广西省玉林市育才中学2022届高三上学期开学检测考试数学（理）试题 含答案

育才2021年秋高三理科数学开学检测试题

一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知函数，则f′（1）＝（　　）

A． B．1 C． D．﹣1

2．已知函数f（x）＝e2x+1﹣3x，则f′（0）＝（　　）

A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3

3．定积分sinxdx＝（　　）

A．2 B．1 C．0 D．﹣1

4．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈N*}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（　　）

A．{﹣1，0，1，2} B．{0，1，2} C．{1，2} D．{1，2，3}

5．下列比较大小正确的是（　　）

A．1＜0.5﹣2＜0.5﹣3 B．0.5﹣2＜1＜0.5﹣3 

C．0.5﹣3＜1＜0.5﹣2 D．0.5﹣2＜0.5﹣3＜1

6．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元，则一年的总运费与总存储费用和最小为（　　）

A．60万元 B．160万元 C．200万元 D．240万元

7．复数在复平面内对应点所在的象限为（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）

A．60种 B．120种 C．240种 D．480种

9．若f（x）＝，则f[f（log32）]的值为（　　）

A． B． C． D．﹣2

10．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（　　）

A．56 B．65 

C． D．6×5×4×3×2

11．（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）

A．5 B．10 C．15 D．20

12．某物理量的测量结果服从正态分布N（10，σ2），则下列结论中不正确的是（　　）

A．σ越小，该物理量在一次测量中落在（9.9，10.1）内的概率越大 

B．σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 

C．σ越小，该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等 

D．σ越小，该物理量在一次测量中结果落在（9.9，10.2）与落在（10，10.3）的概率相等

二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知幂函数y＝xα的图象过点，则实数α的值是　              　．

14．函数y＝的定义域是　       　．

15．函数y＝sinx，y＝cosx与y轴在第一象限内所围成平面图形的面积为　             　．

16．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数，则DX＝　     　．

三．解答题（共6小题，共70分）

17．（10分）设全集为R，不等式的解集为A，不等式|x﹣4|＜6的解集为B．

（1）求A∪B；

（2）求∁R（A∩B）．

18．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣3ax+2，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为

3x+y+m＝0．

（Ⅰ）求实数a，m的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[1，2]上的最值．

19．（12分）甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？

附：K2＝．

20．（12分）某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求：

（Ⅰ）抽到他能背诵的古诗词的数量的概率分布；

（Ⅱ）他能过关的概率．

21．（12分）设数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ．

（1）求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；

（2）若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求|MN|．

答案

一．选择题（共12小题）

1．D． 2．C． 3．B．  4．C．  5．A．  6．D．  7．A．  8．C．

9．A．  10．A．  11．C．  12．D．

二．填空题（共4小题）

13． ．

14．[﹣1，7]．

15．．

16．1.96．

三．解答题（共6小题）

17．【解答】解：（1）由且x﹣7≠0，

解得﹣3≤x＜7，则A＝{x|﹣3≤x＜7}，

由|x﹣4|＜6，解得﹣2＜x＜10，则B＝{x|﹣2＜x＜10}，

故A∪B＝{x|﹣3≤x＜10}．

（2）根据A＝{x|﹣3≤x＜7}，B＝{x|﹣2＜x＜10}，

可得A∩B＝{x|﹣2＜x＜7}，

则∁R（A∩B）＝{x|x≤﹣2或x≥7}．

18．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝3x2﹣3a，

∵曲线f（x）＝x2﹣3ax+2在x＝1处的切线方程为3x+y+m＝0，

∴，解得a＝2，m＝0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）＝x3﹣6x+2．

f′（x）＝3x2﹣6，令f（x）＝0，得x＝．

∴f（x）在[1，]上单调递减，在（，2]单调递增．

又f（1）＝﹣3，f（）＝2﹣4．f（2）＝8﹣12+2＝﹣2，

∴f（x）在区间[1，2]上的最大值为﹣2，最小值为2﹣4．

19．【解答】解：由题意，可得甲机床、乙机床生产总数均为200件，

因为甲的一级品的频数为150，所以甲的一级品的频率为；

因为乙的一级品的频数为120，所以乙的一级品的频率为；

（2）根据2×2列联表，可得K2＝

＝≈10.256＞6.635．

所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．

20．【解答】解：（Ⅰ）记抽到他会背诵的古诗词的数量为X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，

又，k＝0，1，2，3，

所以，

，

，

，

故X的分布列为：

（Ⅱ）他能过关的概率为．

21．【解答】解：（1）法一：数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，

则a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，

猜想{an}的通项公式为an＝2n+1．

证明如下：（i）当n＝1，2，3时，显然成立，

（ii）假设n＝k时，ak＝2k+1（k∈N+）成立，

当n＝k+1时，ak+1＝3ak﹣4k＝3（k+1）﹣4k＝2k+3＝2（k+1）+1，故n＝k+1时成立，

由（i）（ii）知，an＝2n+1，猜想成立，

所以{an}的通项公式an＝2n+1．

法二：数列{an}满足a1＝3，an+1＝3an﹣4n，

则a2＝3a1﹣4＝5，a3＝3a2﹣4×2＝7，…，

猜想{an}的通项公式为an＝2n+1．

证明：设an+1+α（n+1）+β＝3（an+αn+β），

可得an+1＝3an+2αn+2β﹣α，

∴，解得，

∴an+1﹣2（n+1）﹣1＝3（an﹣2n﹣1），（不能说明{an﹣2n﹣1}是等比数列）

∵a1＝3，a1﹣2×1﹣1＝0，并且a2﹣2（2+1）﹣1＝0，所以an＝2n+1恒成立．

所以an＝2n+1．

（2）令bn＝2nan＝（2n+1）•2n，则数列{2nan}的前n项和

Sn＝3×21+5×22+…+（2n+1）2n，…①

两边同乘2得，2Sn＝3×22+5×23+…+（2n+1）2n+1，…②

①﹣②得，﹣Sn＝3×2+2×22+…+2×2n﹣（2n+1）2n+1

＝6+﹣（2n+1）2n+1，

所以Sn＝（2n﹣1）2n+1+2．

22．【解答】解：（1）因为曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝8sinθ．

所以：ρ2cos2θ＝8ρsinθ，

即：x2＝8y，

所以曲线C表示焦点坐标为（0，2），对称轴为y轴的抛物线．

（2）直线l过抛物线焦点坐标（0，2），且参数方程为：（t为参数），

代入曲线C的直角坐标方程，得：，

所以，t1t2＝﹣20，

所以|MN|＝|t1﹣t2|＝．