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青岛版九年级上册3.7 正多边形与圆优秀课时训练

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这是一份青岛版九年级上册3.7 正多边形与圆优秀课时训练，共23页。试卷主要包含了7正多边形与圆同步练习，0分），5B，【答案】B，【答案】A，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前

3.7正多边形与圆同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

已知圆内接正六边形的边长为，半径为，边心距为，则：：

A. ：： B. ：： C. ：： D. ：：

如图，小明从点出发沿直线前进米到达点，向左转后又沿直线前进米到达点，再向左转后沿直线前进米到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点时所走的路程为

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

如图，将边长为的正六边形铁丝框面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形面积记为，则与的关系为

A. B. C. D.

已知是正六边形的外接圆，为上除、外任意一点，则的度数为

A.
B. 或
C.
D. 或

如图正六边形内接于，的半径为，则正六边形的边长为

A.
B.
C.
D.

如图，正五边形中，直线过点，且，现有以下说法：
是线段的垂直平分线；
；
正五边形有五条对称轴．
正确的有

A.
B.
C.
D.

边心距为的正六边形的面积为

A. B. C. D.

已知正方形和正六边形边长均为，把正方形放在正六边形中，使边与边重合，如图所示：按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第一次旋转；再绕点顺时针旋转，使边与边重合，完成第二次旋转连续经过六次旋转．在旋转的过程中，当正方形和正六边形的边重合时，点，间的距离可能是

A. B. C. D.

如图，将边长为的正六边形铁丝框面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形面积记为，则与的关系为

A. B. C. D.

已知正六边形的半径为，则此正六边形的面积为

A. B. C. D.

若同一个圆的内接正三角形、正六边形的边长分别记作，，则：等于

A. ： B. ： C. ： D. ：

图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面可近似看作正方形的外接圆，正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

如图，是的内接正六边形的一边，点在上，且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则______．

如图，与正五边形的两边，分别相切于，两点，则的度数为______度．

如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为______．

如图，正方形内接于，的半径为，以点为圆心，以为半径画弧交的延长线于点，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积是______．

如图，正方形内接于，的半径为，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

如图，是的内接等腰三角形．顶角，弦、分别平分、求证：五边形是正五边形．

如图，已知的内接正十边形，交，于，求证：

．
如图，半径为的与正五边形的边、相切于点、，求劣弧的长度．

如图，在等边三角形中．

请用尺规作图画出三角形的外接圆保留作图痕迹

若求的半径．

已知：如图，是的内接正三角形，点为劣弧上一动点．
求证：当点为的中点时，，，三点共线；
求证：；
已知：如图，四边形是的内接正方形，点为劣弧上一动点．求证：．

我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如图，将放在每个小正方形边长为的网格中，点、、均落在格点上．
用无刻度直尺画出的最小覆盖圆的圆心保留作图痕迹．
该最小覆盖圆的半径是______．
如图所示，在三角形纸片中，，数学实践课上，小敏用张这样的三角形纸片拼成了一个内外都是正五边形的图形如图所示，并通过上网查到以下几个数据：，，请你帮助她解决下列问题：

________；

求正五边形的边的长．

用圆规可以作出许多美丽的图案，传说拿破仑曾考他的大臣：只用圆规把圆四等分．有位大臣是这样回答的：
将半径为的六等分，依次得到，，，，，六个分点；
分别以点，为圆心，长为半径画弧，是两弧的一个交点；

根据大臣的作法，的长是多少？
请在图中，只用圆规把圆四等分．不写作法，保留作图痕迹

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：圆内接正六边形可分成六个全等的等边三角形，这样的等边三角形的边长与原正六边形的边长相等，
等边三角形的高与正六边形的边心距相等，
等边三角形的高是它的边长的倍，
所以：：：：．
故选：．
经过圆心作圆的内接正边形的一边的垂线，垂足是连接，则在直角中，是边心距，即半径根据三角函数即可求解．
本题考查了圆内接正六边形的边长，半径，边心距的关系．

2.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．
根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以米即可．
【解答】解：小明每次都是沿直线前进米后向左转度，
他走过的图形是正多边形，
边数，
他第一次回到出发点时，一共走了．
故选：．

3.【答案】

【解析】解：由题意：的长度，
，
，
，
故选：．
由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式弧长半径，可得结果．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．

4.【答案】

【解析】解：连接、，如图，
是正六边形的外接圆，
，
当点在弧上时，，
当点在弧上时，，
综上所述，的度数为或．
故选：．
连接、，如图，利用正六边形的性质得到，讨论：当点在弧上时，根据圆周角定理得到，当点在弧上时，利用圆内接四边形的性质得到．
本题考查了正多边形与圆：熟练掌握正多边形的有关概念和正多边的性质．也考查了圆周角定理．

5.【答案】

【解析】解：正六边形内接于，的半径为，
而正六边形可以分成六个边长的正三角形，
正多边形的半径即为正三角形的边长，
正三角形的边长为，
正六边形的边长为，
故选：．
由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，同时也是正六边形的边长．
此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题关键是根据正六边形可以分成六个边长的正三角形解答．

6.【答案】

【解析】

【分析】
根据轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形等知识解答即可
本题考查了轴对称的性质、正多边形的性质、全等三角形；会利用以上知识综合解题是关键．
【解答】
解：

五边形为正五边形．
，，
为等腰三角形．
故正确．
．
．
．
又．
．
和为直角三角形．
在和中

．
．
是线段的垂直平分线故正确．
正五边形有五条对称轴，正确；
综上所述都正确．
故选D．

7.【答案】

【解析】解：如图所示，
图中是正六边形，
．
，
是等边三角形．
，
，，
．
，
，
正六边形的面积．
故选：．
根据题意画出图形，先求出的度数，证明是等边三角形，得出，再根据直角三角形的性质求出的长，再根据即可得出结论．
本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质，求出的面积是解答此题的关键．

8.【答案】

【解析】解：如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的红线，

观察图象可知点，间的距离大于等于小于等于，
当正方形和正六边形的边重合时，点，间的距离可能是或，
故选：．
如图，在这样连续次旋转的过程中，点的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点，间的距离大于等于小于等于，由此即可判断．
本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．

9.【答案】

【解析】解：由题意：，
，
，
，
故选：．
由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式弧长半径，可得结果．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．

10.【答案】

【解析】解：设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，则是正三角形．
，
则，
则正六边形的面积为．
故选：．
设是正六边形的中心，是正六边形的一边，是边心距，则是正三角形，的面积的六倍就是正六边形的面积．
本题考查了正多边形的计算，理解正六边形被半径分成六个全等的等边三角形是关键．

11.【答案】

【解析】解：设圆的半径是，
则多边形的半径是，
如图，则内接正三角形的边长，

如图，正六边形的边长是，

因而半径相等的圆的内接正三角形、正六边形的边长之比：：．
故选：．
从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得．
本题考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

12.【答案】

【解析】解：连接，
设正方形的边长为，
四边形是正方形，
，
为圆的直径，
，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为：，
故选：．
连接，根据正方形的性质得到，根据圆周角定理得到为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
本题考查的是正多边形和圆，掌握圆周角定理、正方形的性质是解题的关键．

13.【答案】

【解析】解：连接，
是内接正六边形的一边，
，
是内接正十边形的一边，
，
，
；
故答案为：．
根据中心角的度数边数，列式计算分别求出，的度数，则，则边数中心角．
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正十边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．

14.【答案】

【解析】解：与正五边形的两边，分别相切于，两点，
，，
，
，

故答案为．
根据，求出，即可；
本题考查正多边形与圆、切线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

15.【答案】

【解析】解：连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故答案为：．
连接，，根据圆周角定理得到，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：利用对称性可知：阴影部分的面积扇形的面积的面积，
故答案为：
利用对称性可知：阴影部分的面积扇形的面积的面积．
本题考查扇形的面积公式、正方形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．

17.【答案】

【解析】解：连接，，则，，
的弧长为，
故答案为．
连接，，根据弧长公式即可求解．
此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用弧长公式即可解决问题．

18.【答案】证明：在中，，，
．
、分别平分、，
．
．
．
，．
．
五边形是正五边形．

【解析】本题主要考查等腰三角形的性质和正多边形的判定方法，熟练掌握等弧所对的弦相等是解决问题的关键根据条件推出，然后得到等弧后推出边和角分别相等，即可证明五边形是正五边形．

19.【答案】证明：如图，连接，，则，
．

又，
．
．
，，
．
．
．
，，
．
，
．
又，
．．
又，
．
．

【解析】见答案

20.【答案】解：与正五边形的边、相切于点、，
，，，
，
，
的半径为，
劣弧的长度为：

【解析】先根据切线的性质和正五边形的性质求得的度数，再利用弧长公式进行计算即可．
本题考查了正多边形和圆、切线的性质以及弧长公式，熟练掌握正五边形的性质和切线的性质，求出的度数是解题的关键．

21.【答案】解：如图所示：即为所求．

如上图
连结，作于点，则
是等边三角形，
，，
在中，设，
则

故的半径为．

【解析】此题主要考查等边三角形的性质及三角形外接圆的作法和勾股定理及含角的直角三角形的性质
直接利用外接圆的作法作出三角形任意两边的垂直平分线，进而得出外接圆圆心，进而得出答案；
利用等边三角形的性质结合勾股定理得出答案．

22.【答案】证明：是的内接正三角形．
，
又点为的中点，
，
，
，
为的直径，
即、、三点共线．
延长至，使，连接，如图，
、、、四点共圆，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
又，，
，
、为等边三角形，
，，
在和中，
，
≌，
．
过点作交于，如图，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．

【解析】根据是的内接正三角形．得到，由点为的中点，得到，再求得，可知为的直径，故可得，，三点共线；
延长至，使，连接，证明是等边三角形，利用，，，得到≌，即可证得结论；
过点作交于，证明≌，可得出．
本题主要考查了全等三角形判定和性质，正多边形和圆的有关知识，熟练掌握全等三角形判定和性质等相关知识，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．