上海市普陀区万里城实验学校2021-2022学年九年级上学期月考数学【试卷+答案】（9月份）

这是一份上海市普陀区万里城实验学校2021-2022学年九年级上学期月考数学【试卷+答案】（9月份），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上海市普陀区万里城实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．已知＝，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
2．用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（　　）
A．放大后，边长是原来的2倍
B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AD＝2，BD＝6（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD∥EF，如果AE：AB＝1：3，BC＝10，那么EF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
5．在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且不与△ABC的顶点重合，不一定能得到DE∥BC的条件是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
6．如图，在△ABC中，BC＝4，正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段b是线段a、c的比例中项，a＝2，c＝4　 　．
8．在比例尺为1：80000的上海市城区地图上，量得中山北路的长度约为25cm，那么它的实际长度约为 　 　km．
9．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4　 　．
10．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，直线l4与l5相交于点G，如果AG＝2，GB＝1，那么的值等于 　 　．

11．如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝2，AC＝8　 　．

12．如图，在△ABC中，P是AC上一点，联结BP，要使△ABP与△ABC相似，这个条件可以是 　 　．

13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，＝，设＝，＝，那么向量用向量、　 　．

14．已知两个相似三角形的对应高之比是9：16，那么这两个三角形的周长比是 　 　．
15．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则AG＝　 　．
16．如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，BE＝2，BC＝6　 　．

17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，那么CF＝　 　．

18．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则　 　．

三、解答题（本大题共7题，满分0分）
19．如图，已知两个不平行的向量、．
先化简，再求作：（）﹣（）．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）

20．已知：＝＝，2x+y+z＝45，求代数式3x+2y﹣z的值．
21．如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，并说明理由．

22．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，＝．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求的值．

23．如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD＝2OA，OC＝2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2＝OE•OC．

24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、点B的坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），且CO＝4OA，CM是△ABC的中线．
（1）求直线CM的表达式；
（2）点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求点Q的坐标．

25．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝4，点F为边AD上一点（且不与A、D两点重合），联结BF交AC于点E，设AF＝x，S△EGC＝y．
（1）当BF⊥AC时，求AF的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）过点D作DH⊥BG，垂足为点H，当＝时，求S△EGC的值．


2021-2022学年上海市普陀区万里城实验学校九年级（上）月考数学试卷（9月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．已知＝，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件得出y＝x，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【解答】解：∵＝，
∴y＝x，
∴＝＝．
故选：D．
2．用一个2倍放大镜照菱形ABCD，下面说法中，错误的是（　　）
A．放大后，边长是原来的2倍
B．放大后，∠B的大小是原来的2倍
C．放大后，周长是原来的2倍
D．放大后，面积是原来的4倍
【分析】用2倍的放大镜放大一个菱形ABCD，得到一个与原菱形相似的菱形，再由相似多边形的性质即可求解．
【解答】解：∵放大前后的两个菱形相似，
∴放大后菱形的内角度数不变，面积为原来的4倍，
故选项A、C、D不符合题意，
故选：B．
3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AD＝2，BD＝6（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据射影定理计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则AC2＝AD•AB，
∵AD＝2，BD＝8，
∴AC2＝2×（8+6）＝16，
∴AC＝4，
故选：A．
4．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD∥EF，如果AE：AB＝1：3，BC＝10，那么EF的长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】连接AC交EF于O，利用EF∥BC，得＝＝，可求出EO的长，利用EF∥AD，得，可求出OF的长，从而解决问题．
【解答】解：∵AD∥BC，AD∥EF，
∴EF∥BC，
连接AC交EF于O，

∵EF∥BC，
∴＝＝，
∵BC＝10，
∴EO＝，
∵EF∥AD，
∴，
∵＝，
∴，
∴FO＝AD＝，
∴EF＝EO+FO＝＝6，
故选：B．
5．在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且不与△ABC的顶点重合，不一定能得到DE∥BC的条件是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行线分线段成比例判定即可．
【解答】解：A，∵，
∴DE∥BC，
B、∵，
∴DE∥BC；
C、，不一定能得到DE∥BC，
D、∵＝，
∴＝，
∴DE∥BC，
故选：C．

6．如图，在△ABC中，BC＝4，正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上（　　）

A． B． C． D．
【分析】设EH＝x，AD与EH相交于点O，则AO＝2﹣x，由EH∥BC，得，代入计算即可．
【解答】解：如图，设EH＝x，

则AO＝2﹣x，
∵正方形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、AC上，
∴EH∥BC，
∴，
即，
解得：x＝，
故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．已知线段b是线段a、c的比例中项，a＝2，c＝4　2　．
【分析】根据比例中项得定义得到b2＝ac，然后根据算术平方根的定义求解．
【解答】解：根据题意得b2＝ac，
∴b2＝8×4＝8，
而b为线段长，
∴b＝6．
故答案为2．
8．在比例尺为1：80000的上海市城区地图上，量得中山北路的长度约为25cm，那么它的实际长度约为 　20　km．
【分析】实际长度为xkm，利用比例尺的定义得到25：x＝1：80000，然后利用比例性质求出x．
【解答】解：设实际长度为xkm，
根据题意得25：x＝1：80000，
解得x＝2000000cm＝20km．
故答案为20．
9．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4　2﹣2　．
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝AB＝﹣2．
故答案为2﹣7．
10．如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，直线l4与l5相交于点G，如果AG＝2，GB＝1，那么的值等于 　　．

【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵l1∥l2∥l6，
∴＝＝＝．
故答案为．
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，BD＝2，AC＝8　　．

【分析】根据平行线分线段成比例得到＝，代入数据可以求得CE的长．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD＝3，BD＝2，
∴＝，
∴CE＝，
故答案为：．
12．如图，在△ABC中，P是AC上一点，联结BP，要使△ABP与△ABC相似，这个条件可以是 　∠ABP＝∠C　．

【分析】相似三角形的判定，对应角相等，对应边成比例，题中∠A为公共角，再有一对应角相等即可．
【解答】解：在△ABP与△ACB中，∠A为两三角形的公共角，即∠ABP＝∠C．
故答案为：∠ABP＝∠C．
13．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，＝，设＝，＝，那么向量用向量、　（﹣）　．

【分析】根据＝+，只要求出，即可；
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵＝，＝，
∴＝，＝，
∵＝+，
∴＝（﹣）．
故答案为（﹣）．
14．已知两个相似三角形的对应高之比是9：16，那么这两个三角形的周长比是 　9：16　．
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【解答】解：∵对应高之比是9：16，
∴相似比＝9：16，
∴这两个三角形的周长比是 4：16．
故答案为：9：16．
15．已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则AG＝　2　．
【分析】根据题意画出图形，由G是△ABC的重心可得AG＝，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD＝CD＝4，利用勾股定理可求解AD的长，进而可求解．
【解答】解：如图，AD，则交点G为△ABC的重心，

∴AG＝，
∵AB＝AC＝2，BC＝8，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，
∴AD＝，
∴AG＝2．
故答案为2．
16．如图，在矩形ABCD中，E是边BC上的点，BE＝2，BC＝6　2　．

【分析】由矩形的性质得出∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，由直角三角形的性质得出∠BAE＝∠DEC，证明△ABE∽△ECD，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠DEC，
∴△ABE∽△ECD，
∴，
又∵BE＝2，BC＝6，
∴CE＝5，
∴设AB＝x，
∴，
∴x＝4，
∴AB＝2．
故答案为2．
17．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，分别交AD、AC于点E、F，如果AB＝7，那么CF＝　　．

【分析】连接DF，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据线段垂直平分线的性质得到AF＝DF，求得∠BAD＝∠ADF，根据相似三角形的性质即可得到答案．
【解答】解：连接DF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF是AD的中垂线，
∴AF＝DF，
∴∠CAD＝∠ADF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∴DF∥AB，
∴△CDF∽△CBA，
∴＝，
∴，
解得：CF＝，
故答案为：．

18．如图，在△ABC中，4AB＝5AC，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，FG＝FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则　　．

【分析】解题关键是作出辅助线，如解答图所示：
第1步：利用角平分线的性质，得到BD＝CD；
第2步：延长AC，构造一对全等三角形△ABD≌△AMD；
第3步：过点M作MN∥AD，构造平行四边形DMNG．由MD＝BD＝KD＝CD，得到等腰△DMK；然后利用角之间关系证明DM∥GN，从而推出四边形DMNG为平行四边形；
第4步：由MN∥AD，列出比例式，求出的值．
【解答】解：已知AD为角平分线，则点D到AB，设为h．
∵＝＝＝＝，
∴BD＝CD．
如右图，延长AC，则有AC＝8CM．
在△ABD与△AMD中，

∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴MD＝BD＝CD．
过点M作MN∥AD，交EG于点N．
∵MN∥AD，
∴＝＝，
∴CK＝CD，
∴KD＝CD．
∴MD＝KD，即△DMK为等腰三角形，
∴∠DMK＝∠DKM．
由题意，易知△EDG为等腰三角形；
∵MN∥AD，
∴∠5＝∠4＝∠1＝∠2，
又∵∠DKM＝∠3（对顶角）
∴∠DMK＝∠1，
∴DM∥GN，
∴四边形DMNG为平行四边形，
∴MN＝DG＝4FD．
∵点H为AC中点，AC＝4CM，
∴＝．
∵MN∥AD，
∴＝，即，
∴＝．
故答案为：．
方法二：
 如右图，有已知易证△DFE≌△GFE，
故∠5＝∠B+∠4＝∠4＝∠2+∠4，又∠1＝∠2，
所以∠4＝∠B，则可证△AGH∽△ADB
设AB＝5a，则AC＝4a，
所以AG/AD＝AH/AB＝6/5，而  AD＝AG+GD，
所以AG：GD＝2：7，F是GD的中点，
所以AG：FD＝4：3．


三、解答题（本大题共7题，满分0分）
19．如图，已知两个不平行的向量、．
先化简，再求作：（）﹣（）．
（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的向量）

【分析】先化简，然后利用三角形法则作图．
【解答】解：（）﹣（）
＝﹣
＝2﹣．
如图：

＝6，＝，＝2﹣，即．
20．已知：＝＝，2x+y+z＝45，求代数式3x+2y﹣z的值．
【分析】设＝＝＝k，根据比例的性质求出x＝3k，y＝4k，x＝5k，代入2x+y+z＝45得出6k+4k+5k＝45，求出k，求出x、y、z的值，最后代入3x+2y﹣z求出答案即可．
【解答】解：设＝＝＝k，y＝4k，
∵2x+y+z＝45，
∴3×3k+4k+8k＝45，
解得：k＝3，
∴x＝9，y＝12，
∴5x+2y﹣z＝3×2+2×12﹣15
＝27+24﹣15
＝51﹣15
＝36．
21．如图，△ABC与△DEF在5×7的长方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，并说明理由．

【分析】先计算出两个三角形的各边长，然后利用三边对应成比例两三角形相似判断△ABC与△DEF相似．
【解答】解：相似．
理由如下：
∵AB＝＝，BC＝2＝，DE＝1＝，DF＝，
∴＝，＝＝，＝＝，
∴＝＝，
∴△ABC∽△DEF．
22．已知：如图，△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，＝．
（1）求证：DF∥BC；
（2）如果DF＝2，BE＝4，求的值．

【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，由＝可得＝，即可得DF∥BC；
（2）证明四边形DECF是平行四边形，可得EC＝DF＝2，则BC＝BE+EC＝6，由DF∥BC可得△ADF∽△ABC，根据相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，
∴，
∵＝，
∴＝，
∴DF∥BC；

（2）解：∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EC＝DF＝2，
∴BC＝BE+EC＝6，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴＝（）7＝＝＝．
23．如图：四边形ABCD对角线AC与BD相交于点O，OD＝2OA，OC＝2OB．
（1）求证：△AOB∽△DOC；
（2）点E在线段OC上，若AB∥DE，求证：OD2＝OE•OC．

【分析】（1）根据对应边成比例，夹角相等，可证△AOB∽△DOC；
（2）根据相似三角形的性质结合已知条件可得△DOC∽△EOD，再根据相似三角形对应边成比例求解．
【解答】证明：（1）∵OD＝2OA，OC＝2OB，
∴．（2分）
又∠AOB＝∠DOC，（8分）
∴△AOB∽△DOC．（2分）

（2）由（1）得：△AOB∽△DOC．
∴∠ABO＝∠DCO．（1分）
∵AB∥DE，
∴∠ABO＝∠EDO．（2分）
∴∠DCO＝∠EDO．（1分）
∵∠DOC＝∠EOD，
∴△DOC∽△EOD．（1分）
∴．（6分）
∴OD2＝OE•OC．（1分）
24．如图，在平面直角坐标系中，已知点A、点B的坐标分别为（﹣1，0）和（5，0），且CO＝4OA，CM是△ABC的中线．
（1）求直线CM的表达式；
（2）点Q是射线CM上的一个动点，当△QMB与△COM相似时，求点Q的坐标．

【分析】（1）根据点A、B的坐标和CO＝4OA可以推知点C的坐标，结合CM是△ABC的中线求得点M的坐标，利用待定系数法确定函数关系式；
（2）求出OM的长，再利用勾股定理列式求出CM，令y＝0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，得到OB的长度，再求出BM，然后分：
①∠BQM＝90°时，△COM和△BQM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，过点Q作QD⊥x轴于D，解直角三角形求出BD、QD，然后求出OD，从而写出点Q的坐标；
②∠MBQ＝90°时，△COM和△QBM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出BQ，再写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）∵点A的坐标分别为（﹣1，0），
∴OA＝6．
又∵CO＝4OA，
∴CO＝4，则C（8．
又∵点B的坐标为（5，0），
∴M（7，0）．
设直线CM的表达式为y＝kx+b（k≠0），则．
解得，
则直线CM的表达式为y＝﹣2x+5；
（2）∵OM＝2，OC＝4，
∴CM＝＝2，
∵点B的坐标为（7，0），
∴OB＝5，
∴BM＝OB﹣OM＝3﹣2＝3，
如图，①∠BQM＝90°时，
∴＝，
即＝，
解得BQ＝，
过点Q作QD⊥x轴于D，
则BD＝BQ•cos∠QBM＝×＝，QD＝BQ•sin∠QBM＝×＝，
∴OD＝OB﹣BD＝5﹣＝，
∴点Q的坐标为（，﹣）；
②∠MBQ＝90°时，△COM和△QBM相似，
∴＝，
即＝，
解得BQ＝6，
∴点Q的坐标为（5，﹣8）．
综上所述，点Q的坐标为（，﹣，﹣6）．

25．已知：如图，矩形ABCD中，AB＝4，点F为边AD上一点（且不与A、D两点重合），联结BF交AC于点E，设AF＝x，S△EGC＝y．
（1）当BF⊥AC时，求AF的长；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）过点D作DH⊥BG，垂足为点H，当＝时，求S△EGC的值．

【分析】（1）证明△BAC∽△AFB，推出＝，可得结论．
（2）由题意S△ABE＝•S△ABF＝，证明△ABE∽△CGE，推出＝（）2，由此可得结论．
（3）过点D作DH⊥BG于H．证明△BAF∽△DHF，推出＝，由此构建方程求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，
∵AC⊥BF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝90°，∠EAF+∠AFB＝90°，
∴∠BAC＝∠AFB，
∴△BAC∽△AFB，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝．

（2）∵AF∥BC，
∴＝＝，
∴S△ABE＝•S△ABF＝，
∵AB∥DG，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝，
∴CG＝CD+DG＝，
∵AB∥CG，
∴△ABE∽△CGE，
∴＝（）4，
∴＝（）6，
∴y＝（0＜x＜8）．

（3）过点D作DH⊥BG于H．
∵＝，DC＝3，
∴DH＝，
∵∠BAF＝∠DHF＝90°，∠AFB＝∠DFH，
∴△BAF∽△DHF，
∴＝，
∴＝，
解得x＝2或58（舍弃），
经检验x＝2是方程的根，
∴S△GCE＝＝27．