2021学年1.1 相似多边形精品同步训练题
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1.1相似多边形同步练习
青岛版初中数学九年级上册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为
A. ：
B. ：
C.
D. ：
- 下列结论中，错误的有：
所有的菱形都相似； 放大镜下的图形与原图形不一定相似；
等边三角形都相似； 有一个角为度的两个等腰三角形相似；
所有的矩形不一定相似．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
- 如图中的矩形边长分别是将图中的矩形边长拉长，边长拉长得到的，若两个矩形相似不全等，则的值是
A. B. C. D.
- 下列说法错误的是
A. 等边三角形都相似 B. 矩形都相似
C. 等腰直角三角形都相似 D. 正方形都相似
- 下列说法不正确的是
A. 含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的
B. 所有的矩形是相似的
C. 所有边数相等的正多边形是相似的
D. 所有的等边三角形都是相似的
- 我国国土面积约为万平方千米，画在比例尺为万的地图上的面积约是．
A. 平方千米 B. 平方米 C. 平方分米 D. 平方厘米
- 如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于
A.
B.
C.
D.
- 如图的两个四边形相似，则的度数是
A. B. C. D.
- 下列说法正确的是
A. 任意两个矩形相似 B. 任意两个菱形相似
C. 任意两个正方形相似 D. 任意两个平行四边形相似
- 已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点，若四边形与矩形相似，则
A.
B.
C.
D.
- 若一个多边形的各边长分别为，，，，，另一个和它相似的多边形的最长边长为，则另一个多边形的最短边长为
A. B. C. D.
- 如图，，分别为矩形的边，的中点，若矩形∽矩形，，则矩形的面积为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 如图，是的中位线则与的相似比是 ，周长之比是 ，面积之比是 ．
- 如图，在矩形中，点，分别是，边的中点，连接，若矩形与矩形相似，，则小矩形与大矩形的相似比为_______，矩形的面积为________，
- 如图，在矩形中，点，分别是，边的中点，连接，若矩形与矩形相似，，则小矩形与大矩形的相似比为_______，矩形的面积为________
|
- 一个六边形的六边长分别为，，，，，，另一个与其相似的六边形的周长为，则与其相似的六边形的最短边为______．
- 定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么_____度．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
- 如图，四边形∽四边形，求角、的大小和的长度．
- 已知四边形与四边形相似，并且点与点、点与点、点与点、点与点对应．
已知，，，求的度数
已知，，，，，求四边形的周长．
- 如图，系列矩形纸张的规格特征是各矩形纸张都相似纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，，纸对裁后可以得到两张纸
| ||
| ||
填空：纸的面积是纸的面积的 倍，纸的周长是纸的周长的 倍
根据系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽长大于宽之比
设纸的质量为克，试求出纸的质量用含的代数式表示
- 已知如图，矩形中，，若把矩形分成两个小的矩形，其中矩形与矩形相似，求：的值．
|
- 如图所示，现有长、宽分别为、的矩形纸片，把这个矩形按以下要求分割，画出分割线，并求出相应的的值．
把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形都与原矩形相似
把这个矩形分成三个全等的小矩形，且分成的三个矩形都与原矩形相似．
- 如图，是边长为的正方形，在它的左侧补一个矩形，使得新矩形∽矩形，求的长．
|
- 如图，矩形的长，宽．
如图，若沿矩形四周有宽为的环形区域，图中所形成的两个矩形与相似吗请说明理由．
如图，当为多少时，图中的矩形与矩形相似
- 如图，点是菱形对角线的延长线上的任意一点，以线段为边作一个菱形，且菱形∽菱形，相似比是，连接，．
求证：．
若，，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：设原矩形的长为，宽为，
小矩形的长为，宽为，
小矩形与原矩形相似，
：：
故选：．
设原矩形的长为，宽为，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键．
2.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
利用相似的定义逐一的对五个选项进行判定．本题考查了相似图形的判定，解题的关键是要掌握相似图形的概念与判定方法．
【解答】
解：：菱形的两组对角不一定分别对应相等，故所有的菱形不一定都相似；即：选项错误．
：放大镜下的图形与原图形只是大小不相等，但形状相同，所以它们一定相似；即：选项错误．
：等边三角形的三个内角相等，三条边都相等，故所有的等边三角形都相似；即：选项正确．
：有一个角为度的两个等腰三角形一定相似．因为它们的顶角均为，两锐角均为，根据“两内角对应相等的两个三角形相似”即可判定．故：选项正确．
：只有长与宽对应成比例的两个矩形相似，故选项正确．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：由题意，两个矩形相似，
或，
解得或不符合题意舍弃，
故选：．
利用相似多边形的性质，构建方程求解即可．
本题考查矩形的性质，相似多边形的性质等知识，解题的关键是学会利用相似多边形的性质，构建方程解决问题．
4.【答案】
【解析】解：因为所有等边三角形，正方形，等腰直角三角形都相似，
故选：．
根据相似形的定义一一判断即可
本题考查相似形的判定，等边三角形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似图形的定义，解题的关键是了解对应角相等，对应边相等的两三角形相似．利用相似图形的定义逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】
解：含角的直角三角形与含角的直角三角形是相似的，正确，故不符合题意；
B.所有的矩形的对应角相等，对应边的比不一定相等，所以不一定相似，故错误，符合题意；
C.所有边数相等的正多边形是相似的，正确，故不符合题意；
D.所有的等边三角形都相似，正确，故不符合题意．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，据此求解，注意统一单位．
【解答】
解：万平方千米平方厘米，
设画在地图上的面积约为平方厘米，则
，
解得．
则画在地图上的面积约为平方厘米。
故选D．
7.【答案】
【解析】解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或舍去，
，
故选B．
8.【答案】
【解析】解：两个四边形相似，
，
四边形的内角和等于，
，
故选：．
根据相似多边形的对应角相等求出的度数，根据四边形内角和等于计算即可．
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：根据矩形的四个角都是直角得出两个矩形的四个角对应相等，但是矩形的边不一定对应成比例，即两个矩形不一定相似，故本选项不符合题意；
B.根据菱形的四条边都相等得出两个菱形的对应边的比相等，但是菱形的四个角不一定对应相等，即两个菱形不一定相似，故本选项不符合题意；
C.根据正方形的性质得出两个正方形的四个角对应相等，四条边对应成比例，即两个正方形一定相似，故本选项符合题意；
D.根据平行四边形的性质得出两个平行四边形的四个角不一定对应相等，四条边不一定对应成比例，即两个平行四边形不一定相似，故本选项不符合题意；
故选：．
根据矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质和相似四边形的判定逐个判断即可．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，正方形的性质和相似四边形的判定等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，属于基础题，难度一般．
根据题意易得，设，则，根据四边形与矩形相似，可得比例式，求解即可．
【解答】
解：沿将向上折叠，使点落在上的点，
四边形是正方形，
，
设，则，，
四边形与矩形相似，
，
，
解得，负值舍去，
经检验是原方程的解．
故选B．
11.【答案】
【解析】设“另一个多边形”的最短边长为，
两个多边形相似，
，
解得，
故选B．
12.【答案】
【解析】解：由矩形∽矩形可得，
设，则，
又，则，整理得，
矩形的边长是正数，
，
，
．
故选C．
13.【答案】，，
【解析】
【分析】
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的性质，属一般题目．
根据题意是的中位线，那么，再利用平行线分线段成比例定理的推论，可得∽，然后利用相似三角形的性质解答即可．
【解答】
解：是的中位线，
∽，
，
相似比为
面积比为
根据相似三角形的性质与的周长之比是：．
故答案为，，．
14.【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大．根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】
解：设，则，
矩形与矩形相似，
，即，
解得，，
，
小矩形与大矩形的相似比为：
矩形的面积为，
故答案为：．
15.【答案】；
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是根据相似多边形的性质列出比例式，难度不大．根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】
解：设，则，
矩形与矩形相似，
，即，
解得，，
，
小矩形与大矩形的相似比为：
矩形的面积为，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：设另一个六边形的最短边的长为，
根据题意得，
解得，
即另一个六边形的最短边的长为．
故答案为．
设另一个六边形的最短边的长为，根据相似多边形的性质得，然后解关于的方程即可．
本题考查了相似多边形的性质：对应角相等；对应边的比相等．
17.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，理解新定义“相似对角线”，利用相似三角形的性质是解题的关键．依据四边形的相似对角线的定义，即可得到，，，再根据四边形内角和为，即可得到的度数．
【解答】
解：如图所示，，平分，
，
又对角线是它的相似对角线，
∽，
，，
，
又，
，
故答案为：．
18.【答案】解：四边形四边形，
，．
在四边形中，．
四边形四边形，
，
即，
解得．
【解析】本题考查了相似多边形的性质有关知识，根据相似多边形的对应角相等可得出，，再根据四边形的内角和等于可计算求出的大小，然后根据相似多边形的对应边成比例即可求出的长度．
19.【答案】解：由题意得，
．
由题意得，
，
，，
四边形的周长．
【解析】见答案．
20.【答案】解：；
设纸的长和宽分别是，，则纸的长和宽分别为，，
，即，
即该系列纸张的长与宽长大于宽之比为．
纸的质量为克，纸的面积是纸的面积的一半，
纸的质量为克，
同理，纸的质量是克，
纸的质量是克，
纸的质量是克．
【解析】见答案．
21.【答案】解：设，
矩形与矩形相似，，，
，即，
解得，
：：：．
【解析】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例．
设，再根据矩形与矩形相似即可求出的值，进而得出：的值．
22.【答案】解：如图，
由题意可得，
根据相似矩形对应边成比例得，
，
，解得负值舍去．
如图，
由题意可得，，同可得，，
，解得负值舍去．
【解析】见答案
23.【答案】解：是边长为的正方形，
，
是矩形，
，，
矩形∽矩形，
，
，
解得：负数舍去．
【解析】根据正方形的性质得出，根据矩形的性质得出，，根据相似多边形的性质得出，再求出答案即可．
本题考查了矩形的性质，正方形的性质和相似多边形的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键．
24.【答案】解：不相似，
理由如下：，，，，而，，
故矩形与矩形不相似．
若矩形与矩形相似，则或，
即或，
解得或．
故当或时，矩形与矩形相似．
【解析】见答案
25.【答案】解：证明：菱形∽菱形，
，，．
．
．
．
．
连接，交于点，则．
，
．
菱形∽菱形，相似比是，，
，．
．
．
．
．
【解析】见答案
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