山东省潍坊第四中学2022届高三上学期收心考试数学试题 含答案

  潍坊四中高三收心考试数学试题    

一、单项选择题：

1．已知复数z＝(i为虚数单位)，那么z的共轭复数为(　　)

A.＋i　　　　　  B.－i         C.＋i          D.－i

2．函数的定义域为(　　)

A．   B．  C．  D．

3.设函数，则(　　)

A．11    B．13   C．15    D．9

4．若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

5．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是(　　)

A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）

6．已知函数f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．[4,8)    B．(1，＋∞)    C．(4,8) D．(1,8)

7. 长方体中，，、与底面所成的角分别为、，则长方体的外接球的体积为     (　　)

A.          B.          C.         D.

8．已知定义在R上的函数满足为偶函数，若在(0，3)内单调递减．则下面结论正确的是(　　)

A．   B．

C．   D．

二、多项选择题：

9. 若，则可以是  (　　)

A.102             B. 104               C.106             D. 108

10.在四边形中，∥，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题错误的是     (　　)

A．平面平面         B．平面平面

C．平面平面         D．平面平面

11．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ）

A. 两组样本数据的样本平均数相同    B. 两组样本数据的样本中位数相同

C. 两组样本数据的样本标准差相同    D. 两组样数据的样本极差相同

12．设函数，已知在有且仅有3个零点，对于下列4个说法正确的是(　　)

A．在上存在，满足    B．在只有1个最大值点

C．在单调递增                        D．的取值范围是

三、填空题：

13．已知函数是偶函数，则______.

14．如图，正三角形ABC三个顶点都在半径为的球面上，球心O到平面ABC的距离为，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是         ．

15．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为________．

16．中，D为AC上的一点，满足．若P为BD上的一点，满足，则mn的最大值为_______；的最小值为_________．

四、解答题：

17．(10分) 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附：

 18.（12分）已知二次函数f(x)满足f(x+1)- f(x)=2x.且f(0)=1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈[-1,1]时，函数y=f(x)的图象恒在函数y=2x+m的图象的上方，求实数m的取值范围．

19．(12分)设函数的图象关于直线对称，其中为常数，且．

(1)求函数的解析式；     

(2)若，求的值．

20．(12分)实验中学体育节进行定点投篮游戏，已知参加游戏的甲、乙两人，他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．

（1）求甲同学至少有4次投中的概率；

（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．

21（12分）如图，在平面四边形ABCD中，．

(1)若，求△ABC的面积；    (2)若，求AC．

22. （12分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.

（1）证明：；

（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

潍坊四中高三收心考试    

 数学参考答案及评分标准

一、选择题：每小题5分，满分40分．

1．B 2．D 3．A 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 

二、多项选择题：每小题5分，对而不全得2分，满分20分．

9. BD    10．ABD  11． CD  12．AD

三、填空题：每小题5分，满分20分．

13．1       14．     15.  ＋1     16． (本题第一空2分，第二空3分)

四、解答题：满分70分．

17.（10分）

（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,

乙机床生产的产品中的一级品的频率为.

（2）,

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18.（12分）

(1)设f(x)＝ax2＋bx＋1,则f(x+1)- f(x)=2x,得2ax+a+b=2x.

所以2a=2且a+b=0,解得a=1,b=－1,因此f(x)的解析式为f(x)=x2－x+1.

(2)因为当x∈[-1,1]时，y= f(x)的图象恒在y=2x+m的图上方，所以在[－1,1]上，x2－x+1>2x+m恒成立；即x2－3x+1>m在区间[－1,1]恒成. 所以令g(x)=x2－3x+1=(x－)2－,因为g(x)在[－1,1]上的最小值为g(1)= －1,所以m<－1. 故实数m的取值范围为(－∞，1)．

19.（12分）

（1）

.

图象关于直线对称，

.令符合要求，

（2）

，

 ，

 ，

.

20.解：（12分）

的分布表为

的数学期望

．

21（12分）：（1），

由余弦定理可得，

（舍去），

.

（2）设

在中，，

在， 

由，  又，

.

22.（12分）

（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD

因为平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，

因此AO⊥平面BCD，

因为平面BCD，所以AO⊥CD

(2)作EF⊥BD于F, 作FM⊥BC于M,连FM

因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD

所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC

因为FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME

则为二面角E-BC-D的平面角,

因为,为正三角形,所以为直角三角形

因为,

从而EF=FM=

平面BCD,

所以