福建省厦门市同安区2020-2021学年八年级上学期期中联考数学试题

这是一份福建省厦门市同安区2020-2021学年八年级上学期期中联考数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省厦门市同安区八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．5cm 2cm 3cm B．5cm 2cm 2cm
C．5cm 2cm 4cm D．5cm 12cm 6cm
3．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．7 B．9 C．9或12 D．12
4．一个多边形的每个内角都等于120°，则此多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
5．2x3可以表示为（　　）
A．x3+x3 B．2x4﹣x C．x3•x3 D．2x6÷x2
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC＝9，BD＝5，则DE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
7．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
8．如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝ADC
9．如图，在△ABC中，已知S△ABD：S△ACD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为9cm2，则△AED的面积为（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
10．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
二、填空题（本大题共6小题，第11题每小题6分，12-16每题4分，共26分）
11．（1）x5•x＝　 　；
（2）（a2）4＝　 　；
（3）＝　 　．
12．点A（1，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是　 　．
13．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠B，则∠B＝　 　°．
14．如图所示，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CE∥AB交AD的延长线于点E，则CE的长为　 　．

16．已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有　 　条．
三、解答题（本大题共9小题，共84分）
17．计算：（2x2）3﹣x4•x2．
18．如图，AC和BC相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：AB∥DC．

19．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？（要求：列方程解，要有解题过程）
20．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：在AC上找一点D，使得AD＝BD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BD，若∠A＝40°，求∠CBD的度数．

21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上求作一点P，使△PAC的周长最小，并直接写出P的坐标．

22．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝4．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．

23．如图1，已知△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC交边AC于点E，且DE平分∠ADC．
（1）求证：DB＝DC；
（2）如图2：在BC边上取点F，使∠DFC＝60°，若BC＝7，BF＝2，求DF的长．

24．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，设∠ACN＝α，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E、P．
（1）依题意补全图形，并求出∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

25．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是　 　．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围　 　；
②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．



参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．下列四个汽车标志图中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
解：A、是轴对称图形，故错误；
B、不是轴对称图形，故正确；
C、是轴对称图形，故错误；
D、是轴对称图形，故错误．
故选：B．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．5cm 2cm 3cm B．5cm 2cm 2cm
C．5cm 2cm 4cm D．5cm 12cm 6cm
解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+2＝5，不能组成三角形；
B中，2+2＝4＜5，不能组成三角形；
C中，4+2＝6＞5，能够组成三角形；
D中，5+6＝11＜12，不能组成三角形．
故选：C．
3．一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．7 B．9 C．9或12 D．12
解：①若2为腰，则2+2＜5，不能构成三角形，此种情况舍去；
②若2为底，则5+2＞5，能构成三角形，故周长是2+5+5＝12．
故选：D．
4．一个多边形的每个内角都等于120°，则此多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°＝60°，
∴边数n＝360°÷60°＝6．
故选：B．
5．2x3可以表示为（　　）
A．x3+x3 B．2x4﹣x C．x3•x3 D．2x6÷x2
解：
A选项，x3+x3＝2x3，选项符合
B选项，2x4﹣x不能合并同类项，不符合
C选项，x3•x3＝x6，不符合
D选项，2x6÷x2＝2x4，不符合
∴只有选项A符合题意
故选：A．
6．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，测得BC＝9，BD＝5，则DE的长是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE＝DC，
∵BC＝9，BD＝5，
∴DC＝9﹣5＝4，
∴DE＝4，
故选：B．
7．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）

A．45° B．60° C．75° D．90°
解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°，
所以，∠α＝45°+30°＝75°．
故选：C．

8．如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝ADC
解：A、根据ASA（∠A＝∠A，∠C＝∠B，AB＝AC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
B、根据SAS（∠A＝∠A，AB＝AC，AE＝AD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；
D、根据AAS（∠A＝∠A，AB＝AC，∠AEB＝∠ADC）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；
故选：C．
9．如图，在△ABC中，已知S△ABD：S△ACD＝2：1，点E是AB的中点，且△ABC的面积为9cm2，则△AED的面积为（　　）

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2
解：∵点E是AB的中点，
∴△AED的面积＝△ABD的面积，
∵S△ABD：S△ACD＝2：1，
∴△ABD的面积＝△ABC的面积×，
∴△AED的面积＝△ABC的面积××＝9×＝3（cm2），
故选：C．
10．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（　　）

A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．随x，m，n的值而定
解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵∠MBN＝30°，
∴∠ABM+∠CBN＝30°，
∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，
∴∠NBM＝∠NBH，
∵BM＝BH，BN＝BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，
∴∠NCH＝120°，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，第11题每小题6分，12-16每题4分，共26分）
11．（1）x5•x＝　x6　；
（2）（a2）4＝　a8　；
（3）＝　　．
解：（1）x5•x＝x5+1＝x6；
（2）（a2）4＝a2×4＝a8；
（3）＝．
故答案为：（1）x6；（2）a8；（3）．
12．点A（1，2）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是　（1，﹣2）　．
解：点A与点B关于x轴对称，点A的坐标为（1，2），则点B的坐标是（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
13．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝∠B，则∠B＝　60　°．
解：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠C＝∠B＝60°，
故答案为：60．
14．如图所示，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为　12°　．

解：∵AB∥CD，
∴∠1＝∠ABE＝66°，
由三角形的外角性质得，∠E＝∠1﹣∠D＝66°﹣54°＝12°．
故答案为：12°．

15．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，CE∥AB交AD的延长线于点E，则CE的长为　4.5　．

解：∵AB＝9，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝4.5，∠CAB＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD＝30°，
∴∠E＝∠CAD＝30°，
∴AC＝CE＝4.5，
故答案为：4.5．
16．已知△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，任作一条直线将△ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有　7　条．
解：分别以A、B、C为等腰三角形的顶点的等腰三角形有4个，如图1，

分别为△ABD、△ABE、△ABF、△ACG，
∴满足条件的直线有4条；
分别以AB、AC、BC为底的等腰三角形有3个，如图2，

分别为△ABH、△ACM、△BCN，
∴满足条件的直线有3条，
综上可知满足条件的直线共有7条，
故答案为：7．
三、解答题（本大题共9小题，共84分）
17．计算：（2x2）3﹣x4•x2．
解：（2x2）3﹣x4•x2
＝8x6﹣x6
＝7x6．
18．如图，AC和BC相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：AB∥DC．

【解答】证明：在△ODC和△OBA中，
，
∴△ODC≌△OBA（SAS），
∴∠C＝∠A（或者∠D＝∠B）（全等三角形对应角相等），
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
19．一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是几边形？（要求：列方程解，要有解题过程）
解：设这个多边形是n边形，则根据题意，得：
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得n＝8，
答：这个多边形是八边形；
20．如图，在△ABC中，AB＝AC．
（1）尺规作图：在AC上找一点D，使得AD＝BD（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接BD，若∠A＝40°，求∠CBD的度数．

解：（1）如图，点D为所作；

（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣40°）＝70°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
21．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）在y轴上求作一点P，使△PAC的周长最小，并直接写出P的坐标．

解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；


（2）连接A1C交y轴于P，连接AP，则点P即为所求．
根据轴对称的性质可得，A1P＝AP，
∵A1P+CP＝A1C（最短），
∴AP+PC+AC最短，即△PAC的周长最小，
∵C（3，4），A1（﹣1，1），
∴直线A1C解析式为y＝x+，
∴当x＝0时，y＝，
∴P（0，）．
22．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积为S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦﹣﹣秦九韶公式”．
完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝5，b＝3，c＝4．
（1）求△ABC的面积；
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，求线段AD的长．

解：（1）∵a＝5，b＝3，c＝4，
∴p＝＝6，
∴△ABC的面积S＝＝6；
（2）如图，∵△ABC的面积＝BC•AD，

∴×5×AD＝6，
∴AD＝．
23．如图1，已知△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC交边AC于点E，且DE平分∠ADC．
（1）求证：DB＝DC；
（2）如图2：在BC边上取点F，使∠DFC＝60°，若BC＝7，BF＝2，求DF的长．

解：（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
∵DE平分∠ADC，
∴∠1＝∠2，
∴∠B＝∠3，
∴DB＝DC．
（2）作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GB＝BC×7＝3.5，
∴GF＝GB﹣BF＝3.5﹣2＝1.5，
∵Rt△DGF中，∠DFG＝60°，
∴∠FDG＝30°
∴DF＝2GF＝2×1.5＝3．

24．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，设∠ACN＝α，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E、P．
（1）依题意补全图形，并求出∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．

解：（1）如图所示：
∵点A与点D关于CN对称，
∴CN是AD的垂直平分线，
∴CA＝CD．
∵∠ACN＝α，
∴∠ACD＝2∠ACN＝2α，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB＝CD，∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α．
∴∠BDC＝∠DBC＝（180°﹣∠BCD）＝60°﹣α，
（3）PB＝PC+2PE，
证明：在PB上截取PF使PF＝PC，如右图，连接CF．
∵CA＝CD，∠ACD＝2α
∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α．
∵∠BDC＝60°﹣α，
∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，
∴PD＝2PE．
∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°．
∴△CPF是等边三角形．
∴∠CPF＝∠CFP＝60°．
∴∠BFC＝∠DPC＝120°．
∴在△BFC和△DPC中，

∴△BFC≌△DPC（AAS）．
∴BF＝PD＝2PE．
∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．


25．对于平面直角坐标系xOy中的线段AB及点P，给出如下定义：
若点P满足PA＝PB，则称P为线段AB的“轴点”，其中，当0°＜∠APB＜60°时，称P为线段AB的“远轴点”；当60°≤∠APB≤180°时，称P为线段AB的“近轴点”．
（1）如图1，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），则在P1（﹣1，3），P2（0，2），P3（0，﹣1），P4（0，4）中，线段AB的“近轴点”是　P2，P3　．
（2）如图2，点A的坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，∠OAB＝30°．
①若P为线段AB的“远轴点”，直接写出点P的横坐标t的取值范围　t＞3或t＜0　；
②点C为y轴上的动点（不与点B重合且BC≠AB），若Q为线段AB的“轴点”，当线段QB与QC的和最小时，求点Q的坐标．

解：（1）如图作等边△ABC，△ABC′．

由题意C（0，2），C′（0，﹣2），当点P在线段CC′上时，点P是“近轴点”，
所以P2（0，2），P3（0，﹣1）是“近轴点”，
故答案为P2，P3．

（2）①如图2﹣1中，

以AB为边作等边△ABK，△ABK′，
由题意可知K（3，2），k′（0，﹣），
若P为线段AB的“远轴点”，
∴点P的横坐标t的取值范围为t＞3或t＜0．
故答案为t＞3或t＜0．


②如图2﹣2中，由题意点Q在线段AB的垂直平分线上．连接QA，QB，作QC⊥OB于C．

∵点Q在AB的垂直平分线上，
∴QB＝QA，
∴QB+QC＝QA+QC，
根据垂线段最短可知：当A，Q，C共线且AC⊥OB时，QB+QC的值最小，最小值为线段OA的长，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+，
∴线段AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，
令y＝0，得到x＝1，
∴此时点Q坐标为（1，0）．