初中数学青岛版九年级上册1.2 怎样判定三角形相似精品同步测试题

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1.2怎样判定三角形相似同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，连结小长方形的顶点所得的四个三角形中是相似三角形的是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

2. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若：：，则与的比是

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

3. 下列条件不能判定∽的是

A.
B.
C.
D.
 

4. 如图，在中，，，垂足为点，一直角三角板的直角顶点与点重合，这块三角板绕点旋转，两条直角边始终与、边分别相交于、，则在运动过程中，与的关系是

A. 一定相似 B. 一定全等 C. 不一定相似 D. 无法判断

5. 如图，是的中位线，已知的面积为，则四边形的面积为

A.
B.
C.
D.

6. 如图，点在的边上，下列条件中不能判断∽的是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，下列选项中不能判定∽的是

A.  B.
C.  D.

8. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得，点在上，若，，则

A.
B.
C.
D.

9. 如图，点为平行四边形边延长线上的一点，连结与相交于点则图中相似三角形共有

A. 对 B. 对 C. 对 D. 对

10. 如图，在中，，，则的值是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，面积为的等边三角形中，，，分别是，，的中点，则的面积是

A.
B.
C.
D.

12. 如图，下列条件：；；；其中能单独判断∽的个数是     

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，平行四边形中，是中点，在上截取，交于，则的值为______．
14. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是，、、、均落在格点上．
    ：______；
    点为的中点，过点作直线，过点作于点，过点作于点，则矩形的面积为______．

15. 如图，已知正方形的边长为，是边上一点，，将，分别沿折痕，向内折叠，点，在点处重合，过点作，交的延长线于，则线段的长为______．
     

16. 如图，正方形中，，分别在边，上，，相交于点，若，，则的值是______．
    
    
     

17. 如图，中，，点、分别在边、上，，且，则______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，在中，，为中点，，且．
    求证：四边形是矩形；
    连接交于点，若，，求的长．
     

19. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且．
    求证：；
    求证：∽；
    若，，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，建筑物上有一个旗杆，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树，小明沿后退，发现地面上的点、树顶、旗杆顶端恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点、树顶、建筑物顶端恰好在一条直线上．已知旗杆米，米，米，米，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，、均垂直于，根据以上信息，请求出这座建筑物的高．

21. 阅读下面材料：
    小军遇到这样一个问题：如图，在中，，是内一点，
    若，，求的长．
    
    小军的思路是：根据已知条件可以证明∽，进一步推理可得的长．
    请回答：，
    ．
    ，
    ______．
    ，
    ∽．
    ．
    ，
    ．
    ______．
    ，
    ．
    ______．
    参考小军的思路，解决问题：
    如图，在中，，是内一点，若，求的值；
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点．
    求点的坐标和反比例函数的关系式；
    如图，将正方形沿轴向右平移______个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上．
    在的情况下，连结并延长它，交反比例函数的图象于点，点是轴上的一个动点不与点、重合，
    当点的坐标为多少时，四边形是矩形？请说明理由．
    过点作轴于点，问：当点的坐标为多少时，与相似？直接写出答案

23. 如图，中，，点在边上，且交于点．
    求证：∽；
    若，，是中点，求的长．
     

24. 如图，菱形中，，，为对角线，是边延长线上一点，连接．

在线段上求作点，使得

要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法；

在的作图条件下，当时，求线段的长度．






 

25. 如图，在矩形中，，，点沿边从点开始向点以的速度移动，点沿边从点开始向点以的速度移动如果，同时出发，用表示移动的时间，那么：
    
     

当为何值时，为等腰直角三角形

对四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论．

当为何值时，以点，，为顶点的三角形与相似

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：设小长方形的长为，宽为则图中的三角形的三边长分别为：，，，
图中的三角形的三边长分别为：，，，
图中的三角形的三边长分别为：，，
图中的三角形的边长分别为：，，，
只有的三角形的三边成比例，
故选：．
设小长方形的长为，宽为利用勾股定理求出三角形的三边长即可判断．
本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

2.【答案】
 

【解析】解：∽，又：：，
，
，
，
，
与的比是：．
故选：．
根据相似三角形的判定定理得到∽，根据相似三角形的性质定理得到，从而可得到：：，最后，：：即可．
本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定定理是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、，，∽，故此选项不合题意；
B、，，∽，故此选项不合题意；
C、，，，∽，故此选项不合题意；
D、不能判定∽，故此选项符合题意．
故选：．
根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，，
，
∽，
故选：．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
 

5.【答案】
 

【解析】解：为中位线，
，，
∽，
：：，
：：，
，
．
故选：．
由为中位线，可得，，即可证得∽，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得：：，又由的面积为，即可求得四边形的面积．
此题考查了相似三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、，，
∽，故本选项不符合题意；
B、，，
∽，故本选项不符合题意；
C、，，即，
∽，故本选项不符合题意；
D、，
，
，
∽，不能判断∽，故本选项符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定定理有两角分别相等的两三角形相似，有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似逐个进行判断即可．
此题考查了相似三角形的判定．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、，
，
，
∽，故本选项不符合题意；
B、，
，
添加，不能推出∽，故本选项符合题意；
C、，
∽，故本选项不符合题意；
D、，，
∽，故本选项不符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．
本题考查了相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理的内容是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由旋转可得，≌，
，，
，
又，
，
又，
∽，
，即，
，
，
故选：．
根据，，即可判定∽，再根据相似三角形的性质，即可得到的长，进而得到的长．
本题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．
 

9.【答案】
 

【解析】解：在平行四边形中，，，
所以，∽，∽，∽，
共对．
故选：．
根据平行四边形的对边平行，利用“平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似”找出相似三角形，然后即可选择答案．
本题考查了相似三角形的判定，平行四边形的对边互相平行的性质，要注意全等三角形是相似三角形的特殊情况．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
由得到∽，利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．
【解答】
解：，
∽，
，
，
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】解：，，分别是，，的中点，
，，，
，
∽，
，
等边三角形的面积为，
的面积是，
故选：．
根据三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定，由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或夹的两条边对应成比例即可解答．
【解答】
解：，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，故正确；
，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定，故正确；
不是已知的比例线段的夹角，不能判定两个三角形相似，故不正确；
可转化为，再加上为公共角，可以根据一组对应边成比例且对应的夹角相等的两个三角形相似来判定，故正确，
能单独判断∽的是，个数是．
故选：．  

13.【答案】
 

【解析】解：过点作，如图所示：

，
∽，
，
又，
，
又四边形是平行四边形，
，，
，
∽，
，
又是中点，
，
，
，
又，
．
故答案为．
作易证明∽，由其性质得；在平行四边形中，，易证明∽，根据其性质得；经计算，，可求出．
本题综合考查了平行四边形的性质，平行线的性质和三角形相似的判定与性质等知识点，重点掌握三角形相似的判定与性质，难点是作辅助线构建三角形相似和线段的和差计算．
 

14.【答案】：；
  
 

【解析】解：由题意得：，，，
：：，
：：；
故答案为：：；

如图所示：
点为的中点，直线，
是的中位线，，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
∽，
，即，
解得：，
矩形的面积；
故答案为：．
由题意得：，，，由三角形面积公式得出：：，得出：：即可；
证出，由勾股定理求出，证明∽，得出，解得：，由矩形面积公式即可得出矩形的面积
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积公式、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
设，
在中，，，，
，
解得
，，
由翻折的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
故答案为．
设，在中，由，，，根据勾股定理构建方程求出，再求出，即可解决问题．
本题考查正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题．
如图，作，交于，交于设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】
解：如图作，，交于，交于．

四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
则设，则，，，
，，
，
，
，
，
∽，
，
故答案为：．  

17.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
∽，
，
，
，
解得．
故答案为：．
先求出与的面积的比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，主要利用了相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 

18.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
，
四边形是矩形．
解：四边形是矩形，
，
，，
，
，，
，
，
∽，
，
．
 

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
先判断四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
先由含角的直角三角形的性质求出，的长，进而得到的长，再由勾股定理求出的长，然后证明∽，推出，由此即可解决问题．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，，
，
；
证明：平行四边形，，
，，，
，，
，
，
∽；
解：，
，
由上可得∽，，
，
，
．
 

【解析】根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，根据三角形的外角的性质得到；
根据四边形为平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等，得到一对同旁内角互补，一对内错角相等，根据已知角相等，利用等角的补角相等得到三角形与三角形相似，利用相似三角形对应边成比例即可得证；
根据与垂直，得到两个角为直角，利用勾股定理求出与的长，由三角形与三角形相似，得比例，求出的长即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可得，，，
∽，
，
即，
．
由题意可得，，，
∽，
，
即，
，
，
，
这座建筑物的高为米．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的判定和性质是解答关键．
根据题意得∽，利用相似三角形的性质表示出与的关系式，再由题意得到∽，利用相似三角形的性质求出即可．
 

21.【答案】  
 

【解析】阅读材料：
解：，
．
，
．
，
∽．
．
，
．
，
．
，
．
．
故答案为：；；；
解决问题：
解：作于，如图所示：
，
，
，，
，，
，
．
，
∽．
，
设，则，
．
．
阅读材料：证明∽得出由等腰直角三角形的性质得出得出得出．
解决问题：证明∽得出，设，则，得出即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

22.【答案】如图所示，过点作轴于点，则，
四边形为正方形，
，，
，
又，
，
≌，
，，
，
点的坐标为．
将代入，得 ，解得 ，
反比例函数的关系式为；

；
当点的坐标为时，四边形是矩形．
理由如下：
由知，，双曲线上各点关于原点对称，
点与点关于原点对称，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
，，
，
设，
当∽时，，即，解得或，
或；
当∽时，
，
，
，
故点的坐标为或或．
 

【解析】解：如图所示，过点作轴于点，则，
四边形为正方形，
，，
，
又，
，
≌，
，，
，
点的坐标为．
将代入，得 ，解得 ，
反比例函数的关系式为；

，
，
当时，，
将正方形沿轴向右平移个单位长度时，点恰好落在反比例函数的图象上．
故答案为：；

当点的坐标为时，四边形是矩形．
理由如下：
由知，，双曲线上各点关于原点对称，
点与点关于原点对称，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
，，
，
设，
当∽时，，即，解得或，
或；
当∽时，
，
，
，
故点的坐标为或或．
过点作轴于点，由全等三角形的判定定理可得出≌，再由全等三角形的性质可求出的长，进而得出点坐标．把点坐标代入反比例函数即可得出其解析式；
根据可知，再把代入反比例函数的解析式求出的值即可；
先根据点与点关于原点对称，再根据勾股定理求出的长，由矩形的对角线相等即可得出点坐标；
设，再根据∽与∽两种情况进行分类讨论．
本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等相关知识是解答此题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
．
又，
∽．
解：在中，，，，
．
是中点，
．
∽，
，即，
．
 

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；利用相似三角形的性质求出的长．
由，可得出，再结合公共角相等，即可证出∽；
在中，利用勾股定理可求出的长，结合点为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长．
 

24.【答案】解：如图，点即为所求，
；
菱形中，，，为对角线，
，，
，
由可知，，，
∽，
，
又，
．
 

【解析】此题考查尺规作图与一般作图作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的性质和尺规作图作一个角等于已知角的方法．
首先根据菱形的性质得到，然后根据相似三角形的性质，用尺规作图法以点为顶点以为一边，作使之等于，这个角的另一边与的交点即为所求的点；
首先证明∽，然后根据相似三角形的性质得到比例式，最后代入数值即可求出的长度．
 

25.【答案】解：由题意知，，，

当时， 是等腰直角三角形，

所以，解得．

即为时，为等腰直角三角形．

四边形的面积 
在，两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．

分两种情况：

当时，∽，则，即

当时，∽，则，即．

所以当或时，以点，，为顶点的三角形与相似．

【解析】见答案