青岛版九年级上册4.1 一元二次方程精品测试题

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4.1一元二次方程同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为

A.  B.  C.  D. 或

2. 下列方程中，是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

3. 根据下列表格的对应值：

判断方程一个解的取值范围是   

A.  B.
C.  D.

4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是

A.  B.  C. 或 D.

5. 已知是方程的一个根，则代数式的值为

A.  B.  C.  D.

6. 下列方程中，属于一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

7. 三角形两边长分别为和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为

A.  B.  C.  D. 或

8. 方程是关于的一元二次方程，则

A.  B.  C.  D.

9. 下列方程是一元二次方程的是

A.
B. 均为常数
C.
D.

10. 是方程的一个根，则代数式的值是   

A.  B.  C.  D.

11. 若关于的方程的解是，均为常数，，则方程的解是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

12. 若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 现定义运算“”，对于任意实数，，都有，如：，若，则实数的值是______．
14. 若关于的一元二次的方程有一个根是，则______．
15. 如果一元二方程有一个根为，则___________．
16. 若是关于的一元二次方程，则的值是______．
17. 把方程化为一般形式是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 关于的一元二次方程的一个根是，求它的另一个根和的值．
    
    
    
    
    
    
     
19. 已知是方程的一个根，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知是方程的一个根，求代数式的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知、、为的三边长，、满足，且为方程的解，请判断的形状．
    
    
    
    
    
    
     
22. 计算或化简：
    ；
    ；
    先化简再求值：，其中是方程的根．
    
    
    
    
    
    
     
23. 关于的一元二次方程的一个根是，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知是一元二次方程的一个根，求的值和方程的另一根．
    
    
    
    
    
    
     
25. 有关于的方程，回答下列问题：

若方程是一元二次方程，求的值；

若方程是一元一次方程，则是否存在？若存在，请直接写出的值，并把方程解出来。

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：把代入方程，得，
解得；
整理得，
即，
．
故选：．
本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把代入原方程即可求得的值．
本题考查了一元二次方程的解的定义，解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．
 

2.【答案】
 

【解析】解：等号左边是分式，不属于一元二次方程，不符合题意；
B.化简以后不含二次项，不属于二元二次方程，不符合题意；
C.是一元二次方程，符合题意；
D.含有两个未知数，不符合题意．
故选：．
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题主要考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
只含有一个未知数；
未知数的最高次数是．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
由于时，；时，，则在和之间有一个值能使的值为，于是可判断方程一个解的范围为．

【解答】
解：时，；时，，
方程一个解的范围为．
故选C．

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
 

此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
由一元二次方程的一个根是，将代入方程得到关于的方程，求出方程的解得到的值，将的值代入方程进行检验，即可得到满足题意的值．

【解答】

解：一元二次方程的一个根是，

将代入方程得：，

解得：或，

将代入方程得二次项系数为，不合题意，舍去，

则的值为．

故选：．

5.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程的解，代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．把代入得到，即，把代入式子：，再将式子变形为的形式，即可求出式子的值．

【解答】

解：是方程的根，
，即，

 

．
故选A．

6.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【解答】
解：，含有个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B.，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C.，是一元二次方程，符合题意；
D.，化简后为，最高次数为次，不是一元二次方程，不符合题意；
故选C．  

7.【答案】
 

【解析】解：，
．
．
解得：，，
，
，，无法构成三角形，
这个三角形的三边长为：，，，其周长为：．
故选：．
直接利用公式法解方程，再利用三角形三边关系得出答案．
此题主要考查了三角形三边关系以及公式法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为据此即可求解．
【解答】

解：由一元二次方程的定义可得

解得：．

故选B．

9.【答案】
 

【解析】解：、是分式方程，故本选项不符合题意；
B、，时，是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、化简后是一元一次方程，不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程的解的定义及整体代入的思想，解决本题的关键是利用根的定义得关于的等式，变形后整体代入即可．
【解答】
解：由题意可知：，
，
原式
 
，
，
故选A．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
将待求方程变形为，结合已知方程的解得出或，解之即可．
【解答】
解：，
，
又关于的方程的解是，，
或，解得或，
故选D．  

12.【答案】
 

【解析】解：对于一元二次方程即，
设，
所以，
而关于的一元二次方程有一根为，
所以有一个根为，
则，
解得，
所以一元二次方程必有一根为．
故选：．
对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：，
则，
故，
，
解得：，，
故实数的值是或．
故答案为：或．
直接利用已知将原式变形进而解方程得出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解法，正确将原式变形是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
把代入得，然后解关于的方程，最后利用一元二次方程的定义确定的值．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【解答】
解：把代入得，解得，，
而，
所以．
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题容易出现的错误是忽视二次项系数不等于这一条件．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】
解：原方程可变形为，把代入可得到，解得或，当时，，一元二次方程不成立，故舍去，所以．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是；二次项系数不为由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】
解：由题意，得
且，
解得，
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】解：化为一般形式是，
故答案为：．
一元二次方程是常数且的、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
 

18.【答案】解：设它的另一个根是，则
，
解得，
把代入方程，得
，
解得．
答：它的另一个根是，的值为．
 

【解析】先设它的另一个根是，根据根与系数的关系可得，解可求，再把代入方程易求．
本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系．
 

19.【答案】解：是方程的一个根，
，
，
．
 

【解析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先根据一元二次方程的解的定义得到，即，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
 

20.【答案】解：把代入方程，得到，
，．

故答案为．
 

【解析】

【分析】
本题考查的是一元二次方程的根的定义、代数式求值一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．  

21.【答案】解：，
，，
解得：，，
为方程的解，
，
解得：或．
、、为的三边长，，
不合题意舍去，
，
是等腰三角形．
 

【解析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而利用三角形三边关系得出的值，进而判断出其形状．
此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出的值是解题关键．
 

22.【答案】解：原式
；

原式


；






，
是方程的根，
，
，
当时，原式．
 

【解析】先根据二次根式的性质和绝对值进行计算，再算加减即可；
先通分，再根据分式的减法法则求出即可；
先算括号内的减法，把除法变成乘法，求出，最后代入求出答案即可．
本题考查了一元二次方程的解，二次根式的混合运算，分式的化简与求值等知识点，能正确根据二次根式的运算法则和分式的运算法则进行化简和计算是解此题的关键，注意运算顺序．
 

23.【答案】解：关于的一元二次方程的一个根是，求的值．
，
，
，
．
 

【解析】将代入方程得关于的方程，解之可得．
本题主要考查一元二次方程的解的定义和解方程的能力，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
 

24.【答案】解：将代入中得，
解得，
将代入中得：，
解得，，
所以，方程的另一根为．
 

【解析】根据一元二次方程的解的定义把代入可求出的值，然后把的值代入方程得到，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
 

25.【答案】解：，且，
解得：；
，且，
解得：，
则方程变为，
解得：；
当满足，且时，解得时，
方程也是一元一次方程，
则方程变为，
解得：．
 

【解析】此题主要考查了一元一次方程的定义和一元二次方程的定义，关键是注意一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是．
根据一元二次方程的定义可得，且，解方程即可；
根据一元一次方程的定义可得，且，即可得到的值，当满足，且时，解得，再把的值代入原方程解方程可得的值．