重庆市西南大学附属中学校2022届高三上学期第二次月考数学试题 含答案

西南大学附属中学校高2022届第二次月考

数 学 试 题

（满分：150分　　考试时间：120分钟）

2021年10月

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。

2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。

3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．

1．  如图，设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）

 A．  B．

 C． 　 D．

2．  已知，，则的值是（    ）

 A． B． C． D．1

3．  若已知直线与圆交于两点，则“”是“弦所对圆心角为”的（    ）

 A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 

 C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

4．  命题“且”的否定是（    ）

 A．且   B．或

 C．且   D．或

5．  将排成一列，要求在排列中顺序为“”或“”（可以不相邻），则这样的排列数有（     ）

 A．24种     B．40种   C．60种  D．80种

6．  在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（    ）

 A． B． C． D．1

7．  已知，则函数有两个零点的概率为（    ）

 A． B． C． D．

8．  已知，则的大小关系为（    ）

 A．   B． C． D．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．  动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是（    ）

 A．刀片电池的安全性更高，价格优势更突出

 B．三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低

 C．对于这7项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池

 D．磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好

10．  若，则下列结论中正确的是（    ）

 A．  B．

 C． D．

11．  已知曲线（其中为参数）（    ）

 A．若m > n > 0，则C是椭圆，其长轴长为

 B．若mn < 0，则C是双曲线，其渐近线方程为

 C．曲线C可表示的所有曲线类型为椭圆、圆、双曲线

 D．若，则曲线C的离心率的取值范围为

12．  已知边长为的菱形中，，将沿翻折，下列说法正确的是（    ）

 A．在翻折的过程中，直线,可能相互垂直

 B．在翻折的过程中，三棱锥体积最大值为

 C．在翻折的过程中，三棱锥表面积最大时，其内切球表面积为

 D．在翻折的过程中，点在面上的投影为，为棱上的一个动点，的最

小值为

三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．

13．  是虚数单位，已知复数，则________．

14．  已知数列的前项和为，且满足，则数列的通项公式         ．

15．  函数的单调增区间为        ；若对，均有成立，则的取值范围是          ．

16．  已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于

两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，圆、的面积为、，则的取值范围是          ．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．  如图，在直三棱柱中，，，为的中点，在上且．

18．  已知的内角的对应边分别为，，，．

19．  从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，己知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．

20．  已知函数．

21．  已知数列的前n项和为，且，．

22．  已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点．

西南大学附属中学2022级 第二次月考数学 参考答案

【答案】ABADBCAC,AB,ABC,BD,BC

【答案】13. ； 14.； 15.或者，；  16.

17.【详解】（1）直三棱柱中，，为的中点，在上且．

，平面，平面，

，又，平面，-------------------------------------------------------------------(3)

平面，平面平面．----------------------------------------------------------------(5)

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，4，，，3，，，2，，

，，，，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得---------------------------------------------------------------------(8)

向量

则：--------------------------------------------------------------------------(9)

设直线与平面所成角为，.----------------------------------------------------------(10)

法二：等体积法；----------------------------------------------------------------(7)

；---------------------------------------------------------------------------(9)

得：--------------------------------------------------------------------------(10)

18.【详解】（1）由正弦定理得：，

即，--------------------------------------------------------------------------(2)

在中，，，所以，----------------------------------------------------------------(4)

因为，所以.--------------------------------------------------------------------(5)

（2）由余弦定理可得，即

整理得：，解得或（舍去）---------------------------------------------------------(7)

，，解得，---------------------------------------------------------------------(9)

在中，，所以，-----------------------------------------------------------------(11)

，即是的中点，所以的面积.

-----------------------------------------------------------------------------(12)

19.【详解】解：(1)第六组的频率为，

∴第七组的频率为．--------------------------------------------------------------(3)

(2)由直方图得，身高在第一组的频率为，身高在第二组的频率为，

身高在第三组的频率为，身高在第四组的频率为，

由于，，

设这所学校的800名男生的身高中位数为m，则，

由得中位数cm，-----------------------------------------------------------------(5)

．

得平均数为174.1cm---------------------------------------------------------------(7)

(3)第六组的抽取人数为4，设所抽取的人为a，b，c，d，

第八组的抽取人数为，设所抽取的人为A，B，--------------------------------------------(9)

则从中随机抽取两名男生有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况，因事件发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组，所以事件E包含的基本事件为ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以．                                              (12)

20.【详解】解：(1)由题意，得点P坐标为

又，解得

又点P在直线上，，解得.-------------------------------------------------------------(4)

(2)函数，

，令分子----------------------------------------------------------------------(5)

易知，取值正负与取值正负一致

①当时，，，得：当时，，单调递增；

当时，，单调递减；--------------------------------------------------------------(7)

②当时，为开口向下的二次函数，，令，得，

，得：当时，，单调递增；

当时，，单调递减；--------------------------------------------------------------(9)

③当时，为开口向上的二次函数，正负号不确定

当时，，方程有两个不等的正根，．则：

当及时，，单调递增；

当时， ；单调递减；                                                   (11)

当时，恒成立，得：当时，，单调递增；                     (12)

综上：当时：函数在上单增，上单减

当时：函数在上单增，上单减

当时：函数在及上单增，在上单减

当时：函数在上单增

21.【详解】解（1）法1：当时，又，则

由知，当时，   

相减得，即，故是等差数列，

由，则.------------------------------------------------------------------------(5)

法2：由得（），

即，则，故是等差数列，

则，即，

（）--------------------------------------------------------------------------(4)

即.当时，，满足上式，所以---------------------------------------------------------(5)

（2）解得：--------------------------------------------------------------------(6)

由于--------------------------------------------------------------------------(9)

则                                                    (10)

故

                                                                      (12)

22.【详解】解：（1）因为点是椭圆短轴的一个四等分点，

所以，又，且，则，所以，，

所以椭圆的标准方程为------------------------------------------------------------(4)

（2）设，直线MN的方程为，

则直线BM的方程为，与联立，

得：--------------------------------------------------------------------------(6)

由，且点在上，得，

又，即，代入上式得--------------------------------------------------------------(8)

，即点，同理，

则                                 (10)

将代入上式，

得                                      (12)

所以时，，恒成立.