初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理达标测试

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17.1勾股定理同步练习

人教版初中数学八年级下册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是

A.  B.  C.  D.

2. 如图，点，都在格点上，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

3. 等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当，时，则阴影部分的面积为

A.
B.
C.
D.

5. 利用勾股定理，可以作出长为无理数的线段．如图，在数轴上找到点，使，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，以长为半径作弧，弧与数轴的交点为，那么点表示的无理数是

A.  B.  C.  D.

6. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值是

A.
B.
C.
D.

7. 如图是一圆柱玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，若是的高，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为、、、，则它们之间的关系为

A.  B.
C.  D. 以上都不对

10. 如图，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上．若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，则三角板最长边的长是
     

A.  B.  C.  D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的横坐标介于

A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间

12. 如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线、交于点若，，则______．
    
     

14. 如图，在长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则      ．
    
     

15. 如图所示的网格是正方形网格，则______点，，是网格线交点．
     

16. 已知在中，，，边上的高，则边的长为______．
17. 如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．是上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上．若，则的长是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如下图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求：

线段和的长度

点和点的坐标．

19. 在正方形网格中，四边形的每个顶点都在格点上，已知小正方形的边长为，求这个四边形的周长和面积．
    
     

20. 如图，直线与直线交于点，为原点，、、、都是坐标轴上的点，的表达式为，的表达式为．
    若点坐标为，求点的坐标；
    连接，在的条件下，求的面积；
    连接，若是以为腰的等腰三角形，直接写出的值．

21. 在中，平分交于点，在上取一点，使得．
    求证：；
    若，，，求的长．

22. 在小学，我们已经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是如图，长方形中，，，为边上一动点，从点出发，以向终点运动，同时动点从点出发，以向终点运动，运动的时间为．
     

当时，

线段的长为          ；

当平分时，求的值；

若，且是以为腰的等腰三角形，求的值．






 

23. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图或图摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图或图证明勾股定理其中
    求证：．

24. 如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得，，，，又已知求这块土地的面积．

25. 如图：在中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒．
    
     

当_______时，平分的面积．

当为等腰三角形时，求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理的证明，证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【解答】
解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：

故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：由图可得，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理可以得到的长，然后由图可知，然后代入数据计算即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答．
 

3.【答案】
 

【解析】解：一个等腰直角三角形的直角边长为，
该直角三角形的斜边长是：．
故选：．
根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出即可．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用等腰直角三角形的性质是解题关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理得，，
则阴影部分的面积

，
故选：．
根据勾股定理得到，根据扇形面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、扇形面积计算，掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理得，，
点表示的无理数是．
故选：．
利用勾股定理列式求出判断即可．
本题考查了勾股定理，熟记定理并求出的长是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、且，
由题意可知：
，，，
因为，即

，
所以，
的值是．
故选：．
根据正方形的面积和勾股定理即可求解．
本题考查了正方形的面积、勾股定理，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如下图所示：
底面半径为半径为，高为，
吸管露在杯口外的长度最少为：厘米．
故选：．
吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由勾股定理得：，
，
，
，
，
故选：．
根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：如图，，，
，
．
故选：．
根据勾股定理和正方形的面积公式可以得到．
本题考查了勾股定理．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

10.【答案】
 

【解析】解：过点作，

，
在直角三角形中，
，
，
又三角板是有角的三角板，
，
，
，
故选：．
过点作，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半，可求出有角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
此题考查的知识点是含角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
 

11.【答案】
 

【解析】解：点，的坐标分别为，，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
点的坐标为，
，
，
即点的横坐标介于和之间，
故选：．
求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可．
本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理、实数与数轴．找出是解题的关键．
点在以为圆心，长为半径的圆上，所以在直角中，根据勾股定理求得圆的半径，然后由实数与数轴的关系可以求得的值．
【解答】
解：如图，点在以为圆心，长为半径的圆上．

在直角中，，，则根据勾股定理知，
，
．
故选A．  

13.【答案】
 

【解析】解：，
，
由勾股定理得，，
，
，
，，
．
故答案为：．
根据垂直的定义和勾股定理解答即可．
本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】略
 

15.【答案】
 

【解析】解：延长交格点于，连接，
则，，
，
，
，
故答案为：．
延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，求得，于是得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．

【解答】

解：如图，锐角中，，，边上高，

在中，，由勾股定理得：
，
，
在中，，由勾股定理得
，
，
的长为；
钝角中，，，边上高，

在中，，由勾股定理得：
，
，
在中，，由勾股定理得：
，
，
的长为．
故答案为或．

17.【答案】
 

【解析】解：将矩形纸片对折一次，使边与重合，得到折痕，
，，．
将沿折叠，使点的对应点落在上．
．
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理可得．
故答案为：．
在中，求出，再证明，根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，勾股定理，含度角的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．
 

18.【答案】依题意可知，折痕是四边形的对称轴，

在中，，，

．

，，．

在中，．

又，，

，．

综上，点坐标为，点坐标为．

【解析】略
 

19.【答案】解：，，，，
这个四边形的周长；
这个四边形的面积．
 

【解析】根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理计算各边长．
 

20.【答案】解：把代入，得到，
直线，
令，得到，
．

由，解得，
，
由题意，
．

由题意，，
，
当时，，
，可得，
．
当时，，
解得或，
综上所述，满足条件的的值为或或．
 

【解析】利用待定系数法即可解决问题．
构建方程组求出点的坐标，根据计算即可．
由题意，，可得，分两种情形当时．当时，分别求解即可．
本题考查勾股定理，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键思想学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
 

21.【答案】
证明：平分，
，
，
，
，
；
解法一：，，
，．
，
又，
．
．
又，，
≌．
．
，
，
在中，由勾股定理得：．
解法二：，，
，．
，
在中，，
，，
．
．
在中，由勾股定理得：．
 

【解析】根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定即可求解；
解法一：根据可证≌，根据全等三角形的性质和勾股定理即可求解．
解法二：根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可证，然后根据勾股定理求解即可．
本题考查了勾股定理，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，关键是证明．
 

22.【答案】解：；

，

，

平分，

，

，

，

，

；
，
当时，，

，

解得：；

当时，，

，

解得：．

的值为或；

【解析】

【分析】
此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想的应用．

根据勾股定理，求得的长；

由平行与角平分线得到，由等角对等边可得，列式计算即可；

分两种情况讨论：当时，当时，分别用勾股定理列式计算即可．

【解答】
解：运动时间为时．
，
，
；
故答案为．
见答案；
见答案；
 

23.【答案】解：利用图进行证明：
证明：，点，，在一条直线上，，则，
，
又，
，
．

利用图进行证明：
证明：如图，连结，过点作边上的高，则，．
又，
，
．
 

【解析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理即可得到勾股定理表达式．
此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形的面积是解本题的关键．
 

24.【答案】解：连接，

，
，，
则，因此，
平方米，
这块土地的面积为平方米．
 

【解析】此题考查勾股定理，解答此题的关键是解四边形的问题转化成解三角形的问题再解答．
本题要先把解四边形的问题转化成解三角形的问题，再用勾股定理解答．
 

25.【答案】解：
当时，．
当时，，．
当时， ，， ，
在中，，
，解得
综上，当为等腰三角形时，或或
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
根据题意和三角形的面积可知，当点为的中点时，平分的面积，用勾股定理求出，可求出，即可得出答案．
当为等腰三角形时，分三种情况：当时；当时；当时，分别求出的长度，继而可求得值．
【解答】
解：根据题意和三角形的面积可知，当点为的中点时，平分的面积，
，
，
；
见答案．