初中数学青岛版九年级上册4.6 一元二次方程根与系数的关系精品精练

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4.6一元二次方程根与系数的关系同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 方程的两根为、，则等于

A.  B.  C.  D.

2. 等腰的一边长为，另外两边的长是关于的方程的两个实数根，则的值是

A.  B.  C.  D. 或

3. 已知关于的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则的值是

A.  B.  C.  或 D. 或

4. 若、是一元二次方程的两个根，则的值是

A.  B.  C.  D.

5. 下列方程中，满足两个实数根的和等于的方程是

A.  B.  C.  D.

6. 若一元二次方程的一个解为，则方程的另一个解是      

A.  B.  C.  D.

7. 关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值

A. 或 B. 或 C.  D.

8. 有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，则下列关于方程的根的说法正确的是   
    

A. 都是正数 B. 都是负数
C. 一正一负，正根绝对值较大 D. 一正一负，负根绝对值较大

9. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是    

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 若，是方程的两个实数根，则的值为   

A.  B.  C.  D.

11. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，则的值是    

A.  B.  C. 或 D. 或

12. 已知一元二次方程中，其中真命题有    

若，则：若方程两根为和，则若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根．   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的值为______．
14. 已知，是关于的方程的两个不相等实数根，且满足，则的值为______．
15. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则______．
16. 设，分别为一元二次方程 的两个实数根，则 ____．
17. 若实数、满足、，则代数式的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
    求实数的取值范围；
    设方程的两个实数根分别为，是否存在这样的实数，使得？若存在，求出这样的值；若不存在，说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
19. 若两个一次函数的图象与轴交于同一点，则称这两个函数为一对“牵手函数”，这个交点为“牵手点”．
    一次函数与轴的交点坐标为______；一次函数与一次函数为一对“牵手函数”，则______；
    请写出以为“牵手点”的一对“牵手函数”；
    已知一对“牵手函数”：与，其中，为一元二次方程的两根，求它们的“牵手点”．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知关于的一元二次方程．
    求证：该方程总有两个实数根；
    若，且该方程的两个实数根的差为，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根．

求的取值范围

设方程的两实数根分别为、，且，求实数的值．






 

22. 关于的方程．

若方程的一个根为，求的值及方程的另一个根

判断方程根的情况，并说明理由．






 

23. 已知关于的一元二次方程．

试证明：无论取何值此方程总有两个实数根；

若原方程的两根，，满足，求的值．






 

24. 已知关于的一元二次方程有两个不相同的实数根、；

求实数的取值范围；

当时，求的值．






 

25. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．

    求的取值范围；

    当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：由于，
，
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
结合根与系数的关系，分已知边长是底边和腰两种情况讨论．
本题考查了：一元二次方程的根的判别式，方程的根与系数的关系，分类讨论的思想．
【解答】
解：方程的有两个实数根，则，得，
当底边长为时，另两边相等时，，另两边的长都是为，则；
当腰长为时，另两边中至少有一个是，则一定是方程的根，代入得：
解得．
的值为或．
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：方程的两个根分别是，，
，，
，即，
，
解得或，
，
为任意实数，方程均有实数根，
或均符合题意．
故选：．
先根据韦达定理得出，，将其代入到，解之可得答案．
本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、是一元二次方程的两个根，
，，
是的一个根，
，
，
．
故选：．
由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，．
 

5.【答案】
 

【解析】解：中，根据伟达定理，有，不符合题意，
中， 根据伟达定理，有，不符合题意，
中，方程无实数根，不符合题意，
中，根据伟达定理，有，符合题意．
故选D．
此题考查了判别式判定一元二次方程，以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
根据根的判别式，根与系数的关系，逐项分析判断即可．
 

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
设方程的另一个解为，根据两根之和等于，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】
解：设方程的另一个解为，
根据题意得：，
解得：．
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，，
，．
，即，
，
解得：．
关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：或，
．
故选：．
由根与系数的关系可得出，，结合可求出的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的一元二次不等式，解之即可得出的取值范围，进而可确定的值，此题得解．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程根与系数得关系．
先根据数轴判断，，得符号，在判断，根据根与系数的关系判断两根得关系即可．
【解答】
解：
由数轴得，
．
设方程的两根为，，
由根与系数的关系得，，
两根一正一负，正根绝对值较大．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
由方程两个不相等的实数根，可求出的取值范围，根据根与系数的关系结合得出关于的分式方程，求解并检验后即可得出结论．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据根与系数的关系结合得出关于的分式方程是解题的关键．
【解答】
解：方程有两个不相等的实数根，
，
．
，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，．
，
，
解得：或舍去，
经检验可知：是分式方程的解．
故选A．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系与方程根的定义，要求能将根与系数的关系、方程根的定义与代数式变形相结合解题．根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设，是关于的一元二次方程为常数的两个实数根，则，而，即可求解．
【解答】
解：，是方程的两个实数根，
，，
．
所以．
故选B．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，，反过来也成立，即，．
根据一元二次方程根与系数的关系的关系可得，又，所以可建立关于的方程求出的值即可．
【解答】
解：方程有两个不相等的实数根，
，
即，
，
由一元二次方程根与系数的关系的关系可得，又
，
解得：，，
又，
．
故选B．  

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
，即系数和为，说明原方程有一根是，，说明原方程为一元二次方程，一元二次方程有根，即；
已知方程两根的值，可利用两根关系的式子变形，得出结论；
判断方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了。
本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力。
【解答】
解：若，方程有个一根为，又，则，正确；
由两根关系可知，，整理得，正确；
若方程有两个不相等的实根，则，可知，故方程必有两个不相等的实根，正确。
正确命题有三个。
故选C。  

13.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，，



，
解得，
故答案为：．
根据“，是关于的一元二次方程的两个实数根，且”，结合根与系数的关系，列出关于的一元一次方程，解之即可．
本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：，是关于的方程的两个实数根，
，．
，即，
，
整理，得：，
解得：，．
关于的方程的两个不相等实数根，
，
解得：或，
．
故答案为：．
根据根与系数的关系结合，可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元二次不等式，解之即可得出的取值范围，进而即可确定值，此题得解．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合，求出值是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由两根关系，得，，
由得，
即，
，
，
故答案为：．
由两根关系，得，，解方程得到，即可得到结论．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
由，分别为一元二次方程的两个实数根，推出，，推出，由此即可解决问题．
本题考查根与系数关系，解题的关键是记住，是一元二次方程的两根时，，．
【解答】
解：，分别为一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
故答案为．  

17.【答案】或
 

【解析】解：实数、满足、，
，是方程的根．
当时，；
当时，则，．
．
则的值是：或．
故答案是：或．
实数、满足、，则，是方程的根．当时，即，是同一个数时，代数式的值容易求得，当时，则，是方程的两个解，则根据一元二次方程的根与系数的关系可得：，而，代入即可求解．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确分两种情况进行讨论，以及正确对所求的式子变形是关键．
 

18.【答案】解：由题意知，
，
整理，得：，
解得：；

由题意知，，
，
，即，
代入得：，
整理，得：，
解得：．
 

【解析】由方程有两个不相等的实数根知，列出关于的不等式求解可得；
由韦达定理知，，将原式两边平方后把、代入得到关于的方程，求解可得．
本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握判别式的值与方程的根之间的关系及韦达定理是解题的关键．
 

19.【答案】 
 

【解析】解：当时，，解得，
故一次函数与轴的交点坐标为；
把一次函数与轴的交点坐标代入一次函数得，
解得；
答案不为一，例：与；
与为一对“牵手函数”，
，
．
，为一元二次方程的两根，
，
，
，，
若，，则与的“牵手点”为；
若，，则与的“牵手点”为．
综上所述，“牵手点”为或．
故答案为：；．
根据轴上点的坐标特征可求一次函数与轴的交点坐标；把一次函数与轴的交点坐标代入一次函数可求的值；
得到两个经过的一次函数即为所求；
根据“牵手函数”的定义得到，根据根与系数的关系求得，可得方程，解得，，再分两种情况：若，，若，，进行讨论可求它们的“牵手点”．
本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．
 

20.【答案】证明：，，，
．
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；

解：，即，
，．
，且该方程的两个实数根的差为，
，
．
 

【解析】根据方程的系数，结合根的判别式可得出，利用偶次方的非负性可得出，即，再利用“当时，方程有两个实数根”即可证出结论；
利用因式分解法求出，由题意得出的方程，解方程则可得出答案．
本题考查了根的判别式、以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”；利用因式分解法求出方程的解．
 

21.【答案】解：由题意，得
，解得
由根与系数的关系，得，．
，
．
，
即，解得，．
由，可知不合题意，舍去，

 

【解析】见答案
 

22.【答案】解：设方程的另一根为，则由根与系数的关系得：
解之得
方程的另一根为，的值是
一元二次方程的，，





即无论为何值，
原方程有两个不相等的实数根
 

【解析】此题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系
设方程的另一根为，则由根与系数的关系求解
计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．
 

23.【答案】解：证明：原方程可变形为．



，
无论取何值，此方程总有两个实数根
原方程的两根为，，，，
又，
，
 ，
，
，
．
 

【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，属于基础题．
将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此即可证明；
根据根与系数的关系可得出、，结合，即可求出值．
 

24.【答案】解：由题意得：，
即
，
解得：，
则实数的取值范围是；
由根与系数的关系得：，
，
由题意得：，
将代入得：，
整理得：，
解得：，，
又因为由得，
所以舍去，
．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系以及根的判别式，属于中档题．
根据一元二次方程有两个不相同的实数根，可得，据此求出的取值范围；
根据根与系数的关系求出，的值，代入求解即可．
 

25.【答案】解：原方程有两个实数根，
，
整理得：，
解得：；
，，，
，
即，
解得：．
，
符合条件的的值为．
 

【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
根据一元二次方程有两个实数根，可得，据此求出的取值范围；
根据根与系数的关系求出，的值，代入求解即可．