2020-2021学年17.3 一元二次方程的根的判别式练习

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17.3一元二次方程根的判别式同步练习

沪科版版初中数学八年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共11小题，共33.0分）

1. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是   

A. 且 B.  C. 且 D.

2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是   

A.  B. 且
C.  D. 且

3. 直线不经过第二象限，则关于的方程的实数解有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个或个

4. 定义新运算“”对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法，减法乘法运算，例如若为实数是关于的方程，则它的根的情况为   

A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根

5. 定义一种新运算“”，规定：对于任意实数，，，如，若为实数是关于的方程，则它的根的情况为   

A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根

6. 定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“负一”方程，已知是“负一”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中错误的是   

A.  B.  C.  D.

7. 如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是    

A.  B. 且
C.  D. 且

8. 若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则的值为    

A.  B.  C.  D.

9. 关于的方程有两个相等的实数根，则的值为   

A.  B.  C.  D.

10. 不解方程，判断方程的根的情况是 

A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 以上说法都不正确

11. 定义；如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“蜻蜓”方程．已知关于的方程是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论中正确的是   

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

12. 若关于的一元二次方程有实数根，则的最大整数值是          ．
13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为      ．
14. 已知实数满足，则的值为          ．
15. 若关于的方程有实数根，则的取值范围是          ．
16. 若，且关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是          ．
17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是          ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 已知关于的一元二次方程．

当时，判断方程根的情况；

若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的，的值，并求此时方程的根．






 

19. 已知关于的方程．

求证：无论取何值，这个方程总有实数根；

若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．






 

20. 已知关于的一元二次方程，为实数．

求证：方程有两个不相等的实数根．

为何值时，方程有整数解直接写出个，不需说明理由






 

21. 已知关于的一元二次方程．

求证：方程总有两个不相等的实数根．

若等腰的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为求的周长．






 

22. 已知关于的方程为，问当取什么值时：

方程有两个不相等的实数根

方程有两个相等的实数根

方程没有实数根．






 

23. 已知关于的一元二次方程有两个实数根．

求的取值范围

在的条件下，若为最大的正整数，求此时方程的根．






 

24. 定义新运算：对于任意实数、，都有，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算例如．
    根据上述知识解决问题：
    ，求
    若的值小于，请判断方程的根的情况．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知关于的方程，其中，，是的三边长．

若是方程的一个根，则是        

若方程有两个相等的实数根，则是       

若是等边三角形，试求方程的根．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】略
 

2.【答案】
 

【解析】关于的一元二次方程 有实数根，
 ，
即，
解得，
又，
的取值范围是且
故选D．
 

3.【答案】
 

【解析】解：直线不经过第二象限，

当时，关于的方程是一元一次方程，解为．

当时，关于的方程是一元二次方程，

，

方程有两个不相等的实数根．
故选D．

4.【答案】
 

【解析】由题意得，整理得 
，方程有两个不相等的实数根故选C．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由新定义得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选C．
 

6.【答案】
 

【解析】是“负一”方程，且有两个相等的实数根， 
，且．
由可得，
将代入得，则，
．
故选D．
 

7.【答案】
 

【解析】略
 

8.【答案】
 

【解析】联立整理得，

直线与函数的图象有且只有一个公共点，

，
，
故选B．

9.【答案】
 

【解析】略
 

10.【答案】
 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，由此即可得出结论．

【详解】

解：在方程中，，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．

【点睛】

本题考查了根的判别式，熟练掌握“当时方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

11.【答案】
 

【解析】

【分析】

由条件可知，再根据方程根的判别式得到到，整理可得出结论．

【详解】

解：由条件可知，

所以，

又因为方程有两个相等的实数根，

所以，即，

所以，

整理可得，

所以，

所以，

故选：．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程判别式与根的情况的判定，由条件到到知和是解题的关键．

12.【答案】 
 

【解析】根据题意，得，解得，则的最大整数值为．
 

13.【答案】
 

【解析】略
略
 

14.【答案】解：设，则原方程化为，即，解得， ．
当时，，解得 ．
当时，，即，此方程没有实数解．
所以的值为．
故答案为．
 

【解析】
 

15.【答案】
 

【解析】略
 

16.【答案】且
 

【解析】略
 

17.【答案】且
 

【解析】略
 

18.【答案】解：由，．

，
，

方程有两个不相等的实数根．

方程有两个相等的实数根，

．

可取，，则原方程可变为，

解得本题答案不唯一．

【解析】略
 

19.【答案】证明：因为，

所以无沦取何值，这个方程总有实数根．

解：若为等腰三角形的底边长，则，为等腰三角形的两腰长，由题意知方程有两个相等的实数根，

所以，即．

所以方程为，

解得   

即，不符合三角形三边关系，故舍去．   

若为等腰三角形的一腰长，由题意知是方程的一个根，

所以 ，

解得．

所以方程为，

解得，符合题意，

所以的周长为．

【解析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．也考查了三角形三边的关系．

先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况；

分类讨论：当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长；当或时，把代入方程解出，再解此时的一元二次方程，然后根据三角形三边的关系进行判断．

20.【答案】解：证明：化简方程，得．
，
为实数，，
，即．
方程有两个不相等的实数根．
当为时，方程有整数解答案不唯一
 

【解析】见答案
 

21.【答案】解：证明：，
方程总有两个不相等的实数根．
，
，．
当，解得，三角形三边分别为，，，
则的周长为
当时，三角形三边分别为，，，
则的周长为．
综上所述，的周长为或．
 

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：，，，
．

方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得．

方程有两个相等的实数根，
，即，
解得．

方程没有实数根，
，即，
解得．

【解析】见答案
 

23.【答案】解：由题意知且

且 

由题意知则方程为，

解得

【解析】略
 

24.【答案】解：，
，即，
解得，．
由题意可知，
由的值小于，得，
解得．
在方程中，
．
，，
，
故方程有两个不相等的实数根．
 

【解析】见答案．
 

25.【答案】解：等腰三角形

直角三角形

是等边三角形，

，

原方程为，

，即，

或，

，．

【解析】略