ，化简得 .教师提出问题，引导学生思考方程的建模过程，同时注重激发学生解决问题的欲望和兴趣.（课件展示）
观察思考观察前面所构建的三个方程，它们有什么共同点？可让学生先独立思考，然后相互交流，得出这些方程的特征：
（1）方程各项都是整式；
（2）方程中只含有一个未知数；
（3）未知数的最高次数是2.
【归纳结论】
1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
想一想
1.二次项的系数a为什么不能为0?
2.在指出二次项系数、一次项系数和常数项时，a、b、c都一定是正数吗？谈谈你的看法.
探究3 从探究2中我们可以看出，由于参赛球队的支数x只能是正整数，因此可列表如下：

可以发现，当x=8时，x2-x-56=0,所以x=8是方程x2-x-56=0的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
思考
1.一元二次方程的根的定义应怎样描述呢？
2.方程x2-x-56=0有一个根为x=8，它还有其它的根吗？
【探讨结论】1.一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根；
2.由于x=-7时，x2-x-56=49-（-7）-56=0，故x=-7也是方程x2-x-56的一个根.事实上，一元二次方程如果有实数根，则必然有两个实数根，通常记为x1=m,x2=n.
三、典例精析，掌握新知
例1 已知关于x的方程(m+2)x|m|+3x+m=0是一元二次方程，求此一元二次方程.
例2将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中二次项系数、一次项系数及常数项.
四、运用新知，深化理解
1.下列各式中，是一元二次方程的是（ ）
A.3x2+1x=0
B.ax2+bx+c=0
C.(x-3)(x-2)=x2
D.(3x-1)(3x+1)=3
2.关于x的方程（k-1）x|k|+1-2x=3是一元二次方程，则k= .
3.已知方程5x2+mx-6=0的一个根为4，则m的值为 .
4.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式，指出其二次项系数、一次项系数及常数项：
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x;
（2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x;
（3）把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的平方，求较短一段的长x.
五、师生互动，课堂小结
教师提出以下问题，让学生交流，加强反思、提炼及知识归纳.
(1)一元二次方程的定义，一般式及二次项系数、一次项系数和常数项；
（2）一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中的括号是否可有可无？为什么？
（3）通过这节课的学习你还有哪些收获？
1.布置作业：从教材“习题21.1”中选取.
2.完成练习.

札记


九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
21.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
课型
新授
周次

序号
2
教学目标
1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；
2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.
3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
4通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.
教学重点
解形如x2=p(p≥0)的方程.
教学难点
把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.
一、情境导入，初步认识
问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？
二、思考探究，获取新知
探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2 ，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为 ，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？
【归纳结论】一般地，对于方程
x2=p,（Ⅰ）
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根
x1=- ,x2=;
(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;
(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.
思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?

学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.
在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：
由方程
（x+3）2=5,②
得x+3=± ,
即x+3=或x+3=-.③
于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1=-3+,x2=-3-.
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
三、典例精析，掌握新知
例解下列方程：（教材第6页练习）
(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;
(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;
(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.
四、运用新知，深化理解
1.若8x2-16=0，则x的值是 .
2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是 .
3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为 .
4.解关于x的方程：
(1)(x+m)2=n(n≥0);
(2)2x2+4x+2=5.
5.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.
五、师生互动，课堂小结
教师可以向学生这样提问：
(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？
(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2. 完成练习册..
札记



九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
第2课时 配方法
课型
新授
周次

序号
3
教学目标
1掌握用配方法解一元二次方程.
2理解通过变形运用开平方法解一元二次方程的方法，进一步体验降次的数学思想方法.
3在学生合作交流过程中，进一步增强合作交流意识，培养探究精神，增强数学学习的乐趣.
教学重点
用配方法解一元二次方程.
教学难点
用配方法解一元二次方程的方法和技巧
一、情境导入，初步认识
问题 要使一块长方形的场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长与宽各是多少？
思考 如果设这个长方形场地的宽为xm，则长为 ，由题意可列出的方程为 ，你能将此方程化为(x+n)2=p的形式，并求出它的解吗？
二、思考探究，获取新知
【教学说明】让学生阅读第6~7页探究内容，再完成下面的“想一想”.
想一想1.下列各题中的括号内应填入怎样的数合适？谈谈你的看法.
（1）x2+10x+( )=(x+ )2;
(2)x2-3x+( )=(x- )2;
(3)x2-x+( )=(x- )2;
(4)x2+x+( )=(x+ )2.
2.利用上述想法，试试解下列方程：
(1)x2+10x+3=0; (2)x2-3x+1=0;
(3)x2-x=4; (4)x2+x-7=0.

试一试 1.请说说用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的方法是怎样的？与同伴交流.
2.如果某个一元二次方程的二次项系数不是1时，还能用配方法解这个一元二次方程吗？谈谈你的看法，并尝试解方程x2+x-3=0.
三、典例精析，掌握新知
例（教材第7页例1）解下列方程
（1）x2-8x+1=0;
（2）2x2+1=3x;
（3）3x2-6x+4=0.
分析：对于（2）、（3）中的方程，可先将未知数的项放在等号左边，常数项移至等号的右边后，再根据等式性质将二次项系数化为1，从而转化为形如x2+mx=n的方程，利用配方法可求出方程的解.
【归纳结论】
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
（x+n）2=p(Ⅱ)
的形式，那么就有：
（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
x1=-n- , x2=-n+;
(2)当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1=x2=-n;
(3)当p<0时，因为对任意实数x,都有（x+n）2≥0,所以方程（Ⅱ）无实数根.
【试一试】师生共同完成教材第9页练习.
四、运用新知，深化理解
1.将二次三项式x2-4x+2配方后，得（ ）
A.（x-2）2+2
B.(x-2)2-2
C.(x+2)2+2
D.(x+2)2-2
2.已知x2-8x+15=0，左边化成含x的完全平方式，其中正确的有（ ）
A.x2-8x+(-4)2=31
B.x2-8x+(-4)2=1
C.x2+8x+42=1
D.x2-4x+4=-11
3.若代数式的值为0，则x的值为 .
4.方程x2-2x-3=0的解为 .
5.要使一块长方形场地的长比宽多3m，其面积为28m2，试求这个长方形场地的长与宽各是多少？
五、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习，你能用配方法解一元二次方程吗？有哪些需要注意的地方？
2.用配方法解一元二次方程涉及哪些数学思想方法？
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2. 完成练习册.









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九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
21.2.2 公式法
课型
新授
周次

序号
4
教学目标
1.理解并掌握求根公式的推导过程；
2.能利用公式法求一元二次方程的解.
3经历探索求根公式的过程，加强推理技能，进一步发展逻辑思维能力.
4用公式法求解一元二次方程的过程中，锻炼学生的运算能力，养成良好的运算习惯，培养严谨认真的科学态度
教学重点
用公式法解一元二次方程.
教学难点
推导一元二次方程求根公式的过程.
一、情境导入，初步认识
我们知道，对于任意给定的一个一元二次方程，只要方程有解，都可以利用配方法求出它的两个实数根.事实上，任何一个一元二次方程都可以写成ax2+bx+c=0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？
二、思考探究，获取新知
通过问题情境思考后，师生共同探讨方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
由ax2+bx+c=0(a≠0),移项，ax2+bx=-c.二次项系数化为1，得x2+x=-.配方，得x2+x+ =-+，即.
至此，教师应作适当停顿，提出如下问题，引导学生分析、探究：
（1）两边能直接开平方吗？为什么？
（2）你认为下一步该怎么办？谈谈你的看法.
师生共同完善认知：
一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b2-4ac.从而有：
①当Δ=b2-4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根；当Δ=b2-4ac＜0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数解；
②当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根可写成x= ，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.
三、典例精析，掌握新知
例1不解方程，判别下列各方程的根的情况.
(1)x2+x+1=0; (2)x2-3x+2=0; (3)3x2-x=2.
例2用公式法解下列方程：
(1)x2-4x-7=0; (2)2x2-2x+1=0; (3)5x2-3x=x+1; (4)x2+17=8x
四、运用新知，深化理解
1.关于x的方程x2-2x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是 .
2.如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k+1）x+1=0有两个不相等实数根，那么k的取值范围是
3.方程x2+4x+6=0的根是（ ）
A.x1=，x2=
B.x1=6, x2=
C.x1=2, x2=
D.x1=x2=-
4.关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一个根为0，试求m的值..
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会?说说看.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成练习册.
札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
21.2.3 因式分解法
课型
新授
周次

序号
5
教学目标
1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.
2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
3在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.
4通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
教学重点
会用因式分解法解一元二次方程.
教学难点
理解并应用因式分解法解一元二次方程.
一、情境导入，初步认识
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度（单位：m）为10x-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？（精确到0.01s）
想一想 你能根据题意列出方程吗？你能想出解此方程的简捷方法吗？
二、思考探究，获取新知
学生通过讨论，交流得出方程为10x-4.9x2=0.
在学生用配方法或公式法求出上述方程的解后，教师引导学生尝试找出其简捷解法为：
x(10-4.9x)=0. ∴x=0或10-4.9x=0, ∴x1=0,x2=≈2.04.
从而可知物体被抛出约2.04s后落回到地面.
想一想 以上解方程的方法是如何使二次方程降为一次方程的?
通过学生的讨论、交流可归纳为：
当方程的一边为0，而另一边可以分解成两个一次因式的乘积时，利用a·b=0，则a=0或b=0，把一元二次方程变为两个一元一次方程，从而求出方程的解.这种解法称为因式分解法.
三、典例精析，掌握新知
例1 解下列方程：
（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+.
想一想 以上两个方程可以用配方法或公式法来解决吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点.
例2 用适当的方法解下列方程：
(1)3x2+x-1=0; (2)2(x-3)2=12;
(3)(3x-2)2=4(3-x)2; (4)(x-1)(x+2)=-2.
分析:根据方程的结构特征，灵活选择恰当的方法来求解.
思考请你谈谈解一元二次方程的几种方法的特点，与同伴交流.
【归纳结论】1.配方法要先配方，再降次；公式法可直接套用公式；因式分解法要先使方程的一边为0，而另一边能用提公因式法或公式法分解因式，从而将一元二次方程化为两个一次因式的积为0，达到降次目的，从而解出方程；
2.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，而因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.
四、运用新知，深化理解
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确的是（ ）
A.（2x-2）(3x-4)=0,∴2x-2=0或3x-4=0
B.(x+3)(x-1)=1,∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）(x-3)=6,∴x+2=3或x-3=2
D.x(x+2)=0,∴x+2=0
2.当x= 时，代数式x2-3x的值是-2.
3.已知y=x2+x-6,当x= 时，y的值等于0.当x= 时,y的值等于24.
（注：4~5题为教材第14页练习）
4.解下列方程：
（1）x2+x=0; （2）x2-2x=0;
（3）3x2-6x=-3; （4）4x2-121=0;
（5）3x(2x+1)=4x+2; （6）(x-4)2=(5-2x)2.
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍.求小圆形场地的半径.
五、师生互动，课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会?
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成练习册.













札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
课型
新授
周次

序号
6
教学目标
1.掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
3经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
4通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.
教学重点
一元二次方程根与系数的关系及其应用
教学难点
探索一元二次方程根与系数的关系.
一、情境导入，初步认识
问题 请完成下面的表格

观察表格中的结果，你有什么发现？
二、思考探究，获取新知
通过对问题情境的讨论，可以发现方程的两根之和和两根之积与它们的系数之间存在一定的联系，请运用你发现的规律填空:
(1)已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= ;
(2)已知方程x2+3x-5=0的两根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= .
思考1（1）如果方程x2+mx+n=0的两根为x1,x2，你能说说x1+x2和x1·x2的值吗？
（2）如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关系吗？说说你的理由.
思考2 在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ=b2-4ac≥0呢？为什么？
三、典例精析，掌握新知
例1见教材16页例4.
分析：对于方程（3），应化为一般形式后，再利用根与系数的关系来求解.
【试一试】教材第16页练习.
例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.
例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1,x2，求下列式子的值：
（1）x12+x22; （2） .
例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12·x22-x1-x2=115，
（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.
分析：将x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此时需用Δ=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.
四、运用新知，深化理解
1.若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个实数根，则x1+x2= ,x1·x2= ;
2.已知x=1是方程x2+mx-3=0的一个根，则另一个根为，m= ;
3.若方程x2+ax+b=0的两根分别为2和-3，则a= ,b=;
4.已知a,b是方程x2-3x-1=0的两根，求ba+ab的值.
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意的?谈谈你的看法.
1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.
2.完成练习册.

札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
21.3 7实际问题与一元二次方程（1）
课型
新授
周次

序号
7
教学目标
1会根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得结果的合理性.
2经过“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程中，进一步锻炼学生的分析问题，解决问题的能力.
3通过建立一元二次方程解决实际问题，体验数学的应用价值，增强学习数学的兴趣.
教学重点
构建一元二次方程解决实际问题.
教学难点
会用代数式表示问题中的数量关系，能根据问题的实际意义，检验所得结果的合理性.
一、情境导入，初步认识
问题在上一节的习题21.2中，我们遇见过一些用列方程来求解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的？
学生在相互讨论交流中可得出结论为：①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤答.
二、思考探究，获取新知
探究1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均1个人传染了几个人？
【教学说明】教师展示出问题后，先让学生仔细分析题意，尝试着寻求解决问题的方法.为了让学生更好地理解题意，不妨设置如下几个问题：（1）若设平均每轮传染中一个人可传染x个人，则第一轮传染后共有 人患了流感；
（2）第二轮传染后，被传染的人数为 人，故第二轮传染后共 人患了流感.
想一想（1）照上述传染速度，三轮传染后患流感的人数共有多少人？
（2）通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系，有新认识吗？
探究2两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本为6000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本为3000元，生产1t乙种药品的成本为3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？
思考（1）甲种药品成本的年平均下降额与乙种药品的年平均下降额分别是多少？它与年平均下降率是否是一回事？
（2）若设甲种药品的年平均下降率为x，则第一年后的成本为 元，第二年后的成本为 元，你能列出相应的方程并求出问题的解吗？对于乙种药品呢？
三、典例精析，掌握新知
例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少个小分支？
例2某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%降至1.98%，平均每次降息的百分率是多少？.
四、运用新知，深化理解
1.一台电视机的成本价为a元，原销售价比成本价增加25%，因库存积压，两次降价处理，若每次降价的百分率为x%，则最后销售价应为 .
2.某养鸡场一只患禽流感的小鸡经过两天的传染后，使养鸡场共有169只小鸡感染禽流感，那么在每一天的传染中平均一只小鸡传染了几只小鸡？
3.某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视眼人数逐年减少.据统计，2013年和2012年的近视眼人数只占2011年人数的75%，这两年平均每年近视眼人数下降的百分率是多少?
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你对传播类和增长率（下降率）的应用问题的处理有哪些体会和收获？谈谈你的看法.
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成练习册



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课题
第2课时 实际问题与一元二次方程（2）
课型
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周次

序号
8
教学目标
1.继续探索实际问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界某些问题的一个有效的数学模型；
2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
3经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体验解决问题策略的多样性，发展数学应用意识.
4通过构建一元二次方程解决身边的问题，体会数学的应用价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
教学重点
列一元二次方程解决应用问题
教学难点
寻找问题中的等量关系.
一、情境导入，初步认识
问题1 通过上节课的学习，请谈谈列方程解应用题的一般步骤是怎样的？关键是什么?
问题2 现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
二、思考探究，获取新知
探究教材20页探究3.
三、典例精析，掌握新知
例1 有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
例2 如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.

分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）
A. B.5 C. D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为 .
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.

五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成练习册.
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课题
第3课时 实际问题与一元二次方程（3）
课型
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周次

序号
9
教学目标
1.探索以几何图形为背景的应用题，找出其中的等量关系，建立一元二次方程，体会数学模型在解决现实生活问题中的作用.
2.能根据实际问题的意义检验结果的合理性.
3经历数学建模建立一元二次方程的过程，锻炼学生分析问题，解决问题的能力.
4通过建立一元二次方程解决实际生活问题，感受数学在生活中的实用性，提高学生学习数学的积极性，体会数学给人类生活带来的促进作用.
教学重点
列一元二次方程解决实际应用问题.
教学难点
寻找问题中的等量关系.
一、情境导入，初步认识
问题现有长19cm，宽为15cm长方形硬纸片，将它的四角各剪去一个同样大小的正方形后，再折成一个无盖的长方形纸盒，要使纸盒的底面积为77cm2，问剪去的小正方形的边长应是多少？你能解决这一问题吗？不妨试试看.
二、思考探究，获取新知
探究教材20页探究3.
三、典例精析，掌握新知
例1有一张长6尺，宽3尺的长方形桌子，现用一块长方形台布铺在桌面上，如果台布的面积是桌面面积的2倍，且四周垂下的长度相同，试求这块台布的长和宽各是多少？（精确到0.1尺）
分析：设四周垂下的宽度为x尺时，可知台布的长为(2x+6)尺，宽为（2x+3）尺，利用台布的面积是桌面面积的2倍构建方程可获得结论.
例2如右图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35m.
（1）若所围的面积为150m2，试求此长方形鸡场的长和宽；
（2）如果墙长为18m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？
（3）能围成面积为160m2的长方形鸡场吗？说说你的理由.
分析:如图,若设BC=xm，则AB的长为m,若设AB=xm,则BC=(35-2x)m,再利用题设中的等量关系，可求出（1）的解；在（2）中墙长a=18m意味着BC边长应小于或等于18m,从而对（1）的结论进行甄别即可；（3）中可借助（1）的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得到结论.
四、运用新知，深化理解
1.直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为（ ）
A. B.5
C. D.7
2.从正方形铁皮的一边切去一个2cm宽的长方形，若余下的长方形的面积为48cm2，则原来正方形的铁皮的面积为_____.
3.如图，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边，地毯中间的矩形图案的长为6m，宽为3m，若整个地毯的面积为40m2，求花边的宽.
4.如图，在△ABC中，∠B=90°,点P从点A开始，沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A,B同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，谈谈你对列一元二次方程解决实际问题的体会和收获？你认为有哪些地方需要特别注意？
【教学说明】让学生回顾整理本节知识，反思学习过程的体会，加深理解.

1.布置作业：从教材“习题21.3”中选取.
2.完成练习册中本课时练习的“课后作业”部分.
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课题
本章热点专题训练

课型
新授
周次

序号
10
教学目标
1进一步加深对一元二次方程及其解的理解，能选择恰当的方法解一元二次方程，掌握用一元二次方程解决实际问题的思路方法，加强对应用问题的分析和解决能力.
2经历分析问题和解决问题的过程，拓展对一元二次方程的认识.
3进一步提高在实际问题中运用方程思想解决问题的能力，增强数学应用的兴趣和意识，感悟解一元二次方程的策略的多样性和合理性，培养开拓创新精神.
教学重点
理解并掌握一元二次方程的解法、根与系数关系和根的判别式，加强构建一元二次方程解决应用问题的能力.
教学难点
综合运用一元二次方程定义、根的判别式及根与系数关系解决具体问题.
一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，且a≠0),这里二次项系数a≠0是必要条件，而这一点往往在解题过程中易忽视，而致结论出错.
思考 若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0有一根为0，则常数m的值为.（参考答案：m=2）
2.一元二次方程的解法有：开平方法、配方法、公式法和因式分解法.对于具体的方程，一定要认真观察，分析方程特征，选择恰当的方法予以求解.无论选择哪种方法来解方程，降次思想是它的基本思想.
3.根的判别式及根与系数的关系：（1）根的判别式Δ=b2-4ac与0的大小关系可直接确定方程的根的情况，当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根.当Δ=b2-4ac＜0时方程没有实数根.（2）根与系数的关系：若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1,x2，则x1+x2=-,x1·x2=.（3）利用根与系数的关系确定方程的待定字母系数时，千万应注意验证Δ=b2-4ac是否大于等于0，否则所求出的值就不合题意应舍去，这点应引起学生高度重视.
4.列一元二次方程解实际应用问题是数学应用的具体体现，如解决传播类问题、增长率类问题、利润问题及几何图形的计算问题等，而解决这些实际问题的关键是弄清题意，找出其中的等量关系，恰当设未知数，建立方程并予以求解.需注意的是，应根据问题的实际意义检验结果是否合理.
三、典例精析，复习新知
例1已知关于x的方程（m+n-1）x(m+n)2+1-(m+n)x+mn=0是一元二次方程，则m+n的值为 .
分析：由题意应有(m+n)2+1=2,故(m+n)2=1,∴m+n=±1,又因为一元二次方程的二次项系数m+n-1≠0，∴m+n≠1,从而可知m+n=-1.
例2已知a是方程x2-2014x+1=0的一个根，求代数式a2-2013a+的值.
例3已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0有两个实数根，试求m的最小整数值.
例4已知关于x的方程x2-2x-a=0.
（1）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
（2）若此方程的两个实数根为x1,x2，则的值能等于吗？如果可以，请求出a的值；如果不能，请说明理由.

例5某零售商购进一批单价为16元的玩具，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元销售时，每月可销售360件；若按每件25元销售时，每月能卖出210件，假定每月销售件数y（件）是价格x的一次函数.
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）当销售价定为多少时，每月获得1800元利润？
（3）每月的利润能达到2000元吗？为什么？
四、复习训练，巩固提高
1.若方程(m2-2)x2-1=0有一根为1，则m的值是多少？
2.若方程3x2-5x-2=0有一根为a，则6a2-10a的值是多少？
3.已知关于x的方程(a-2)x2-2(a-1)x+(a+1)=0，a为何非负整数时，（1）方程只有一个实数根？（2）方程有两个相等实数根？（3）方程有两个不等实数根？
4.百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，在对顾客利益最大基础上，那么每件童装应降价多少元？
五、师生互动，课堂小结
通过这节课学习，对本章的知识你有哪些新的认识？有何体会？

1.布置作业：从教材“复习题21”中选取.
2.完成练习册







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课题
22.1.1 二次函数
课型
新授
周次

序号
11
教学目标
1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
3通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式，在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.
4在探究二次函数的学习活动中，体会通过探究发现的乐趣
教学重点
结合具体情境体会二次函数的意义，掌握二次函数的有关概念.
教学难点
1.能通过生活中的实际问题情境，构建二次函数关系；
2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.
一、情境导入，初步认识
问题1 如图所示是一个棱长为xcm的正方体，它的表面积为ycm2,则y与x之间的关系式可表示为 ，y是x的函数吗？

问题2 n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队n有什么关系？这就是说，每个队要与其他 个球队各比赛一场，整个比赛场次数应为 ，这里m是n的函数吗？
问题3 某种产品现在的年产量为20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
二、思考探究，获取新知
全班同学合作交流，共同完成上面三个问题，教师全场巡视，发现问题可给予个别指导.在同学们基本完成情形下，教师再针对问题2，解释m=n(n-1)而不是m=n(n-1)的原因；针对问题3，可引导同学们先算出第二年产量为20(1+x)t，第三年产量为20(1+x)(1+x)t，得到y=20（1+x)2.
思考函数y=6x2，m=n2-n,y=20x2+40x+20有哪些共同点？
【归纳结论】上述三个函数都是用自变量的二次式表示的，从而引出二次函数定义.一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数，一次项系数和常数项.
教师在学生理解的情况下，引导学生做课本P29练习.
三、运用新知，深化理解
1.下列函数中，哪些是二次函数，哪些不是？若是二次函数，指出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）y=(x+2)(x-2);
(2)y=3x(2-x)+3x2;
(3)y=-2x+1;
(4)y=1-3x2.
2.若y=(m+1)xm2+1-2x+3是y关于x的二次函数，试确定m的值或取值范围.
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现：这种商品的销售量m(件）与每件商品的销售价x（元）满足一次函数关系m=162-2x，试写出商场销售这种商品的日销售利润y（元）与每件商品的销售价x（元)之间的函数关系式，y是x的二次函数吗？
四、师生互动，课堂小结
1.二次函数的定义；
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c中a≠0,a、b、c为常数的条件.
1.布置作业：教材习题22.1第1、2、7题；
2.完成练习册.


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课题
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
课型
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周次

序号
12
教学目标
1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念；
2.掌握二次函数y=ax2的性质，能确定二次函数y=ax2的表达式.
3通过画出简单的二次函数y=x2，y=-x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.
4使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程，培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.
教学重点
1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质；
2.能确定二次函数y=ax2的解析式.
教学难点
1.用描点法画二次函数y=ax2的图象，探索其性质；
2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.
一、情境导入，初步认识
问题1在八年级下册，我们学习的一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？通常怎样画一个函数的图象？
问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗？
二、思考探究，获取新知
问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗？不妨试试看，并与同伴交流.
问题2请在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并通过图象谈谈它们的特征及其差异.
y=x2与y=2x2.
问题3（1）在同一直面坐标系中，画出函数y=-x2,y=-x2,y=-2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？（2）当a<0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
【归纳结论】
1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.
2.二次函数y=ax2的图象及其性质，如下表所示：

3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系：
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大.|a|值相同，开口形状相同.
三、运用新知，深化理解
1.若抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同，则a= .
2.下列关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中，错误的是（ ）
A.它的图象的顶点是原点
B.当a<0，在x=0时，y取得最大值
C.a越大，图象开口越小;a越小，图象开口越大
D.当a>0，在x>0时，y随x的增大而增大
3.请在同一坐标系中画出函数y1=x和y2=-x2的图象，结合图象，指出当x取何值时，y1>y2；当x取何值时，y1 4.一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（-1，）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象指出，当x>0时，若x增大，y怎样变化？当x<0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
四、师生互动，课堂小结
1.画二次函数y=ax2的图象时，有哪些地方是你需关注的？
2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的？
3.本节课你还存在哪些疑问？

1.布置作业：教材习题22.1第3、4、11题.
2.完成练习册.








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课题
22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质（1）
课型
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周次

序号
13
教学目标
1.能画出二次函数y=ax2+k的图象；
2.掌握二次函数y=ax2与y=ax2+k图象之间的联系；
3.掌握二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
4通过画二次函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象，感受它们与y=2x2的联系，并由此得到y=ax2与y=ax2+k的图象及性质的联系和区别.
5在通过类比的方法获取二次函数y=ax2+k的图象及其性质过程中，进一步增强学生的数形结合意识，体会通过探究获得知识的乐趣.
教学重点
1.二次函数y=ax2与y=ax2+k的图象之间的联系；
2.二次函数y=ax2+k的图象及其性质.
教学难点
二次函数y=ax2+k的性质的基本应用.
一、情境导入，初步认识
问题1请同学们谈谈一次函数y=x与y=x+2的图象之间的关系；
问题2同样地，你能猜想出二次函数y=x2与y=x2+1的图象之间有何关系吗？
二、思考探究，获取新知
问题1在同一坐标系中，画出二次函数y=2x2+1，y=2x2-1的图象.请观察图象，谈谈它们有哪些相同点和不同点，并指明这两个图象的关系如何？
问题2（教材第33页练习）在同一直角坐标中，画出下列二次函数的图象y=x2，y=x2+2，y=x2-2，观察三条抛物线的位置关系并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y=x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y=x2有什么关系？
【归纳结论】
1.二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象通过上、下平移得到.
2.y=ax2与y=ax2+k的性质如下：

三、运用新知，深化理解
1.抛物线y=3x2可以看作是抛物线y=3x2-4向 平移 得到的.
2.已知抛物线y=ax2+k与抛物线y=-2x2的形状相同，且图象到x轴的最近点的距离为3，求a、k的值，并指出抛物线y=ax2+k的开口方向，对称轴和顶点坐标.
【教学说明】针对本节所学内容及学生掌握的情况，设计训练题1，2，目的是加深学生对新知识的理解，能灵活运用所学知识解决简单的问题.教师在这个过程中要予以诱导.
四、师生互动，课堂小结
本环节师生共同回顾所学知识，如y=ax2+k的图象特征，函数的增减性等，并对可能出现的困难、疑问给予整理，进行辨析.

完成练习册.






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课题
第2课时 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质
课型
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周次

序号
14
教学目标
1.能画出二次函数y=a(x-h)2的图象；
2.了解抛物线y=ax2与抛物线y=a(x-h)2的联系；
3.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象特征及其简单性质.
4通过动手操作、观察比较、分析思考、规律总结等活动过程完成对二次函数y=a(x-h)2的图象及其性质的认知.
5在学生学习活动过程中，使他们进一步体会数形结合的思想方法，培养创造性思维能力和动手实践能力，增强学习兴趣、激发学习欲望.
教学重点
1.掌握二次函数y=a(x-h)2的图象及性质；
2.二次函数y=ax2与y=a(x-h)2图象之间的联系.
教学难点
利用二次函数y=a(x-h)2的性质解决实际问题.
一、情境导入，初步认识
我们知道，二次函数y=ax2-2的图象可以由函数y=ax2的图象向下平移得到，那么函数y=(x-2)2的图象是否可以由函数y=x2的图象经过平移而得到呢？
二、思考探究，获取新知
问题在同一坐标系中画出二次函数y=-(x+1)2,y=-(x-1)2的图象，指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；并结合图象，说说抛物线y=-x2, y=-(x+1)2, y=-(x-1)2的关系.
【归纳结论】函数y=ax2与y=a(x-h)2的图象及其性质如下表：

三、运用新知，深化理解
【设计说明】针对本节知识，设计了以下几道题，及时了解学生运用新知解决问题的能力，查漏补缺.
1.抛物线y=3(x-3)2的开口方向是向 ，对称轴是 ，顶点是 .
2.若抛物线y=a(x-h)2的顶点是（-3，0），它是由抛物线y=-2x2通过平移而得到的，则a= ,h= .
四、师生互动，课堂小结
1.抛物线y=ax2与y=ax2+c和抛物线y=ax2与y=a(x-h)2有哪些共同点，又有哪些不同点？同伴间可相互交流.
2.将抛物线y=ax2上下平移与左右平移所得到的表达式在形式上有何区别？
3.课本第35页练习.
【设计及教学说明】对所给两个问题的思考，让学生亲历知识的自主建构，不断完善自己的知识结构.

完成练习册.








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课题
第3课时 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
课型
新授
周次

序号
15
教学目标
1.会用描点法画出二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象；
2.掌握抛物线y=ax2与y=a(x-h)2+k之间的平移规律；
3.依据具体问题情境建立二次函数y=a(x-h)2+k模型来解决实际问题.
4通过“活动探究——观察思考——运用迁移”等三个环节来获取新知识，掌握新技能，解决新问题.
5进一步培养学生观察能力、抽象概括能力，渗透数形结合、从特殊到一般的思想方法，了解从特殊到一般的辩证关系.
教学重点
二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0）的图象及其性质.
教学难点
1.二次函数y=a(x-h)+k与y=ax2(a≠0)的图象之间的平移关系；
2.通过对图象的观察，分析规律，归纳性质.
一、情境导入，初步认识
问题将抛物线y=-x2向下平移1个单位，所得到的抛物线表达式是什么？若再将它向左平移1个单位呢？
二、思考探究，获取新知
问题1 画出二次函数y=-(x+1)2-1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点坐标.
问题2 请在问题1中所在的平面直角坐标系内，画出抛物线y=-x2，及抛物线y=-（x+1）2，y=-x2-1,观察所得到的四个抛物线，你能发现什么？
问题3请依据问题2中你的发现，说说抛物线y=a(x-h)2+k是由抛物线y=ax2(a≠0)通过怎样的平移而得到的？并说说它的对称轴和顶点坐标.
【归纳结论】1.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与抛物线y=ax2的形状相同（因为a值相同），而位置不同.将抛物线y=ax2上下平移，可得到抛物线y=ax2+k(k＞0时，向上平移k个单位；k＜0时，向下平移-k个单位)，再将抛物线y=ax2+k左右平移后，可得到抛物线y=a(x-h)2+k（h＞0时，向右平移；h＜0时，向左平移）.
2.抛物线y=a(x-h)2+k的性质：
（1）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=h；
（3）顶点坐标是（h，k）.
三、典例精析，掌握新知
例（教材第36页例4）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
四、运用新知，深化理解
1.抛物线y=-3(x+2)2-4的顶点坐标是 ，当x 时，函数值y随x的增大而增大.
2.若抛物线的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1,0），则这条抛物线与x轴的另一个交点是 .
3.已知二次函数的图象顶点坐标为（-4，3），且经过坐标原点，则这个二次函数的表达式是 .
4.已知二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线y=-(x+1)2+3.
（1）试确定a,h,k的值；
（2）指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向，对称轴和顶点坐标.
5.将抛物线y=2(x-1)2+3作下列移动，求得到的新抛物线的解析式.
（1）向左平移2个单位，再向下平移3个单位；
（2）顶点不动，将原抛物线开口方向反向.
五、师生互动，课堂小结
1.抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的特征有哪些？
1.布置作业：教材习题22.1第5题.
2.完成练习册

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九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（1）
课型
新授
周次

序号
16
教学目标
1.能通过配方法把二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）化成y=a(x-h)2+k的形式，以便确定它的对称轴和顶点坐标；
2.会利用对称性画出二次函数的图象，掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的平移规律；
3.会用公式确定二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴和顶点.
4通过思考、探索、尝试与归纳等过程，让学生能主动积极地探索新知.
5经历探求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的过程，感悟二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2的内在联系，体验利用抛物线的对称轴画抛物线的方法，感受数学的对称美.
教学重点
用抛物线的对称轴画二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过配方确定抛物线的对称轴和顶点坐标.通过配方法将二次函数的一般形式化为顶点式，探索二次函数y=ax2+bx+c的平移变换.
教学难点
用配方法推导抛物线的对称轴与顶点坐标.
一、情境导入，初步认识
问题1请说出抛物线y=ax2+k，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k的开口方向、对称轴和顶点坐标.
问题2你知道二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？
二、思考探究，获取新知
问题1你能把二次函数y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式吗？并指出它的图案的对称轴和顶点坐标.
问题2在同一直角坐标系中用描点法画出二次函数y=x2-6x+21与y=x2的图象,并对比观察它们的图象有什么区别和联系.
问题3请结合问题2的图象，指出当x取何值时，函数值y的最小值是多少？当x取何值时，函数y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？
三、问题引导，归纳结论
问题1抛物线y=ax2+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何做到的？
【归纳结论】二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质:

问题2二次函数y=ax2+bx+c的图象的平移变换.
已知将二次函数y=x2+bx+c的图象先向左平移3个单位，再向上平移2个单位得二次函数y=x2-2x+1的图象，求b和c.
分析：要求b与c，需先求函数y=x2+bx+c的关系式，要求关系式，可先求出顶点坐标；根据两抛物线的平移情况，可确定顶点坐标.
四、运用新知，深化理解
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A.a＞0,b＞0,c＞0
B.a＞0,b＜0,c＜0
C.a＜0,b＜0,c＜0
D.a＞0,b＞0,c＜0
2.把二次函数y=1/4x2-x+3用配方法化成y=a(x-h)2+k的形式为_____.
3.二次函数y=-1/2x2-3x+5/2的图象的顶点坐标为_____.
4.把抛物线y=ax2+bx+c，先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则a+b+c=_____.
五、师生互动，课堂小结
1.形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：
（1）当二次函数y=ax2+bx+c容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程；
（2）当a、b、c比较复杂时，可直接用公式来确定：
抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为，顶点坐标为.
2.解决二次函数y=ax2+bx+c的平移问题时，应先将它化为y=a(x-h)2+k形式后，进行研究为好.

1.布置作业：教材习题22.1中选取.
2. 完成练习册。











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学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
课型
新授
周次

序号
17
教学目标
1利用已知点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式.
2通过介绍二次函数的三点式，顶点式，交点式，结合已知的点，灵活地选择恰当的解析式求法.
3经历用待定系数法求解二次函数解析式的过程，发现二次函数三点式、顶点式与交点式之间的区别及各自的优点，培养学生思维的灵活性.
教学重点
待定系数法求二次函数的解析式.
教学难点
选择恰当的解析式求法.
一、情境导入，初步认识
问题我们知道，已知一次函数图象上两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式，试问：要求出一个二次函数的表达式，需要几个独立的条件呢？
二、思考探究，获取新知
在前面的情境导入中，同学们已经知道确立一个二次函数需要三个条件.事实上，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数a、b、c的值.由已知条件（如二次函数图象上的三个点的坐标）列出关于a、b、c的方程组，并求出a、b、c,就可以写出二次函数表达式.
回顾前面学过的知识，已知学过y=ax2，y=ax2+k,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k等几种形式的二次函数，所以在利用待定系数法求二次函数解析式时，一般也可分以下几种情况：
（1）顶点在原点，可设为y=ax2;
（2）对称轴是y轴（或顶点在y轴上），可设为y=ax2+k;
（3）顶点在x轴上，可设为y=a(x-h)2;
（4）抛物线过原点，可设为y=ax2+bx;
(5)已知顶点（h,k）时，可设顶点式为y=a(x-h)2+k;
（6）已知抛物线上三点时，可设三点式为y=ax2+bx+c;
（7）已知抛物线与x轴两交点坐标为（x1,0）,(x2,0)时，可设交点式为y=a(x-x1)(x-x2).
三、典例精析，掌握新知
例根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式.
（1）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点（1,0），（-5,0），顶点的纵坐标为92，求这个二次函数的解析式.
（2）已知二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）；
（3）已知二次函数的图象的顶点为（-1，3），且经过点（2，5）.
四、运用新知，深化理解
1.抛物线y=ax2+bx-3过点（2,4），则代数式8a+4b+1的值为（ ）
A.3 B.9
C.15 D.-15
2.抛物线y=mx2-3x+3m-m2过原点，则m=_____,该抛物线的关系式为________.
3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式：
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1），B（1，0），C（-1，2）；
（2）二次函数的图象顶点为（3，-2），且图象与x轴两个交点间的距离为4；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2,且经过点（1，4）和（5，0）.
五、师生互动，课堂小结
求解析式时，要灵活运用待定系数法设出适当的解析式，师生一起回忆设二次函数解析式的几种情况.

1.布置作业：教材习题22.1第8、10、12题.
2.完成练习册。


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课题
22.2 二次函数与一元二次方程
课型
新授
周次

序号
18
教学目标
1了解二次函数与一元二次方程之间的联系，掌握二次函数图象与x轴的位置关系可由对应的一元二次方程的根的判别式进行判别，了解用图象法确定一元二次方程的近似解的方法.
2通过对实际问题情境的思考感受二次函数与对应的一元二次方程的联系，体会用函数的观点看一元二次方程的思想方法.
3进一步增强学生的数形结合思想方法，增强学生的综合解题能力.
教学重点
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0之间的联系，利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
教学难点
一元二次方程根的情况与二次函数图象与x轴位置关系的联系.
一、情境导入，初步认识
问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有关系：h=20t-5t2.

考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要飞行多长时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要飞行多长时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
问题1画出函数y=x2-4x+3的图象，根据图象回答下列问题：
（1）图象与x轴交点的坐标是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程x2-4x+3=0有什么关系？
（3）你能从中得到什么启示？
问题2下列函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y=x2+x-2; (2)y=x2-6x+9; (3)y=x2-x+1.
问题3一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？
【归纳结论】一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可知：
（1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标为x0.那么当x=x0时，函数的值为0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根；
（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.因此可通过方程的根的判别式Δ＜0，Δ=0和Δ＞0来判别抛物线与x轴的交点的个数（Δ=b2-4ac，其中a、b、c为抛物线表达式中二次项系数，一次项系数和常数项）.
三、运用新知，深化理解
1.画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答：
（1）方程x2-2x-3=0的解是什么？
（2）x取什么值时，函数值大于0？
（3）x取什么值时，函数值小于0？
2.利用函数图象求方程x2-2x-2=0的实数解.
四、师生互动，课堂小结
1.抛物线y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0有何关联？你能不画出抛物线y=ax2+bx+c而了解此抛物线与x轴的交点情况吗？你是怎样做的？
2.你能利用抛物线来确定相应的方程的根的近似值吗？从中你有哪些体会？
1.布置作业：教材习题22.2第1、2、3、4、6题.
2.完成练习册
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课题
22.3 实际问题与二次函数（1）
课型
新授
周次

序号
19
教学目标
1.能根据实际问题构造二次函数模型.
2.能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题.
3通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.
4体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.
教学重点
用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题.
教学难点
将实际问题转化为数学问题，并用二次函数性质进行决策.
一、情境导入，初步认识
问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
教师以课件形式展示教材中的图，并向学生提问：
（1）图中抛物线的顶点在哪里？
（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？
（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？
（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？
二、思考探究，获取新知
探究 用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.
（1）你能求出S与l之间的函数关系式吗？
（2）此矩形的面积能是200m2吗？若能，请求出此矩形的长、宽各是多少？
（3）此矩形的面积能是250m2吗？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由.
（4）当l是多少米时，场地的面积S最大？最大值是多少？
三、运用新知，深化理解

1.如图，用12m长的木条，做一个有横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，则窗子的横档长为（ ）
A.0.5米
B.1米
C.2米
D.2.5米
2.已知等腰三角形的面积S与底边x有如下关系:S=-5x2+10x+14,要使S有最大值，则x= .
3.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm,点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC,PF⊥AC,当PB=时，四边形PECF的面积最大，最大值为.

4.张大爷要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.

四、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习你有什么收获？
2.你觉得这节课有哪些问题需要特殊关注的？谈谈自己的看法.
1.布置作业：从教材习题22.3中选取.
2.完成练习册

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课题
第2课时 实际问题与二次函数（2）
课型
新授
周次

序号
20
教学目标
1能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
2再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.
3进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.
教学重点
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.
教学难点
根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.
一、情境导入，初步认识
问题 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本价，且每件获利不得高于45%.经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b,且x=65时，y=55；x=75时，y=45.
（1）试求出一次函数的表达式；
（2）若该商场所试销服装的获利为w元，试写出w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？
(3)若所获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围.
二、思考探究，获取新知
探究某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知该商品的进价为每件40元，如何定价才能使每星期的利润最大？
问题1若设每件涨价x元，则每周可少卖多少件？每周的销售量是多少件？由此，你能确定涨价x元中x的取值范围吗？
问题2若设每件降价x元，则每周可多卖多少件？每周的销售量是多少件？此时，你能确定降价x元中x的取值范围吗？
问题3设每周利润为y元，由利润=销售量×（售价-进价），你能分别得出涨价x元和降价x元时，相应的销售利润y关于x的函数关系式吗？并根据y与x的关系式，指明当涨价x元（或降价x元）中x取何值时，销售利润y达到最大值，并求出y的最大值.
问题4在问题3中所得到的两个最大值相同吗？如果不同，你认为应该怎样定价，才能使每星期的利润最大？
问题5通过对前面问题的思考，你能总结出解这类营销问题的一般思路方法吗？有哪些值得注意的问题？
三、运用新知，深化理解
1.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销量y（件）之间的关系如下表：

且日销量y（件）是销售价x(元)的一次函数.
（1）求日销量y（件）与x(元)的一次函数.
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时最大销售利润是多少？
2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间每天的房价增加x元（x为10的正整数倍）.
（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；
（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
四、师生互动，课堂小结
1.通过本节课的学习，你有什么收获？
2.对于由二次函数的性质求最大利润问题，你认为有哪些需要注意的？
1.布置作业：从教材习题22.3中选取.
2.完成练习册.
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课题
第3课时 实际问题与二次函数（3）
课型
新授
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序号
21
教学目标
1能根据实际问题构建二次函数模型，并利用函数性质来解决实际问题.
2再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力.
3进一步体会数学知识的应用价值，感受数学来自于生活又服务于生活，激发学习数学的兴趣.
教学重点
用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想.
教学难点
根据抛物线型实际问题，建立恰当的平面直角坐标系，建立二次函数模型.
一、情境导入，初步认识
问题1 如图所示，交通运输业的不断发展使得人们的日常生活越来越便利，隧道的开凿也让许多天堑变通途.一般情况下，隧道都有一定高度，超过高度的车辆无法通过，因此，在隧道入口处常常会设有提醒司机的限高标志.

同学们，这个隧道的外形轮廓是不是很像我们学过的二次函数图形？如果已知一辆车的高度和隧道设计的相关数据，你能判断出该车是否能安全通过隧道吗？
问题2如图所示，我想班上很多同学都喜欢篮球这项运动，都希望有天能像林书豪和姚明那样在NBA的赛场上驰骋吧？其实篮球运动中很多问题也涉及到了我们现在所学的二次函数.

二、思考探究，获取新知
问题（教材第51页探究3）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，水面宽度增加多少？

三、运用新知，深化理解
1.一自动喷灌设备的喷流情况如右图所示，设水管AB在高出地面1.5米的B处有一自动旋转的喷水头，其喷出的水流成抛物线形.喷头B与水流最高点C的连线与水管AB之间夹角为135°（即∠ABC=135°），且水流最高点C比喷头B高2米.试求水流落点D与A点的距离.（精确到0.1米）

2.如图，一位篮球运动员在离篮筐水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运行，球的出手高度为1.8m.当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内.已知篮筐中心离地面的距离为3.05m,你能求出球所能达到的最大高度约是多少吗？（精确到0.01m）

四、师生互动，课堂小结
1.构建二次函数模型解决实际应用问题时，应关注自变量的取值范围并结合二次函数性质进行探讨；
2.对具有抛物线形状的实际问题，应能根据图形的特征建立恰当的平面直角坐标系，这样能更快捷的解决问题，应注意体会.

1.布置作业：从教材习题22.3中选取.
2.完成练习册

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课题
本章热点专题训练
课型
新授
周次

序号
22
教学目标
1掌握本章重要的知识点，能用相关函数知识解决具体问题.
2通过梳理本章知识，回顾解决实际问题中所涉及数形结合思想、方程思想、分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.
3在利用本章知识解决具体问题过程中，进一步增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学习兴趣.
教学重点
本章知识结构梳理及其应用.
教学难点
灵活运用二次函数性质解决实际问题.
一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.二次函数定义：
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的式子称为y关于x的二次函数.需注意的是，二次项系数a≠0是定义中不可缺少的条件.例如，若二次函数是y关于x的二次函数，则m的值为多少？
在这个地方，我们由定义可得，从而m=-3.这里应防止出现由m2-7=2直接得到m=±3的错误.
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象及其性质
（1）a的符号决定抛物线的开口方向；反之，由抛物线的开口方向可确定a的符号（a＞0，开口向上；a＜0，开口向下）；
（2）抛物线的对称轴为x=-，利用抛物线的对称轴通常可解决两个方面的问题：①结合a的符号及对称轴所处位置判别b的符号；②利用对称轴及开口方向确定函数的增减性；
（3）抛物线的顶点坐标（-， ），利用抛物线的顶点，可确定函数的最大（小）值，但对自变量x有限制时，相应的函数值的最大值（或最小值）就应利用函数性质来确定，不能一概而定；
(4)抛物线与x轴的交点及对应的一元二次方程的关系：抛物线与x轴有两个交点，一个交点，没有交点，可由其对应的一元二次方程的根的判别式来判别，即有两个交点Δ=b2-4ac＞0，有一个交点Δ=b2-4ac=0，没有交点Δ=b2-4ac＜0.至于其交点的横坐标，则可由对应的一元二次方程得到.
三、典例精析，复习新知
例1已知二次函数的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0，②a＞0，③b＞0,④c＞0,⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个

例2已知二次函数y=x2+bx+c,其图象对称轴为x=1，且经过（2， ）.
（1）求此二次函数的表达式；
（2）该图象与x轴交于B、C两点（B点在C点左侧），请在此二次函数x轴下方的图象上确定一点E，使△EBC的面积最大，并求出最大面积.
例3某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间成一次函数关系，如下表：

（1）求y与x之间的函数关系式;
（2）若该商品的销售单价在45元~70元之间浮动，
①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？
②商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少？
四、师生互动，课堂小结
1.通过这节课的学习你有哪些问题？
2.回顾本章知识，你还有哪些问题？
1.布置作业：从教材P56~57复习题22中选取.
2. 完成练习册








.

札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
23.1.1旋转的概念及性质
课型
新授
周次

序号
23
教学目标
1通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质.
2在发现、探索的过程中完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，发展学生直观想象能力，分析、归纳，抽象概括的思维能力.
3学生在实验探究、知识应用等数学活动中，能体验数学的具体、生动、灵活，增强数学应用意识，调动学生学习数学的主动性.
教学重点
归纳图形的旋转特征.
教学难点
旋转概念的形成过程及性质的探究过程.
一、情境导入，初步认识
问题1 以前我们学过图形的平移、轴对称等变换，它们有哪些特征呢？想想看，并与同伴交流.
问题2 请观察下列图形的变化（教师展示实物或图片或用课件展示）：
（1）时钟针面上时针的转动（顺时针方向旋转和逆时针方向转动）；
（2）风车的转动；
（3）电扇上扇叶的转动；
（4）小朋友荡秋千；
（5）汽车雨刷的转动；
以上图形的转动有什么共同特点呢？你还能举出这样类似的生活中的情境吗？
二、思考探究，获取新知
探究1 如图，用一根细线一端拴住小球，另一端固定在支架上（教师事先准备好实物），当小球绕点O由A摆动至B，由B摆动至A的过程中，试问：小球绕着哪个点转动？它们转动方向如何？转动的角度是哪个角？

探究2 如图，用一根较长细线系住木棒AB的两端，再将细线固定于支架上的点O（教师事先准备好实物），再将木棒提取使之自然摆动至A′B′位置.试问：在转动过程中，木棒AB绕着哪一点在转动？木棒AB的长度发生了变化吗？A和A′到点O的距离发生了变化吗？B和B′点呢？由此你能发现哪些重要结论？
旋转：把一个平面图形绕着平面内某一个点（如点O）旋转一个角度，就叫做图形的旋转.点O称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.（注意突出旋转的三个要素：旋转中心、旋转角和旋转方向）
对应点：如果图形上的点P经过旋转变为P′，则这两个点叫做这个旋转的对应点.
对应线段：如果图形上的线段AB经过旋转变为线段A′B′，则这两条线段称为对应线段，同样地，如果图形上的一个角∠A经过旋转后变为∠A′，则∠A和∠A′称为对应角.
对应点和旋转中心之间的夹角称为旋转角.
探究3 如图，在硬纸片上，挖一个三角形ABC，再挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面再放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形（△ABC），然后围绕旋转中心O转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形（△DEF），移开硬纸板.

试问：在旋转的过程中，线段OA与线段OD的大小关系如何？∠AOD与∠BOE及∠COF有什么关系？旋转前后三角形的形状和大小发生了改变吗？
旋转的性质：
1.对应点到旋转中心的距离相等；
2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.旋转前后图形的形状、大小完全相同，即它们是全等的.
三、运用新知，深化理解
1.将图形绕点O旋转，且图形上点P、Q旋转后的对应点分别为P′、Q′，若∠POP′=80°，则∠QOQ′=____，若OQ=2.5cm，则OQ′=____。
2.从3点到5点，钟表上时针转过的角度为____。
3.如图，将四边形AOBC绕点O按逆时针方向旋转45°至DOEF位置，在这个旋转过程中：
（1）旋转中心是什么？
（2）经过旋转，点A、B、C分别移动到什么位置？
（3）AO与DO，BO与EO的大小关系如何？
（4）若∠C=30°，则图中哪个角的度数也是30°?
(5)∠AOD与∠BOE的度数分别是多少？你能说明理由吗？
4.如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.

四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？


1.布置作业：从教材“习题23.1”中选取.
2.完成练习册

札记



九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
第2课时 旋转作图与平面直角坐标系中的旋转
课型
新授
周次

序号
24
教学目标
1进一步加深对旋转性质的理解，能用旋转的性质解决具体问题及进行图案设计.
2经历对生活中旋转现象的观察、推理和分析过程，学会用数学的眼光看待生活中的有关问题，体验数学与现实生活的密切联系.
3进一步培养学生学习数学的兴趣和热爱生活的情感，体会生活的旋转美，发展学生的美感，增强学生的艺术创作能力和艺术欣赏能力.
教学重点
利用旋转的性质设计简单的图案.
教学难点
利用旋转性质进行旋转作图.
一、情境导入，初步认识
问题1旋转图形具有哪些性质？还记得吗？说说看.
问题2你能利用旋转的性质作出一个图形绕着某一点按一定方向旋转一个角度后的旋转图形吗？不妨试试看：如图，△AOB绕点O旋转后，G点是B点的对应点，作出△AOB旋转后的三角形.

二、观察思考，感受新知
出示课件，展示教材P61中图23.1-9：开始出现一片月芽形图案，教师手动鼠标，慢慢出现两片、三片，……，形成图23.1-9中图案，让学生通过观察，感受图案的形成过程，然后教师出示问题，让学生进行思考探究.
问题：（1）你能说出上述图案是怎样得到的吗？
（2）如果仅给你一片月芽形图案，你能设法得到图中的图案吗？
（3）谈谈你对这些图案形成过程的认识，与同伴交流.
思考（1）在旋转过程中，产生了形如图23.1-7，图23.1-8的不同旋转效果，这是什么原因造成的呢？
（2）你能仿照上述图示方法进行图案设计吗？与同伴交流.
三、典例精析，掌握新知
例图（1）中的图形是某设计师设计图案的一部分，请你运用旋转变换的方法，在方格纸中将图（1）中图形绕点P顺时针依次旋转90°，180°，270°，依次画出旋转后得到的图形，你会得到一个美丽的图案，涂阴影的不要涂错位置，否则不能出现理想的效果，你来试一试吧！（注：方格纸中小正方形的边长为1个单位长度）
分析：运用“对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角相等”等旋转的特征，很容易得到旋转后的图案.
四、活动操作，深化理解
问题把一个三角形旋转：
（1）选择某一固定点为旋转中心，旋转角分别为45°，90°和135°，请画出旋转后的图形，并观察旋转效果；
（2）选取两个不同点为旋转中心，旋转角均为30°，请画出旋转后的图形，观察旋转效果.
（3）改变三角形的形状，看看旋转的效果.
五、图案设计，巩固提高
请以下列图形为基本图形，利用旋转进行图案设计，并与同伴交流效果.

六、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获？你觉得利用旋转进行图案设计时应注意哪些问题？请与同伴交流.
1.布置作业：从教材“习题23.1”中选取.
2.完成练习册
札记



九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
23.2.1 中心对称
课型
新授
周次

序号
25
教学目标
1理解中心对称的有关定义，掌握中心对称的性质，能利用中心对称性质画出与已知图形成中心对称的图形.
2经历在操作活动过程中探索出中心对称的性质，进一步增强学生的观察、分析、抽象概括的能力.
3在操作活动中积累数学活动的经验，培养学生的空间想象能力，增强审美意识，体验几何美，提高学习兴趣.
教学重点
利用中心对称的有关定义和性质解决具体问题.
教学难点
中心对称与图形旋转的关系.
一、情境导入，初步认识
问题1 如图，将△ABC绕点O旋转，使点A旋转到D处，你能画出旋转后的图形吗？说说你的理由.

问题2 如图，将△ABC绕点O旋转180°，你能画出旋转后的图形吗？说说你的做法，并指出这两个图形之间有什么关系？从中你有何发现？

二、思考探究，获取新知
探究1 （1）如图（1），把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？

（2）如图（2），线段AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？
中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.这个点称为对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.
探究2旋转三角尺，画关于点O对称的两个三角形.
第一步：画出△ABC如图(1）；

第二步：以三角尺的一个顶点O为中心，把三角尺旋转180°，画出△A′B′C′如图(2)；
第三步：移开三角尺如图(3).

这样，画出的△ABC与△A′B′C′关于点O对称.试问：
（1）在图(3)中，点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？对于线段BB′、CC′呢？
（2）△ABC与△A′B′C′有什么关系？
三、典例精析，掌握新知
例（1）选择点O为对称中心，画出点A关于点O的对称点A′，如图(1)；
（2）选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′，如图（2）.

分析：在（1）中，可利用“对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分”这一性质，画出点A关于O点的对称点A′（即延长AO，并在AO延长线上截取OA′=AO，则A′点即是A关于点O的对称点）；在（2）中，可仿（1）分别得到点A、B、C关于点O的对称点A′、B′、C′，连A′B′、A′C′、B′C′，则△A′B′C′是△ABC关于点O的对称三角形.
四、运用新知，深化理解
1.下列说法正确的个数是（ ）
①旋转后能够重合的两个图形是中心对称的；②成中心对称的两个图形形状一样、大小相同；③全等的两个三角形一定是中心对称的；④关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图，已知四边形ABCD，请以点O为中心，画一个四边形，使之与四边形ABCD关于点O成中心对称.

五、师生互动，课堂小结
教师让学生围绕以下问题展开：
（1）本节知识要点归纳回顾；
（2）中心对称的性质及其应用；
（3）中心对称和轴对称的区别和联系；
（4）相互交流本节课的学习体会和收获，谈谈学习中有哪些困惑.
1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.
2.完成练习册.
札记



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课题
23.2.2中心对称图形
课型
新授
周次

序号
26
教学目标
1了解中心对称图形的定义及其特征，体会中心对称和中心对称图形之间的联系和区别.
2经历观察、思考、探究、发现的过程，感受中心对称图形的特征，培养学生的观察能力和动手操作能力.
3通过对中心对称图形的探究和认知，体验图形的变化规律，感受图形的变换的美感，享受学习数学的乐趣和积累一定的审美经验.
教学重点
中心对称图形的有关概念及其性质
教学难点
中心对称图形和中心对称的区别和联系
一、情境导入，初步认识
问题1 关于中心对称的两个图形有哪些特征？说说看.
问题2 观察如图所示的三个图形，你能发现什么？与同伴交流你的看法.

二、思考探究，获取新知
探究1 如图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你有什么发现？

探究2 如图，将ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
三、合作交流，掌握新知
问题1除上面所讲的线段、平行四边形都是中心对称图形外，请你举例说出一个图形，使它是中心对称图形？与同伴交流.
问题2说说中心对称图形具有哪些特点？它与中心对称有什么区别和联系？谈谈你的看法，并与同伴交流.
问题3
判断下列图形是否为中心对称图形，如果是，请指出它的对称中心.
（1）线段；（2）等腰三角形；（3）矩形；（4）菱形；（5）等腰梯形；（6）圆；（7）正多边形
四、运用新知，深化理解
1.按要求画一个图形，所画图形中应有一个正方形和圆，并且这个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形.你能行吗？与同伴交流.
2.如图，请在图中画出一条直线，使之将图中图形的面积分成相等的两部分，试试看，与同伴交流.

五、师生互动，课堂小结
为更好地掌握知识，教师可让学生阐述本节所学知识，归纳完善知识体系：
（1）中心对称图形的有关概念；
（2）中心对称图形的性质特点；
（3）中心对称图形与中心对称的区别与联系；
（4）中心对称图形的识别方法.
1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.
2.完成练习册



札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
23.2.3关于原点对称的点的坐标
课型
新授
周次

序号
27
教学目标
1.理解点P与P′关于原点对称时，它们的横、纵坐标的关系；
2.能运用关于原点对称的点的坐标的关系解决具体问题.
3通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力以及与他人合作交流的能力.
4结合坐标系内点的坐标对称关系的学习，培养学生合作交流的意识和归纳类比的能力，增强数学学习的信心和乐趣.
教学重点
关于原点对称的点的坐标关系及其应用.
教学难点
运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标性质.
一、情境导入，初步认识
问题1以前我们学习过关于x轴、y轴对称的点的坐标问题，你能说说关于x轴、y轴对称的点的坐标的关系吗？
问题2在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3，2），则点A关于原点O的对称点A′的坐标是什么呢？你能说说吗？
二、思考探究，获取新知
探究 如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.

A（4，0） B（0，-3） C（2，1）
D（-1，2） E（-4，-3）
思考通过你的作图，你能说出这些点和它们关于原点O的对称点的坐标之间有什么关系吗？
两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标为（-x，-y）.
三、典例精析，掌握新知
例1 图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形.

例2 如图，平行四边形的中心在坐标原点，AD∥BC，D(3，2)，C(1，-2)，求A、B两点的坐标.

四、运用新知，深化理解
1.点M（-2，3）关于原点的对称点M′的坐标为（ ）
A.（-2，-3）B.（2，-3）
C.（3，-2）D.（2，3）
2.下列各点中哪两个点关于原点O对称？
A（-5，0），B（0，2），C（2，-1），D（2，0），E（0，5），F（-2，1），G（-2，-1）
五、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和想法？说说看.
1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.
2.完成练习册中本课时 练习的“课时 作业”部分.
札记



九年级数学课时教案
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课题
23.3 课题学习 图案设计
课型
新授
周次

序号
28
教学目标
1利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案.
2在应用图形变换进行图案设计的过程中，对所学数学知识进行“再认识”，同时进行独立的数学创造，发展形象思维和创造性思维能力.
3在经历应用数学知识进行独立的图案设计的活动中，感受到数学美与创造的同时获得自我创造的成就感，激发创造性地应用数学知识的热情.
教学重点
利用各种图形变换设计组合图案.
教学难点
将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换设计出和谐、丰富、美观的组合图案.
一、知识回顾，活动预备
教师演示一个三角形分别经过平移、旋转和轴对称变换后得到其对应图形的变换过程，引导学生观察，并提出问题：平移、旋转、轴对称变换的基本特征是什么？让学生思考并归纳出三种图形变换的共性.
二、图案分析，整合知识
问题1 观察下面的图形（教材书中P72图23.3-1），分析它是由哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？
问题2 观察下面的图形，分析它是由哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？
问题3 继续观察上述图案，感受简单图案的丰富变形.

【教学说明】教师演示课件，突出基本图形经过不同的图形变换后得到组合图案的过程，让学生在组合图案中辨析出基本图形经过了哪些图形变换，再现组合图案的设计过程，感受图形变换的奇妙、美丽、生动与灵活，调动学生创造的热情.教学时，应关注学生能否准确地运用数学语言表述基本图形进行平移、旋转和轴对称变换的过程；让学生感受到简单的基本图形可以通过不同的变换组合出丰富多彩的图案.
三、图案展示，合作交流
展示学生课前搜集到的利用平移、轴对称和旋转变换设计的图案.同学间分小组继续进行图案分析.教师巡视、倾听学生的交流，并提出问题“进行图案设计的步骤是什么？”
【教学说明】
教师应课前布置学生搜集合适图案，让学生在活动中增强收集和处理信息的能力，同时体现数学源于生活，引导学生善于用数学的眼光审视生活.教学时，教师应关注学生在交流过程中能否体会出图案设计的方法.
四、图案设计，升华知识
教师给出一个基本图形（如月芽形、一叶花瓣、等腰三角形、直角三角形等基本图形），让学生自主设计图案（应以平移、旋转、轴对称变换为基本方法），然后同学间相互交流，看看谁设计的图案最美，并由设计者说说图案设计中所运用的图形交换有哪些？
【教学说明】
让学生进行图案设计，可增强学生创造性地应用数学知识的能力.
五、师生互动，课堂小结
（1）图案设计的关键是什么？
（2）欣赏图形变换所产生的美.
【教学说明】
教师引导学生反思图案设计的关键在于选取简单的基本几何图形，通过不同的变换组合出丰富的图案，在欣赏收集的组合图案或教师出示的课件中组合图案，进一步增强图案设计方法的理解和掌握.

完成练习册
札记



九年级数学课时教案
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课题
本章热点专题训练
课型
新授
周次

序号
29
教学目标
1进一步掌握旋转图形、中心对称、中心对称图形的概念及其性质，能够作出旋转图形和中心对称的图形，增强图案设计的能力.
2通过对本章知识点的回顾及运用本章知识解决具体问题的过程，进一步增强数学应用的意识和能力，锻炼分析问题和解决问题的能力.
3在探索图形之间变换关系的过程中，激发学生的学习兴趣，增强数学审美能力.
教学重点
本章涉及的主要知识点和数学思想方法.
教学难点
综合运用本章知识解决相关的几何问题.
一、 知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.旋转的性质有哪些？你能举出旋转的实例吗？
2.在现实生活中，存在着大量的中心对称现象，你能举出一些例子吗？成中心对称的图形有什么特点？
3.请列举学过的中心对称图形，说说如何判别一个图形是否是中心对称图形.
4.关于原点对称的点的坐标有什么特征？
5.用平移、旋转和轴对称的组合进行图案设计的关键是什么？你能进行简单的图案设计吗？
三、典例精析，复习新知
例1如图，若△ABC绕点C沿顺时针方向旋转150°后得到△A1B1C，∠A=60°，∠B1=90°，则∠A1CB=______.
.
例2 在方格纸上建立如图的平面直角坐标系，将△ABO绕点O按顺时针
方向旋转90°，得到△A′B′O，则点A的对应点A′的坐标为_____.

例4 如图，一财主有一块平行四边形的土地，地里有一个圆形池塘，财主立下遗嘱：要把这块土地平均分给他的两个儿子，中间的池塘也平分，但不知道怎么做，你能想个办法吗？

例5 已知点P为正△ABC内一点，∠APB=113°，∠APC=123°，求证：以AP、BP、CP为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数.

四、复习训练，巩固提高
1.如右图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB=3，则△DOC中CD边上的高是（ ）

A.3 B.6 C.8 D.12
2.如图所示，在△ABC中，∠BAC=15°，将△ABC，绕点A按逆时针方向旋转90°到△ADE的位置，然后将△ADE以AD为轴折叠到△ADF的位置，连接CF，判断△ACF的形状，并说明理由.

五、师生互动，课堂小结
通过本节课的学习，你对本章知识有哪些新的认识和体会，说说你的看法，并与同伴交流.

1.布置作业：从教材“复习题23”中选取.
2.完成练习册



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札记




九年级数学课时教案
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课题
24.1.1 圆
课型
新授
周次

序号
30
教学目标
1.通过观察实验操作，使学生理解圆的定义.
2.结合图形理解弧、等弧、弦、等圆、半圆、直径等有关概念.
3通过举出生活中常见圆的例子，经历观察画圆的过程多角度体会和认识圆.
4结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透.激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望.
教学重点
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的理解.
教学难点
圆、等圆、弧、等弧、弦、半圆、直径等有关概念的区别与联系.
一、情境导入，初步认识
圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象.

1.观察以上图形，体验圆的和谐与美丽.请大家说说生活中还有哪些圆形？
2.请同学们在草稿纸上用圆规画圆，体验画圆的过程，想想圆是怎样形成的.
二、思考探究，获取新知
1.圆的描述性定义
问题1如教材79页图所示，通过用绳子和圆规画圆的过程，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

如右图：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
注意：圆指的是圆周，不是圆面.
2.圆的集合定义
问题2我们以前学过“角平分线上的点到角的两边距离相等.”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.”“线段的垂直平分线可以看作是到线段两个端点的距离相等的点的集合.”由此你能类似地给圆从集合的角度进行定义吗？
问：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么共同特征？
（2）到定点（圆心O）距离等于定长（半径r）的点有什么共同特征？
通过上面两个问题我们就能得到圆的集合定义.
【归纳结论】圆心为O，半径为r的圆，可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.
思考车轮为什么做成圆形的？如果车轮不是圆的（如椭圆或正方形等），坐车人会是什么感觉？


3.与圆有关的概念
弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.（如：线段AB、AC）
经过圆心的弦（如AB）叫做直径.
注：直径是特殊的弦，但弦不一定是直径.
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
如图，以A、B为端点的弧记作：AB，读作：弧AB.
注：①圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
②大于半圆的弧，用三个点表示，如图中的ABC，叫做优弧.
小于半圆的弧，用两个点表示，如图中的AC，叫做劣弧.
等圆：能够重合的两个圆叫做等圆.
注：半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等.
等弧：在等圆或同圆中，能够互相重合的弧叫等弧.
注：①等弧是全等的，不仅是弧的长度相等.
②等弧只存在于同圆或等圆中.
三、运用新知，深化理解
1.如何在操场上画一个半径是5m的圆？说说你的理由.
2.（1）以点A为圆心，可以画_____个圆.
（2）以已知线段AB的长为半径，可以画______个圆.
（3）以A为圆心，AB长为半径，可以画______个圆.
3.如图，半圆的直径AB=______.

4.如图，图中共有______条弦.
四、师生互动，课堂小结
1.师生共同回顾圆的两种定义，弦（直径），弧（半圆、优弧、劣弧、等弧），等圆等知识点.
2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.
1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册.

札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
24.1.2垂直于弦的直径
课型
新授
周次

序号
31
教学目标
1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性.
2.掌握垂径定理及其推论.理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题.
3通过探索垂径定理及其推论的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.
教学重点
垂径定理及其推论，会运用垂径定理等结论解决一些有关证明，计算和作图问题.
教学难点
垂径定理及其推论.
一、情境导入，初步认识
你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中心点到弦的距离）为7.2m.你能求出主桥拱的半径吗？（图：课本第82页图24.1-7）
二、思考探究，获取新知
1.圆的轴对称性
问题1用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
2.垂径定理及其推论
问题2 请同学们完成下列问题：
如右图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD.使CD⊥AB，垂足为E.
（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么呢？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说说理由.
【归纳结论】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧（优弧、劣弧）.
数学语言：如上图，在⊙O中，AB是弦，直径CD垂直于弦AB.
∴AE=BE. 。
3.利用垂径定理及推论解决实际问题
问题3 如图，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R，经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高，AB=37.4，CD=7.2，则
AD=1/2AB=1/2×37.4=18.7，
OD=OC-CD=R-7.2.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2.
即：R2=18.72+(R-7.2)2
解得R≈27.9(m)
∴赵州桥主桥拱半径约为27.9m.
三、运用新知，深化理解
1.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，根据圆的轴对称性可得：CE=______，=______；=______.
2.如图，在⊙O中，MN为直径，若MN⊥AB，则______，______，______，
若AC=BC，AB不是直径，则______，______，______.
3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中），点O是这段弧的圆心，C是上一点，OC⊥AB，垂足为D. AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是____m.

四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？
1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册
札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
24.1.3 弧、弦、圆心角
课型
新授
周次

序号
32
教学目标
1.理解圆心角概念和圆的旋转不变性.
2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，以及它们在解题过程中的应用.
3通过学生动手或计算机演示使学生感受圆的旋转不变性，发展学生的观察分析能力.
4培养学生勇于探索的良好习惯，激发学生探究，发现数学问题的兴趣.
教学重点
圆心角、弧、弦之间的关系，并能运用此关系进行有关计算和证明.
教学难点
理解圆的旋转不变性和定理推论的应用
一、情境导入，初步认识
汽车能正常行驶（其他情况正常）得益于车轮；而车轮又是具有什么性质才具有如此奇妙的作用呢？
教师拿出做好的教具，在纸上画下任意圆，任意画出两条半径，构成一个顶点在圆心上的角α，将这个圆绕圆心O旋转任意角度α，你会发现什么？
像α这样，顶点在圆心上的角叫圆心角.
这节课我们将要研究与它有关的一些定理，引入课题.

二、思考探究，获取新知
1.圆的旋转不变性
由上述探究活动中，我们不难发现：
围绕圆心O旋转任意角度α，都能与原来的图形重合，所以圆是中心对称图形，并且具有旋转不变的特征.
这也是车轮具有的特征，所以汽车才能正常行驶.
2.弧、弦、圆心角之间的关系
探究如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置，你能发现哪些等量关系，为什么？

【归纳结论】 AB=A′B′
∴由圆的旋转不变性可得出下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相同.
议一议（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦相等吗？
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？
推论：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等.


在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
请同学们根据图形给出定理及其推论的符号语言.
由此可总结为：在同圆或等圆中，圆心角相等弧相等弦相等.
3.圆心角、弧、弦定理及推论的应用
例1如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
例2如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F两点，交BA的延长线于G，判断EF和FG是否相等，并说明理由.
三、运用新知，深化理解
1.观察下列选项中的图形及推理，其中正确的是：
∵∠AOB=∠A′OB′∵AD=BC
∴AB=A′B′∴AB=CD
（1）（2）
∵∠AOC=∠BOC
∴AD=BC
（3）
2.如图所示，C、D为半圆O的三等分点，AB为直径，则下列说法正确的有个.
①AD=CD=BC
②∠AOD=∠DOC=∠BOC
③四边形ADCO为菱形
四、师生互动，课堂小结
通过这堂课的学习，你掌握了哪些基本概念和基本方法?如圆心角的概念，弧、弦、圆心角三者之间的关系等，试着与同伴交流.
1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册.





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九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
24.1.4 圆周角
课型
新授
周次

序号
33
教学目标
1理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系，并会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明.
2经历探索圆周角定理的过程，初步体会分类讨论的数学思想，渗透解决不确定的探索型问题的思想和方法，提高学生的发散思维能力.
3通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验.
教学重点
圆周角定理及其推论的探究与应用.
教学难点
圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及
圆周角定理及推论的应用.
一、情境导入，初步认识
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗AB观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置.同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？

［相同，2∠ACB=2∠AEB=2∠ADB=∠AOB］
二、思考探究，获取新知
1.圆周角的定义
探究1 观察下列各图，图（1）中∠APB的顶点P在圆心O的位置，此时∠APB叫做圆心角，这是我们上节所学的内容.图（2）中∠APB的顶点P在⊙O上，角的两边都与⊙O相交，这样的角叫圆周角.请同学们分析（3）、（4）、（5）、（6）是圆心角还是圆周角.
【归纳结论】圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.二者缺一不可.
2.圆周角定理
探究2如图，（1）指出⊙O中所有的圆心角与圆周角，并指出这些角所对的是哪一条弧？
（2）量一量∠D、∠C、∠AOB的度数，看看它们之间有什么样的关系？
（3）改变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化？你发现其中有规律吗？若有规律，请用语言叙述.

为了进一步研究上面发现的结论，如图，在⊙O上任取一个圆周角∠ACB，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠ACB的顶点C.由于点C的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：
（1）在圆周角的一条边上；
（2）在圆周角的内部；
（3）在圆周角的外部.

已知：在⊙O中，所对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，求证：∠ACB=1/2∠AOB.
［提示分析：我们可按上面三种图形、三种情况进行证明.］
如图（1），圆心O在∠ACB的边上，∵OB=OC，∴∠B=∠C，而∠BOA=∠B+∠C，
∴∠B=∠C=1/2∠AOB.
图（2）（3）的证明方法与图（1）不同，但可以转化成（1）的基本图形进行证明，证明过程请学生们讨论完成.
得出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.
注意：①定理应用的条件是“同圆或等圆中”，而且必须是“同弧或等弧”，如下图（1）.
②若将定理中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立了.因为一条弦所对的圆周角有两种情况，它们一般不相等（而是互补）.如下图（2）.

3.圆周角定理的推论
议一议（1）特殊的弧——半圆，它所对的圆周角是多少度呢？
（2）如果一条弧所对的圆周角是90°，那么这条弧所对的圆心角是多少呢？
结论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.（圆周角定理的推论）
4.圆内接四边形
定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.

⊙O是四边形ABCD的外接圆.
连接OB、OD，由圆周角定理可知：
∠A=1/2∠1，∠C=1/2∠2
而∠1+∠2=360°，∴∠A+∠C=
∴∠A与∠C互补，同理可得∠ADC+∠ABC=180°.
由此可知在⊙O的内接四边形ABCD中，对角∠A与∠C，∠ADC与∠ABC互补.
若延长BC至E，使得四边形ABCD有一个外角∠DCE，则∠DCE+∠BCD=180°.
∴∠A=∠DCE.即：外角∠DCE与内对角∠A相等.
由此可知圆内接四边形有如下性质：
圆内接四边形的对角互补，外角等于内对角.
三、典例精析，获取新知
例1如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D.
求BC、AD、BD的长.

例2 如图.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠AOD=30°.求∠BCD的度数.

四、运用新知，深化理解
1.如图（1）所示，⊙O的直径AE=10cm.∠B=∠EAC，求AC的长.
2.如图（2）所示，AB是⊙O的直径，以AO为直径的⊙C与⊙O的弦AD相交于点E.（1）你认为图中有哪些相等的线段？（2）连接OE、BD.你认为OE与BD之间的关系是怎样的？
3.如图（3）所示，两圆相交于A、B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C、D分别在两圆上，若∠ADB=100°，求∠ACB的度数.
五、师生互动，课堂小结
师生共同回顾本节所学的知识点有哪些？常见的辅助线有哪些？
1.布置作业：从教材“习题24.1”中选取.
2.完成练习册



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学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
24.2.1点和圆的位置关系
课型
新授
周次

序号
34
教学目标
1.掌握点与圆的三种位置关系及数量间的关系.
2.探求过点画圆的过程，掌握过不在同一直线上三点画圆的方法.
3.了解运用“反证法”证明命题的思想方法.
4通过生活中的实例探求点和圆的三种位置关系，并提炼出数量关系，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.
5形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.
教学重点
（1）点与圆的三种位置关系.（2）过三点作圆.
教学难点
点与圆的三种位置关系及其数量关系反证法
一、情境导入，初步认识
射击是奥运会的一个正式体育项目，我国运动员在奥运会上屡获金牌，为我国赢得了荣誉，如图所示是射击靶的示意图，它是由若干个同心圆组成的，射击成绩是由击中靶子不同位置所决定的.图中是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹.你知道如何计算运动员的成绩吗？

从数学的角度来看，这是平面上的点与圆的位置关系，我们今天这节课就来研究这一问题，引出课题.
二、思考探究，获取新知
1.点与圆的位置关系
我们取刚才射击靶上的一部分图形来研究点与圆存在的几种位置关系.
学生交流，回答问题.

教师点评：点与圆有三种位置关系：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
议一议如下图，⊙O的半径为4cm，OA=2cm，OB=4cm，OC=5cm，那么，点A、B、C与⊙O有怎样的位置关系？

【归纳结论】点与圆的三种位置关系及其数量间的关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d.
则有：点P在⊙O外d＞r
点P在⊙O上d=r
点P在⊙O内d＜r
注：①“”表示可以由左边推出右边的结论，也可由右边推出左边结论.读作“等价于”.
②要明确“d”表示的意义，是点P到圆心O的距离.
2.圆的确定
探究（1）如图（1），作经过已知点的圆，这样的圆你能作出多少个？
（2）如图（2），作经过已知点A、B的圆，这样的圆能作多少个？它们的圆心分布有什么特点？

学生动手探究，作图，交流，得出结论，教师点评并总结.
（注：仅过点A、B，同样不能确定圆心，也不能确定半径.）
思考 在平面上有不共线的三点A、B、C，过这三个点能画多少个圆？圆心在哪里？

【归纳结论】不在同一直线上的三点确定一个圆.
由此结论要延伸到：
经过三角形三个顶点可以作一个圆，并且只能作一个，这个圆叫做三角形的外接圆.三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.这个三角形叫做这个圆的内接三角形.
三角形的外心——三角形三边垂直平分线的交点.它到三角形三个顶点的距离相等.
议一议 如果A、B、C三点在同一直线上，能画出经过这三点的圆吗？为什么？

三、典例精析，掌握新知
例1⊙O的半径为10cm，根据点P到圆心的距离：（1）8cm，（2）10cm，（3）13cm，判断点P与⊙O的位置关系？并说明理由.
例2 如图，在A地往北90m处的B处，有一栋民房，东120m的C处有一变电设施，在BC的中点D处有一古建筑.因施工需要必须在A处进行一次爆破，为使民房，变电设施，古建筑都不遭破坏，问爆破影响的半径应控制在什么范围之内？

四、运用新知，深化理解
1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D、E分别为AB、AC的中点，现以点B为圆心，BC的长为半径作⊙B，试问A、C、D、E四点分别与⊙B的位置关系？

2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径.

3.如图，有一个三角形鱼塘，在它的3个顶点A、B、C三处均有一棵大白杨树，现设想把三角形鱼塘扩建成圆形养鱼场，但必须保持白杨树不动，请问能否实现这一设想？若能，请设计画出示意图；若不能，说明理由.

五、师生互动，课堂小结
本节课你学到了哪些数学知识和数学方法？请与同伴交流 .
1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册

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课题
24.2.2 直线和圆的位置关系（1）
课型
新授
周次

序号
35
教学目标
1掌握直线和圆的三种位置关系及其数量间的关系，掌握运用圆心到直线的距离的数量关系或用直线与圆的交点个数来确定直线与圆的三种位置关系的方法.
2通过生活中的实例，探求直线和圆的三种位置关系，并提炼出相关的数学知识，从而渗透数形结合，分类讨论等数学思想.
3在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
教学重点
直线与圆的三种位置关系及其数量关系.
教学难点
通过数量关系判断直线与圆的位置关系.
一、情境导入，初步认识
问题1
在太阳升起的过程中，太阳和地平线会有几种位置关系？如果我们把太阳看作一个圆，把地平线看作是一条直线，由此你能得出直线和圆的位置关系吗？
问题2
在纸上画一条直线l，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙，你能发现钥匙在移动的过程中，它与直线l的公共点的个数的变化情况吗？
二、思考探究，获取新知
1.直线和圆的位置关系的定义及有关概念
由前面的两个探究情景可知：直线与圆有如下三种位置关系：

如图（1），直线l与⊙O有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，直线l叫做⊙O的割线.
如图（2），直线l与⊙O只有一个公共点，这时我们说直线l与⊙O相切，直线l叫做⊙O的切线，这一个公共点叫做切点.
如图（3），直线l与⊙O没有公共点，我们说这条直线l与⊙O相离.
【归纳结论】用直线和圆的交点个数可确定直线与圆的位置关系.
①直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交.
②直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切.
③直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.
2.直线和圆的位置关系的性质和判定
思考在上面的图（1）、（2）、（3）中，设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，在直线和圆的三种不同位置关系中，d与r具有怎样的大小关系？反过来你能根据d与r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？（学生讨论，归纳总结答案，并由学生代表回答问题.）
【归纳结论】直线l与⊙O相交d＜r；（两个交点）
直线l与⊙O相切d=r；（一个交点）
直线l与⊙O相离d＞r；(没有交点)
三、典例精析，掌握新知
例1
已知圆的半径等于10cm，直线l与圆只有一个公共点，求圆心到直线
l的距离.
例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？

(1) r=2cm；(2) r=2.4cm；(3) r=3cm.
四、运用新知，深化理解
1.完成课本P96练习.
2.如图，正方形ABCD中，边长为1.
（1）以点A为圆心，1为半径的圆与直线BC有怎样的位置关系？
（2）以A为圆心，半径为多少时，圆与直线BD相切？

五、师生互动，课堂小结
学生交流归纳，能够完成下表.

1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册




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课题
第2课时 切线的判定与性质
课型
新授
周次

序号
36
教学目标
1能判定一条直线是否为一条切线，会过圆上一点作圆的切线.会运用切线的判定定理和性质定理解决问题.
2经历切线的判定定理及性质定理的探究过程，养成学生既能自主探究，又能合作探究的良好学习习惯.
3体验切线在实际生活中的应用，感受数学就在我们身边，感受证明过程的严谨性及结论的正确性.
教学重点
切线的判定定理及性质定理的探究和运用
教学难点
切线的判定定理和性质的应用.
一、情境导入，初步认识
情境1 下雨天，小孩子总喜欢转动雨伞，你发现雨伞的水珠顺着伞面的边缘飞出，水珠是顺着什么方向飞出的？
情境2 用机器打磨铁制零件时，铁屑是沿什么方向飞出的？
情境3用一根细线系一个小球，当你快速转动细线时，小球运动形成一个圆，突然这个小球脱落，沿着圆的边缘飞出去，你知道小球会顺着什么方向飞出吗？
二、思考探究，获取新知
1.切线的判定定理
思考1 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A，作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？直线l和⊙O有什么位置关系？


分析：∵直线l⊥OA，而点A是⊙O的半径OA的外端点.
∴直线l与⊙O只有一个交点，并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA，即是⊙O的半径.
∴直线l与⊙O相切.
【归纳总结】
切线的判定定理：经过半径的外端（点）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
试一试 （1）已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的切线？（只能作一条直线）
（2）下图中的直线是圆的切线吗？（都不是圆的切线）

2.切线的性质定理
思考2 已知直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？为什么？（学生讨论，由学生代表回答）
教师点评：由于l是⊙O的切线，点A为切点，∴圆心O到l的距离等于半径，所以OA就是圆心O到直线l的距离.∴OA⊥直线l.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A.∴OA⊥直线l.
三、典例精析，掌握新知
例1 教材98页例1.（要证明一条直线是圆的切线，必须符合两个条件，即“经过半径外端”和“垂直于这条半径”.引导学生分析.
例2 （1）如图（1），AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，A是切点，∠PAB=30°，求∠AOB.
（2）如图（2），AB是⊙O的直径，DC切⊙O于点C，连接CA、CB，AB=12，∠ACD=30°，求AC的长.

四、运用新知，深化理解
1.完成教材第98页练习1、2.
2.如图，已知PA是∠BAC的平分线，AB是⊙O的切线，切点为E，求证：AC是⊙O的切线.

五、师生互动，课堂小结
1.让学生回顾本堂课的两个知识点.
2.试着让学生自己总结切线的证明方法，然后相互交流.
1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册.







札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
第3课时 切线长定理
课型
新授
周次

序号
37
教学目标
1理解掌握切线长的概念和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心等概念.
2利用圆的轴对称性帮助探求切线长的特征.结合求证三角形内面积最大的圆的问题，掌握三角形内切圆和内心的概念.
3经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力.
教学重点
切线长定理及其应用.
教学难点
内切圆、内心的概念及运用.
一、情境导入，初步认识
探究 如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B，回答下列问题：（1）OB是⊙O半径吗？（2）PB是⊙O的切线吗？（3）PA、PB是什么关系？（4）∠APO和∠BPO有何关系？
学生动手实验，观察分析，合作交流后，教师抽取几位学生回答问题.
二、思考探究，获取新知
1.切线长的定义及性质
切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
我们知道圆的切线是直线，而切线长是一条线段长，不是直线.
如右图中，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.又OA=OB，OP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴PA=PB，∠AOP=∠BOP，∠APO=∠BPO.
由此我们得到切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
猜想：在上图中连接AB，则OP与AB有怎样的关系？
分析：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点.∴PA=PB，∠OPA=∠OPB，∴OP⊥AB，且OP平分AB.
2.三角形的内切圆
思考 如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
假设符合条件的圆已作出，那么这个圆与△ABC的三边都相切，这个圆的圆心到△ABC三边的距离都等于半径.又因为我们在角平分线这节中学过，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等.因此，在△ABC中，作∠B，∠C的角平分线BM和CN，它们相交于点I，则点I到AB、BC、AC的距离相等.∴以I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC三边相切.
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
三、典例精析，掌握新知
例1 教材第100页，例2（本题较简单，教师指点，可由学生自主完成）
例2 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接OP，交⊙O于C，若PA=6.PC=23.求⊙O的半径OA及两切线PA、PB的夹角.
例3如图，在△ABC中，I是内心，∠BIC=100°，则∠A=____.
四、运用新知，深化理解
课本第100页练习1、2题.
五、师生互动，课堂小结
这节课学习了哪几个重要知识点？你有哪些疑惑？
1.布置作业：从教材“习题24.2”中选取.
2.完成练习册

札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
24.3正多边形和圆
课型
新授
周次

序号
38
教学目标
1了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.
2结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.
3学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.
教学重点
正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.
教学难点
探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.
一、情境导入，初步认识
观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.

（1）你能从图案中找出多边形吗？
（2）你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？
二、思考探究，获取新知
1.正多边形和圆的关系
问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.
教师引导学生根据题意画图，并写出已知和求证.
已知：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE形成五边形.
问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.

问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？
问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.
2.正多边形的有关概念
综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.
正n边形：中心角为：
360°n；内角的度数为：180°（n-2）n
3.正多边形和圆有关的计算问题
例1（课本106页例题）有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.
.
例2填空.

4.画正多边形
画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：
（1）用量角器等分圆周.

方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.
方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.
（2）用尺规等分圆
正方形的作法:如图（1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，则可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.
正六边形的作法：方法一：如图（2）任意作一条直径AB，再分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.
方法二：如图（3）由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.
三、运用新知，深化理解
1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，则∠APB的度数为_______.

2.边长为2/π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.
3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.
4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.

（1）求图1中的∠MON的度数；
（2）在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；
（3）试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.（直接写出答案）
四、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？

1.布置作业：从教材“习题24.3”中选取.
2.完成练习册





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九年级数学课时教案
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课题
24.4.1弧长和扇形面积
课型
新授
周次

序号
39
教学目标
1经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力.
2通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力.
3通过对弧长和扇形面积公式的推导，理解整体和局部的关系.通过图形的转化，体会转化在数学解题中的妙用.
教学重点
弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积.
教学难点
运用弧长和扇形面积公式计算比较复杂图形的面积.
一、情境导入，初步认识
问题1 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的另一端拴着一只羊，问：
（1）这只羊的最大活动面积是多少？
（2）如果这只羊只能绕过柱子n°角，那么它的最大活动面积是多少？
问题2 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，这就涉及到计算弧长的问题.
如图，根据图中的数据你能计算的长吗？求出弯道的展直长度.


二、思考探究，获取新知
1.探索弧长公式
思考1 你还记得圆的周长的计算公式吗？圆的周长可以看作多少度的圆周角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少?n°的圆心角所对的弧长多少？
小练习：①应用弧长公式求出上述弯道展直的长度.
②已知圆弧的半径为50cm，圆心角为60°，求此圆弧的长度.
2.扇形面积计算公式
如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.

思考2 扇形面积的大小与哪些因素有关？（学生思考并回答）
从扇形的定义可知，扇形的面积大小与扇形的半径和圆心角有关.扇形的半径越长，扇形面积越大；扇形的圆心角越大，扇形面积越大.
思考3若⊙O的半径为R，求圆心角为n°的扇形的面积.
小练习：
①如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的23/36.
②扇形面积是它所在圆的面积的23，这个扇形的圆心角的度数是240°；
③扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是：2S/r.
三、典例精析，掌握新知
例1（教材112页例2）如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径为0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积（精确到0.01m2）..
例2如图，⊙O1半径是⊙O2的直径，C是⊙O1上一点，O1C交⊙O2于点B，若⊙O1的半径等于5cm，AC的长等于⊙O1周长的110，则AB的长是cm.
四、运用新知，深化理解
完成教材第113页练习3个小题.
五、师生互动，课堂小结
通过这堂课的学习，你知道弧长和扇形面积公式吗？你会用这些公式解决实际问题吗？
1.布置作业：从教材“习题24.4”中选取.
2.完成练习册
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课题
第2课时 圆锥的侧面积和全面积
课型
新授
周次

序号
40
教学目标
1通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积.
2通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形，通过制作圆锥，理解圆锥与扇形和圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力.
3通过把圆锥展开和制作圆锥，理解事物之间的联系，激发学生动手的欲望和积极思考的兴趣.
教学重点
计算圆锥的侧面积和全面积.
教学难点
圆锥侧面展开的扇形和底面圆之间有关元素的计算.
一、情境导入，初步认识
多媒体播放:青青草原上的蒙古包，介绍蒙古包资料.
请同学们仔细观察蒙古包图片，说说它整体框架近似地看成是由哪些几何体构成的?你知道怎么计算包围在它外表毛毡的面积吗?
二、思考探究，获取新知
1.圆锥的相关概念
由具体的圆锥模型认识它的侧面展开图，认识圆锥各部分的名称.
把一个圆锥模型沿着母线剪开.让学生观察圆锥的侧面展开图，学生很容易得出:圆锥的侧面展开图是一个扇形；
圆锥的全面展开图是一个扇形和一个圆.
如图，连接圆锥顶点和底面圆上任意点的线段叫做圆锥的母线(图中的线段l)，连接顶点和底面圆心的线段叫圆锥的高（图中的h）.

问题 圆锥有多少条母线？圆锥的母线有什么性质？
通过这个问题使学生理解，在讨论圆锥的侧面展开图时，无论从哪里展开都行.
【结论】圆锥有无数条母线，圆锥的母线长相等.
2.圆锥的侧面积和全面积.
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么把圆锥侧面展开后的扇形的半径为：l，扇形的弧长为：2πr，因此圆锥的侧面积为；1/2·2πr·l=πrl.圆锥的全面积为：πrl+πr2=πr(l+r).
三、典例精析，掌握新知
例1(教材114页例3)蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为12m2，高为3.2m，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（π取3.142，结果取整数）？
解：由题意可知:下部圆柱的底面积为12m2，高为1.8m，
∴上部圆锥的高为：3.2-1.8=1.4（m）.
圆柱的底面圆半径为： (m)≈1.954(m).
∴圆柱的侧面积为：2π×1.954×1.8≈22.10(m2)，
圆锥的母线长为：≈2.404(m).
圆锥侧面展开扇形的弧长为：2π×1.954≈12.28(m).
圆锥的侧面积为：1/2×2.404×12.28≈14.76(m2)
∴搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡：
20×(22.10+14.76)≈738(m2)
例2 如图所示是一纸杯，它的母线AC和EF延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图是扇形OAB，经测量，纸杯上开口圆的直径为6cm，下底圆直径是4cm，母线长EF=8cm，求扇形OAB的圆心角及这个纸杯的表面积（结果保留π）.


四、运用新知，深化理解
1.圆锥底面圆的半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为_____cm2.
2.圆锥底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的全面积为______cm2.
3.已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为______.
4.亮亮想制作一个圆锥模型，模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，请你帮他计算这块铁皮的半径为_____cm.

五、师生互动，课堂小结
圆锥的侧面展开图是什么？如何计算圆锥的侧面积和全面积？你还有什么疑惑？
1.布置作业:从教材“习题24.4”中选取.
2.完成练习册


.

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九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
本章热点专题训练
课型
新授
周次

序号
41
教学目标
1掌握本章重要知识.能灵活运用有关定理，公式解决具体问题.
2通过梳理本章知识，回顾解决问题中所涉及的数形结合思想，分类讨论思想的过程，加深对本章知识的理解.
3在运用本章知识解决具体问题过程中，进一步体会数学与生活的密切联系，增强数学应用意识，感受数学的应用价值，激发学生兴趣.
教学重点
回顾本章知识点，构建知识体系.
教学难点
利用圆的相关知识定理解决具体问题.
一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.垂径定理及推论的应用
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
拓展：①弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
说明：由垂径定理及其推论，可知对于一个圆和一条直线，如果具备下列五个性质中的两个，那么就具备其余三个性质.这五个性质分别为：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧.
特别注意：此处被平分的弦不能是直径，因为在圆中，任意两条直径总是互相平分的.
2.三角形内切圆的半径r，周长l与面积S之间的关系
与三角形各边都相切的圆叫做三角形内切圆.
内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
所以，三角形的内心到三角形三边的距离相等，并且一定在三角形内，三角形有唯一的一个内切圆，而圆有无数个外切三角形.
3.两圆相交作公共弦的问题
两圆相交作公共弦的问题，往往利用圆的轴对称性构造直角三角形来解题，但要注意两圆圆心分布在同侧还是异侧.
三、典例精析，复习新知
例1 如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径.
则下列结论中不正确的是（ ）

例2 如图，在垂径定理的运用中，常涉及弦长a，弦心距d，半径r，以及弓形高h这四者之间的关系，它们的关系是_____.
例3如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3.且△ABC的面积为6,则内切圆的半径r=_____.
例4相交两圆的公共弦长6，两圆半径分别为3和5，求两圆的圆心距.
例5如图，已知△ABC,AC=BC=6,∠C=90°,O是AB的中点，⊙O与AC相切于点D，与BC相切于点E，设⊙O交OB于F，连DF并延长交CB的延长线于G.
（1）∠BFG与∠BGF是否相等?为什么？
（2）求由DG、GE和ED所围成图形的面积（阴影部分）.
例6如图⊙O的半径为1，过点A（2，0）的直线与⊙O相切于点B，交y轴于点C.
（1）求线段AB的长.
（2）求以直线AC为图象的一次函数的解析式.
四、复习训练，巩固提高
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为P，若AP∶PB=1∶4,CD=8,则AB=______.
2.如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的一点，已知∠BAC=80°,那么∠BDC=______.
3.如图，这是一个滚珠轴承的平面示意图，若该滚珠轴承的内、外圆周的半径分别为2和6，则在两圆周之间所放滚珠最大半径为______.这样的滚珠最多能放______颗.
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2，O、H 分别为AB、AC的中点，将△ABC绕点B沿逆时针方向旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中，线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为______.
5.如图，已知直线AB：y=-1/2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，O1为y轴上的点，以O1为圆心，经过A、B两点作圆，⊙O1与x轴交于另一点C，AF切⊙O1于点A，直线BD∥AF交⊙O1于点D，交OA于点E.
（1）求⊙O1的半径；
（2）求点E的坐标.
五、师生互动，课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关圆的知识吗？你学会了哪些与圆相关的证明方法？你还有哪些困惑与疑问？
1.布置作业:从教材“复习题24”中选取.
2.完成练习册

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九年级数学课时教案
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课题
25.1.1 随机事件
课型
新授
周次

序号
42
教学目标
1.理解必然发生的事件，不可能发生的事件，随机事件的概念.
2.了解随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小不同.
3通过本节课的学习，会根据经验判断一个简单事件是属于必然事件，不可能事件还是随机事件.
4感受数学与现实生活的联系，积极参与对数学问题的探讨，利用数学的思维方式解决现实问题.
教学重点
随机事件的特点，会判断现实生活中的随机事件
教学难点
判断现实生活中哪些事件是随机事件.
一、情境导入,初步认识
1.播放一段天气预报，引出一句古语“天有不测风云”.这句话被引申为世界上有很多事情具有偶然性.人们不能事先判断这些事情是否会发生，但是随着人们对事件发生可能性的深入研究，人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循的.所以天气预报也只是对未来天气的预测，但并不是一定是如此.
2.分析说明下列事件能否一定发生.
（1）今天不上课.
（2）明天要下雨.
（3）煮熟的鸭子飞了.
（4）投一枚硬币，正面向上.
二、思考探究，获取新知
探究1 5名同学参加演讲比赛，按抽签方式决定每个人的出场顺序，签筒中有5根形状、大小完全相同的纸签，上面分别标有出场的序号1、2、3、4、5，小军先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机任意地取一根纸签.请考虑以下问题：
（1）抽到的序号有几种可能的结果？
（2）抽到的序号小于6吗？
（3）抽到的序号会是0吗？
（4）抽到的序号会是1吗？
探究2 小伟掷一个质地均匀的正方体骰子，骰子的6个面上分别刻有1到6的点数，请考虑以下问题：掷一次骰子，在骰子向上的一面上：
（1）可能出现哪些点数？
（2）出现的点数大于0吗？
（3）出现的点数会是7吗？
（4）出现的点数会是4吗？
1.从上述探究中可知，有些事件发生与否是可以事先确定的，有些事件发生与否，则是不能事先确定的.
【归纳结论】在一定条件下，有些事件必然会发生（如：标准大气压下，加热到100℃，水沸腾）,这样的事件称为必然事件.相反的，有些事件必然不会发生（如：三角形的内角和为360°）,这样的事件称为不可能事件.
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件（如：探究1中序号为2，探究2中出现点数为4）称为随机事件.
2.请同学们举生活中的实例说明必然事件、不可能事件、随机事件.
3.随机事件发生的可能性有大小.
探究试验：袋子中有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同.
在看不到球的情况下，随机的从袋子中摸出一个球.
（1）是白球还是黑球？
（2）经过多次试验，摸出的黑球和白球哪个次数多？说明了什么问题？
【归纳结论】一般地，随机事件发生的可能性有大小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
三、运用新知，深化理解
1.下列事件中，属必然事件的是（ ）
A.男生的身高一定超过女生
B.方程4x2=0有实数解
C.明天数学考试小明一定得满分
D.两个无理数相加一定是无理数
2.下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？说说你的理由.
(1)掷一枚骰子，6点朝上.
(2)367人中至少有2人出生日期相同.
(3)小明想用长度为10cm,20cm,30cm的小木条，首尾相接，做一个三角形.
(4)小明买福利彩票，中500万奖金.
四、师生互动，课堂小结
本堂课你学到了哪些有关随机事件的知识？你有哪些收获和体会?说说看.

1.布置作业，从教材“习题25.1”中选取.
2.完成练习册










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九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
25.1.2 概率
课型
新授
周次

序号
43
教学目标
1.了解什么是概率，认识概率是反映随机事件发生可能性大小的量.
2.了解频率可以看作为事件发生概率的估计值，了解必然事件和不可能事件的概率.
3.理解概率反映可能性大小的一般规律.
4通过试验得出和理解概率的意义，正确鉴别有限等可能性事件，了解简单事件发生概率的计算方法.
5通过分析探究简单随机事件的概率，培养学生良好的动脑习惯，提高运用数学知识解决实际问题的意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
教学重点
1.正确理解有限等可能性.
2.用概率定义求简单随机事件的概率.
教学难点
正确理解有限等可能性，准确计算随机事件的概率.
一、情境导入，初步认识
请同学讲“守株待兔”的故事.
问：（1）这是个什么事件？
（2） 这个事件发生的可能性有多大？引入课题.
二、思考探究，获取新知
探究
试验1：从分别标有1、2、3、4、5号的5根纸签中随机地抽取一根，回答下列问题：
①抽出的号码有多少种情况？
②抽到1的可能性与抽到2的可能性一样吗？它们的可能性是多少呢？
试验2：投一枚骰子，向上一面的点数有多少种可能？向上一面的点数是1或3的可能性一样吗？是多少呢？
思考（1）概率是从数量上刻画一个随机事件发生的可能性的大小，根据上述两个试验分析讨论，你能给概率下定义吗？
（2）以上两个试验有什么共同特征？
【讨论结果】（1）一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A发生的概率，记作：P（A）.
（2）以上两个试验有两个共同特征：
①一次试验中，可能出现的结果有有限多个.
②一次试验中，各种结果发生的可能性相等.
问：（1）根据上面的理解，你认为问题2中向上的一面为偶数的概率是多少？
（2）像上述试验，可列举的有限等可能事件的概率，可以怎样表达事件的概率？
【讨论结果】（1）“向上一面为偶数”这个事件包括2、4、6三种可能结果，在全部6种可能的结果中所占的比为3/6=1/2.∴P（向上一面为偶数）=1/2.
（2）一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=m/n.
问：（3）请同学们思考P（A）的取值范围是多少？
分析：∵m≥0，n>0,∴0≤m≤n，∴0≤mn≤1，即0≤P（A）≤1.
问：（4）P（A）=1，P（A）=0各表示什么事件呢？
【讨论结果】当A为必然事件时，P（A）=1.
当A为不可能事件时，P(A)=0.
由此可知：事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1；反之，事件发生的可能性越小，它的概率越接近于0，如下图：

三、典例精析，掌握新知
例1掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数为2；
（2）点数为奇数；
（3）点数大于2且小于5.
例2如图所示是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作向右的扇形）.求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向红色或黄色；
（3）指针不指向红色.
分析：①指针停止后所指向的位置是否是有限等可能性事件？为什么？
②指针指向红色有几种可能？
③指针指向红色或黄色是什么意思？
④指针不指向红色等价于什么说法？
例3 教材第133页例3.
分析：第二步怎样走取决于踩在哪部分遇到地雷可能性的大小，因此，问题的关键是分别计算在两个区域的任何一个方格内踩中地雷的概率并比较大小就可以了.
问1：若例3中，小王在游戏开始时踩中的第一个格上出现了标号1，则下一步踩在哪一区域比较安全？
问2：谁能重新设计，通过改换雷的总数，使得下一步踩在A区域合适？并计算说明.
四、运用新知，深化理解
1.“从一布袋中随机摸出一球恰是黑球的概率为1/3”的意思是（ ）
A.摸球三次就一定有一次摸到黑球
B.摸球三次就一定有两次不能摸到黑球
C.如果摸球次数很多，那么平均每摸球三次就有一次摸到黑球
D.布袋中有一个黑球和两个别的颜色的球
2.某班共有41名同学，其中有2名同学习惯用左手写字，其余同学都习惯用右手写字，老师随机请1名同学解答问题，习惯用左手写字的同学被选中的概率是（）
A.0 B.1/41 C.2/41 D.1
3.要在一只口袋中装入若干个形状与大小都完全相同的球，使得从袋中摸到红球的概率为1/5，四位同学分别采用了下列装法，你认为他们中装错的是（ ）
A.口袋中装入10个小球,其中只有两个是红球
B.装入1个红球，1个白球，1个黄球，1个蓝球，1个黑球
C.装入红球5个，白球13个，黑球2个
D.装入红球7个，白球13个，黑球2个，黄球13个
4.从一副未曾启封的扑克牌中取出1张红桃，2张黑桃的牌共3张，洗匀后，从这3张牌中任取1张牌，恰好是黑桃的概率是（ ）
A.1/2 B.1/3 C.2/3 D.1
5.在四张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、等边三角形、等腰梯形，现从中随机抽取1张，是中心对称图形的概率是______.
6.下列事件的概率，哪些能作为等可能性事件的概率求？哪些不能？
（1）抛掷一枚图钉，钉尖朝上.
（2）随意地抛一枚硬币，背面向上与正面向上.
7.摸彩券100张，分别标有1，2，3，……100的号码，只有摸中的号码是7的倍数的彩券才有奖，小明随机地摸出一张，那么他中奖的概率是多少？
8.从一副扑克牌中找出所有红桃的牌共13张，从这13张牌中任意抽取一张，求下列事件的概率.
（1）抽到红桃5；
（2）抽到花牌J、Q、K中的一张；
（3）若规定花牌点为0.5，其余牌按数字记点，抽到点数大于5的可能性有多大？
五、师生互动，课堂小结
本堂课你学到了哪些概率知识？你有什么疑问和困惑？

1.布置作业，从教材“习题25.1”中选取.
2.完成练习册

札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
25.2.1 用列表法求概率
课型
新授
周次

序号
44
教学目标
1初步掌握直接列举法计算一些简单事件的概率的方法.
2通过用列举法求简单事件的概率的学习，使学生在具体情境中分析事件.计算其发生的概率，解决实际问题.
3体会概率在生活实践中的应用，激发学习数学的兴趣，提高分析问题的能力.
教学重点
熟练掌握直接列举法计算简单事件的概率.
正确理解和区分一次试验中包含两步或两个因素的试验.
教学难点
能不重不漏而又简洁地列出所有可能的结果.
一、情境导入，初步认识
1.复习回顾①概率的意义；②对于试验结果是有限等可能的事件的概率的求法.
2.多媒体展示扫雷游戏，引入课题.
二、典例精析，掌握新知
我们在日常生活中，常常会用掷硬币的方式来决定游戏的胜负，下列请同学们思考下面的这种游戏规则是否公平.
例 老师向空中抛掷两枚同样的硬币，如果落地后一反一正，老师赢；如果落地后都只正面时，同学们赢，请问你们觉得这个游戏公平吗？
问：“同时掷两枚硬币”与“先后掷一枚硬币”这两种试验的所有可能一样吗？
三、运用新知，深化理解
1.在“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：20个商标牌中，有5个商标牌背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻，有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是（ ）

2.从甲、乙、丙三人中任意选两名代表参加会议，甲被选中的概率为（ ）

3.在一个布袋里装有红、白、黑三种颜色的玻璃球各一个，它们除颜色外，没有其他区别，先从布袋中取出一个球，放回袋中并搅匀，再从袋中取一个球，则两次取出的恰好都是红球的概率是_____.
4.袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个.求下列事件的概率；
（1）第一次摸到红球，第二次摸到绿球；
（2）两次都摸到相同颜色的小球；
（3）两次摸到的球中有一个绿球和一个红球.
5.在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个9位数：258396417，让参与者猜商品价格，被猜的价格是一个4位数，也就是这个9位数中从左到右连在一起的某4个数字.如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中，任意猜一个，求他猜中该商品的概率.
四、师生互动，课堂小结
1.本堂课你学到了什么知识，有哪些收获？
2.你能不重不漏地列举出事件发生的所有可能吗？
3.你能正确求出P（A）=m/n吗？
1.布置作业：从教材“习题25.2”中选取.
2.完成练习册






札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
第2课时 用树状图法求概率
课型
新授
周次

序号
45
教学目标
1理解并掌握列表法和树状图法求随机事件的概率.并利用它们解决问题，正确认识在什么条件下使用列表法，什么条件下使用树状图法.
2经历用列表法或树状图法求概率的学习，使学生明白在不同情境中分析事件发生的多种可能性，计算其发生的概率，解决实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力.
3通过求概率的数学活动，体验不同的数学问题采用不同的数学方法，但各种方法之间存在一定的内在联系，体会数学在现实生活中应用价值，培养缜密的思维习惯和良好的学习习惯.
教学重点
会用列表法和树状图法求随机事件的概率.
区分什么时候用列表法，什么时候用树状图法求概率
教学难点
列表法是如何列表，树状图的画法.
列表法和树状图的选取方法
一、情境导入，初步认识
播放视频《田忌赛马》，提出问题，引入新课.
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢.已知田忌的马比齐王的马略逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马.田忌屡败后，接受了孙膑的建议，结果两胜一负，赢了比赛.
（1）你知道孙膑给的是怎样的建议吗？
（2）假如在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌能赢的概率是多少呢？
二、思考探究，获取新知
1.用列表法求概率
课本第136页例2.
分析：由于每个骰子有6种可能结果，所以2个骰子出现的可能结果就会有36种.我们用怎样的方法才能比较快地既不重复又不遗漏地求出所有可能的结果呢？以第一个骰子的点数为横坐标，第二个骰子的点数为纵坐标，组成平面直角坐标系第一象限的一部分，列出表格并填写.
由例2可总结得：
当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.
运用列表法求概率的步骤如下：
①列表；②通过表格确定公式中m、n的值；③利用P（A）=m/n计算事件的概率.
思考把“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，还可以使用列表法来做吗？
2.树状图法求概率.
课本第138页例3.
介绍树状图的方法：
第一步：可能产生的结果为A和B，两者出现的可能性相同且不分先后，写在第一行.
第二步：可能产生的结果有C、D和E，三者出现可能性相同且不分先后，从A和B分别画出三个分支，在分支下的第二行分别写上C、D、E.
第三步：可能产生的结果有两个，H和I.两者出现的可能性相同且不分先后，从C、D和E分别画出两个分支，在分支下的第三行分别写上H和I.
（如果有更多的步骤可依上继续.）
第四步：把各种可能的结果对应竖写在下面，就得到了所有可能的结果的总数，从中再找出符合要求的个数，就可以计算概率了.
“树状图”如下：

由树状图可以看出，所有可能的结果共有12种，即：ACH、ACI、ADH、ADI、AEH、AEI、BCH、BCI、BDH、BDI、BEH、BEI，这些结果出现的可能性相等.
P（一个元音）=5/12；P（两个元音）=4/12=1/3，
P（三个元音）=1/12；P（三个辅音）=2/12=1/6.
【归纳结论】画树状图求概率的基本步骤：
①明确试验的几个步骤及顺序.
②画树状图列举试验的所有等可能的结果.
③计数得出m,n的值.
④计算随机事件的概率.
思考 什么时候用“列表法”方便？什么时候用“树状图”法方便？
一般地，当一次试验要涉及两个因素（或两步骤），且可能出现的结果数目较多时，可用“列表法”，当一次试验要涉及三个或更多的因素（或步骤）时，可采用“树状图法”.
三、运用新知，深化理解
在一只不透明的盒子里装有用“贝贝”（B）、“晶晶”（J）、“欢欢”（H）、“迎迎”（Y）和“妮妮”（N）五个福娃的图片制成的五张外形完全相同的卡片.小华设计了四种卡片获奖的方案（每个方案都是前后共抽两次，每次从盒子里抽取一张卡片）.
（1）第一次抽取后放回盒子并混合均匀，先抽到“B”后抽到“J”；
（2）第一次抽取后放回盒子并混合均匀，抽到“B”和“J”（不分先后）；
（3）第一次抽取后不再放回盒子，先抽到“B”后抽到“J”；
（4）第一次抽取后不再放回盒子，抽到“B”和“J”（不分先后）；
问：（1）上述四种方案，抽中卡片的概率依次是_____，_____，_____，_____；
（2）如果让你选择其中的一种方案，你会选择哪种方案？为什么？
四、师生互动，课堂小结
1.为了正确地求出所求的概率，我们要求出各种可能的结果，通常有哪些方法求出各种可能的结果？
2.列表法和画树状图法分别适用于什么样的问题？如何灵活选择方法求事件的概率？
1.布置作业：从教材“习题25.2”中选取.
2.完成练习册
札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
25.3 用频率估计概率
课型
新授
周次

序号
46
教学目标
1理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率.
2经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率.
3通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值.
教学重点
对利用频率估计概率的理解和应用.
教学难点
利用频率估计概率的理解.
一、情境导入，初步认识
问题1400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？
那么300个同学中一定有2个同学的生日相同吗？
有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同.”这话正确吗？
调查全班同学，看看有无2个同学的生日相同.
问题2要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了.但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？
二、思考探究，获取新知
1.利用频率估计概率
试验：把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并记录在下表中：

填表方法：第1组的数据填在第1行；第1，2组的数据之和填在第2行，…，10个组的数据之和填在第10行.
如果在抛掷n次硬币时，出现m次“正面向上”，则随机事件“正面向上”出现的频率为m/n.
请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？
历史上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下：


思考 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率变化趋势有何规律？
在学生讨论的基础上，教师帮助归纳，使学生认识到每次试验中随机事件发生的频率具有不确定性，同时发现随机事件发生的频率也有规律性，在试验次数较少时，“正面向上”的频率起伏较大，而随着试验次数逐渐增加，一般地，频率会趋于稳定，“正面向上”的频率越来越接近0.5，也就是说，在0.5左右摆动的幅度越来越小.我们就用0.5这个常数表示“正面向上”发生的可能性的大小.
【归纳结论】一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率m/n稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P（A）=P.
思考对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）可能小于0吗？可能大于1吗？
答：都不可能，它们的值仍满足0≤P（A）≤1.
2.利用频率估计概率的应用
问题1某林业部门要考查某种幼树在一定条件下的移植成活率，应采用什么具体做法？
幼树移植成活率是实际问题中的一种概率，这种实际问题中的移植试验不属于各种结果可能性相等的类型.因而要考查成活率只能用频率去估计.
在同样的条件下，大量地对这种幼树进行移植，并统计成活情况，计算成活的频率，若随着移植棵树n的越来越大，频率m/n越来越稳定于某个常数.则这个常数就可以作为成活率的近似值.
上述问题可设计如下模拟统计表，补出表中空缺并完成表后填空.


从表中可以发现，幼树移植成活的频率在左右摆动，且随着统计数据的增加，这种规律愈加明显，所以估计幼树移植成活的频率为：.
问题2某水果公司以2元/千克价格购进10000千克的水果，且希望这些水果能获得税前利润5000元，那么在出售这些水果（已去掉损坏的水果）时，每千克大约定价为多少元较合适？
三、运用新知，深化理解
1.小新抛一枚质地均匀的硬币，连续抛三次，硬币落地均正面朝上，如果她第四次抛硬币，那么硬币正面朝上的概率为（ ）

2.一只不透明的袋子中装有4个小球,分别标有数字2、3、4、x,这些球除数字外都相同，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上的数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复试验，试验数据如下表：

解答下列问题：
（1）如果试验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近，试估计出现“和为7”的概率；
（2）根据（1），若x是不等于2、3、4的自然数x，试求x的值.
【教学说明】第1题较简单，可由学生自主完成，第2题稍难，由师生共同完成.
四、师生互动，课堂小结
1.你知道什么时候用频率来估计概率吗？
2.你会用频率估计概率来解决实际问题吗？
1.布置作业：从教材“习题25.3”中选取.
2.完成练习册.
札记




九年级数学课时教案
学科： 数学 年级： 九年级 主备人： 审批：
课题
本章热点专题训练
课型
新授
周次

序号
47
教学目标
1掌握本章重要知识点，会求事件的概率，能用概率的知识解决实际问题.
2通过梳理本章知识，回顾解决生活中的概率问题，培养学生的分析问题和解决问题的能力.
3在用本章知识解决具体问题的过程中，进一步增强数学的应用意识，感受数学的应用价值，激发学习兴趣.
教学重点
本章知识结构梳理及其应用.
教学难点
利用概率知识解决实际问题.
一、知识框图，整体把握

二、释疑解惑，加深理解
1.通过实例，体会随机事件与确定事件的意义，并能估计随机事件发生可能性的大小.
2.结合具体情境了解概率的意义，会用列举法（列表和树状图法）求一些随机事件发生的概率.P（A）=m/n（n是事件发生的所有的结果，m是满足条件的结果.）
3.对于事件发生的结果不是有限个，或每种可能的结果发生的可能性不同的事件，我们可以通过大量重复试验时的频率估计事件发生的概率.
三、典例精析，复习新知
例1一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图的座位上，B、C、D三人随机坐在其他三个座位上，求A与B不相邻的概率.
例2有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，分别被分成4等份，3等份，并在每份内均标有数字，如图所示：
王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘A与B：
②两个转盘停止后，将两个指针所指的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）.若和为0，则王扬获胜；若和不为0，则刘菲获胜.
问：（1）用树状图法求王扬获胜的概率.
（2）你认为这个游戏公平吗？说明理由.
例3一个口袋中放有20个球，其中红球6个，白球和黑球各若干个，每个球除了颜色外没有任何区别.
（1）小王通过大量反复试验（每次取一个球，放回搅匀后再取第二个）发现，取出黑球的频率稳定在1/4左右，请你估计袋中黑球的个数.
（2）若小王取出的第一个球是白球，将它放在桌上，闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取一个球，取出红球的概率是多少？
四、复习训练，巩固提高
1如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停止在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当做指向右边的扇形）.
（1）若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；
（2）小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”.用列表法（或画树状图）求两人“不谋而合”的概率.
五、师生互动，课堂小结
本堂课你对本章内容有一个全面的了解与掌握吗？你有哪些困惑与疑问?说说看.
1.布置作业：从教材“复习题25”中选取.
2.完成练习册
札记