九年级下册第24章 圆24.6 正多边形与圆24.6.1 正多边形与圆测试题

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24.6正多边形与圆同步练习

沪科版初中数学九年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 半径为的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，，，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

2. 一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线上，且有一个公共顶点，则的度数是

A.  B.  C.  D.

3. 如图，点是正六边形内部一个动点，，则点到这个正六边形六条边的距离之和为．

A.
B.
C.
D.

4. 下列说法中正确的是
   的算术平方根是；估计的值应该在和之间；正五边形的内角和是；函数中自变量的取值范围是．

A.  B.  C.  D.

5. 若一个正六边形的周长为，则该正六边形的边心距为

A.  B.  C.  D.

6. 若一个正六边形的边心距为，则该正六边形的周长为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，等边三角形和正方形都内接于，则：

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

8. 如图，是中心为原点，顶点，在轴上，半径为的正六边形，则顶点的坐标为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，正六边形内接于，过点作边于点，若的半径为，则边心距的长为

A.
B.
C.
D.

10. 正三角形外接圆的半径为，则三角形边长为     

A.  B.  C.  D.

11. 如图，已知的内接六边形的边心距，则该圆的内接正三角形的面积为

A.
B.
C.
D.

12. 第五套人民币一元硬币的直径约为，则用它能完全覆盖住的正方形的边长最大不能超过

A.  B.  C.  D.  

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则______．
     

14. 如图，边长为的正方形中心与半径为的的圆心重合，、分别是、的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积是______结果保留
     

15. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度，则螺帽边长______．
    
     

16. 如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则________．
    
     

17. 如图，在边长为的正六边形中，将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是          

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图保留作图痕迹，不写作法．
    在图中画出正六边形边的中点；
    在图的正六边形边上找一点，使得．

19. 如图，在等边三角形中．
     

请用尺规作图画出三角形的外接圆保留作图痕迹

若求的半径．






 

20. 已知正五边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图保留画图痕迹．
    在图中，画一个菱形；
    在图中，画出正五边形的中心点．

21. 已知：如图，是的内接正三角形，点为劣弧上一动点．
    求证：当点为的中点时，，，三点共线；
    求证：；
    已知：如图，四边形是的内接正方形，点为劣弧上一动点．求证：．

22. 如图，在正五边形中，点、是边、上的两点，且．

求证：

求的度数．






 

23. 如图，正五边形内接于，为上的一点点不与点，重合，求的余角的度数．
    
     

24. 如图，在网格纸中，、都是格点，以为圆心，为半径作圆．用无刻度的直尺完成以下画图：不写画法
    
    在图中画的一个内接正六边形；
    在图中画的一个内接正八边形．
    
    
    
    
    
    
     
25. 请用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹用虚线表示画图过程，实线表示画图结果

如图，是由正六边形与正组成的图形，在边上找一点，连接，使平分；

如图，、分别切于点、，点是上一点，在上找一点，连接，使平分．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
根据三角函数即可求解．
【解答】
解：设圆的半径为，
则正三角形的边心距为
正方形的边心距为，
正六边形的边心距为
，
，
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：由题意：，，，，
，
，
故选：．
利用正多边形的性质求出，，即可解决问题；
本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，解决本题的关键是理解点到这个正六边形六条边的距离之和即为当点为正六边形的中心到六条边的距离之和．
根据题意可得点到这个正六边形六条边的距离之和，即为当点为正六边形的中心时，点到六条边的距离之和，即可解答．
【解答】
解：如图，当点是正六边形的中心时，
连接、，过点作于点，延长交于点，
则点到这个正六边形六条边的距离之和即为的长．

根据正六边形的性质可知：
是等边三角形，
，
，
，，
，
．
点到这个正六边形六条边的距离之和为．
故选：．  

4.【答案】
 

【解析】解：的算术平方根是正确；
估计的值应该在和之间，原式整数部分是，故正确；
正五边形的内角和是，正确；
函数中自变量的取值范围是错误，且，
故选：．
根据算术平方根的定义求解即可判断．
求出整数部分，可得结论．
利用多边形内角和公式求解可得结论．
根据二次根式的被开方数是非负数，分母不能为，判断即可．
本题考查正多边形与圆，算术平方根，估算无理数的大小，函数自变量的取值范围等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

5.【答案】
 

【解析】解：连接，作，得到，
圆内接正六边形的周长为，
，则，，
因而．
正六边形的边心距是．
故选：．
首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
此题主要考查了正多边形和圆，正确掌握正六边形的性质是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：如图，在中，，，

．
这个正六边形的周长．
故选：．
首先设正六边形的中心是，一边是，过作与，在直角中，根据三角函数即可求得边长，从而求出周长．
本题考查了正多边形的性质，在本题中，注意正六边形的边长等于半径的特点，进行解题．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆、垂径定理、等边三角形的性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握垂径定理、等边三角形和正方形的性质是解题的关键．
连接、、，过作于，由垂径定理得出，证出是等腰直角三角形，，，得出，，则，进而得出答案．
【解答】
解：连接、、，过作于，如图所示：

则，
正方形和等边三角形都内接于，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，
故选：．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，坐标与图形性质，解直角三角形，难度适中．得出，是解题的关键．
连接，由于正六边形的中心角是，则是等边三角形，，设交轴于，那么，然后解，求出与的值，进而得到点的坐标．
【解答】
解：连接．

，，
是等边三角形，
．
设交轴于，则．
在中，
，，
，．

故选：．  

9.【答案】
 

【解析】解：如图，连接、．

六边形是正六边形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
故选：．
连接、先证明是等边三角形，求出、，再根据勾股定理求出即可．
本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正多边形与圆的有关计算．根据正三角形的性质，利用边心距、半径、正三角形一边的一半构成直角三角形，由勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，正三角形的外接半径是，

作于，则，
，
，
，
即三角形边长为．
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．
连接、，过作于，证出是等边三角形，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】
解：如图所示，连接、，过作于，

多边形是正六边形，
，
，
是等边三角形，
，
，，
在中，，
，
．
是的内接正三角形，
，
，，
，
该圆的内接正三角形的面积，
故选：．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，根据题意画出图形，掌握正多边形和圆的关系，得到为等腰直角三角形是解题的关键．根据正方形性质得到为等腰直角三角形，根据正方形和圆的关系得到的长度，根据等腰直角三角形的性质求出的长度．
【解答】
解：如图所示，

，
．
四边形为正方形，
，
为等腰直角三角形，
．
故选C．  

13.【答案】
 

【解析】解：连接，
是内接正六边形的一边，
，
是内接正十边形的一边，
，
，
；
故答案为：．
根据中心角的度数边数，列式计算分别求出，的度数，则，则边数中心角．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的面积的计算，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
延长，交于，，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：延长，交于，，

则图中阴影部分的面积
．
故答案为：．  

15.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，过点作于，
由正六边形，得
，，
．
由，得．
，即，
解得，
故答案为：．
根据正六边形的性质，可得，，根据等腰三角形的性质，可得的长，根据锐角三角函数的余弦，可得答案．
本题考查了正多边形和圆，利用了正六边形的性质得出等腰三角形是解题的关键，也考查了解直角三角形．
 

16.【答案】．
 

【解析】本题考查了正多边形和圆，中心角等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键注意把圆周等分，然后顺次连接各个分点就会得到正多边形．

连接，先求得的度数，然后利用除以度数，根据所得的结果进行分析即可得．

解：连接，
是的内接正六边形的一边，

，

是的内接正十边形的一边，

，

，

即，，

故答案为．

17.【答案】
 

【解析】解：在边长为的正六边形中，，，，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积，
将四边形绕顶点顺时针旋转到四边形处，

图中阴影部分的面积，
故答案为：．
根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，连接，交于点，
如图，点即为所求．

 

【解析】如图中，连接，交于点，延长交于点，作直线交于点．
延长交的延长线于，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：如图所示：即为所求．


如上图
连结，作于点，则
是等边三角形，
，，
在中，设，
则





故的半径为．
 

【解析】此题主要考查等边三角形的性质及三角形外接圆的作法和勾股定理及含角的直角三角形的性质
直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；
利用等边三角形的性质结合勾股定理得出答案．
 

20.【答案】解：如解图，四边形即为所求；

如解图，点即为所求．
 

【解析】连接，交于点，四边形即为所求．
作出五边形的两条对称轴，两条对称轴的交点即为所求．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质，正多边形与圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：是的内接正三角形．
，
又点为的中点，
，
，
，
为的直径，
即、、三点共线．
延长至，使，连接，如图，
、、、四点共圆，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
又，，
，
、为等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
．
过点作交于，如图，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
 

【解析】根据是的内接正三角形．得到，由点为的中点，得到，再求得，可知为的直径，故可得，，三点共线；
延长至，使，连接，证明是等边三角形，利用，，，得到≌，即可证得结论；
过点作交于，证明≌，可得出．
本题主要考查了全等三角形判定和性质，正多边形和圆的有关知识，熟练掌握全等三角形判定和性质等相关知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
 

22.【答案】解：证明：多边形是正五边形，

，，

在和中，

，

．

多边形是正五边形，

，

，
，

是的外角，

．

【解析】见答案
 

23.【答案】解：如图，连接，．

五边形是正五边形，
，
，
的余角的度数为．
 

【解析】连接，，先由正五边形的性质求出的度数，再根据圆周角定理求出的度数，即可解决问题．
本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：如图所示，

如图，正六边形即为所求；
如图，正八边形即为所求．
 

【解析】本题考查了作图应用与设计作图、正多边形和圆，解决本题的关键是准确画图．
在图中画的一个内接正六边形即可；
在图中画的一个内接正八边形即可．
 

25.【答案】解：如图中，线段即为所求作；
如图中，线段即为所求作．

 

【解析】本题考查尺规作图与一般作图作一个角的平分线，角平分线的性质，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图中，连接，交于点，连接，延长交于点，线段即为所求作．
如图中，连接交于，作线段即可．