初中数学青岛版九年级上册3.1 圆的对称性精品随堂练习题

绝密★启用前

3.1圆的对称性同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的半径为，弦，且，，则与之间的距离为

A.  B.  C. 或 D. 或

2. 如图，，是的两条弦，，垂足为，若的直径为，，则的长为

A.
B.
C.
D.

3. 如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为

A.
B.
C.
D.

4. 如图，在半径为的中，弦与交于点，，，，则的长是

A.
B.
C.
D.

5. 已知为内一点，，如果的半径是，那么过点的最短弦长是

A.  B.  C.  D.

6. 已知锐角，如图，
   在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；
   分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，；
   作射线交于点．
   根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是

A.  B.
C.  D.

7. 下列说法中，正确的是

A. 周长相等的圆是等圆 B. 过任意三点可以画一个圆
C. 相等的圆心角所对的弧相等 D. 平分弦的直径垂直于弦

8. 已知的半径为，弦的弦心距为，则的长是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知的半径为，弦的长为，是的延长线上一点，，则等于

A.
B.
C.
D.

10. 下列语句，错误的是

A. 直径是弦 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 弦的垂直平分线一定经过圆心 D. 平分弧的半径垂直于弧所对的弦

11. 如图是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，直线交圆于，，则圆的半径为

A.
B.
C.
D.

12. 如图，已知中，半径垂直于弦，垂足为，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 已知的直径为，，是的两条弦，，，，则与之间的距离为______．
14. 如图，是的弦，长为，是上一个动点不与、重合过点作于点，于点，则的长为______．
    
     

15. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，则的长为______．
     

16. 我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺尺寸问这根圆形木材的直径是______寸．
17. 如图，在中，，，点为上一点，作交于点，点关于的对称点为点，以为半径作恰好经过点，并交直线于点，则的值为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 已知：的半径为，弦为，求弦中点到它所对劣弧中点的距离．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，为的直径，，是半圆上两点，且，
    求的长度；
    证明．
    
     

20. 如图，、、、是上四点，且，求证：．
    
    
     

21. 如图，在中，点是的中点，弦与半径相交于点，，，求半径的长．
    
     

22. 如图，在两个同心圆中，“，“，这种说法对吗？请说明理由．
    
     

23. 如图，与是等圆，是的中点，过点的直线交于，两点，交于，两点，则与有怎样的关系，为什么？

24. 如图，在中，弦所对劣弧为圆的，圆半径为，求的长及的大小．
    
     

25. 已知：如图，是的直径，是弦，，垂直于的延长线，垂足分别为，求证：．
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：当、在圆心两侧时；
过作交于点，过作交于点，连接、，如图所示：
半径，弦，且，，
，，，、、在一条直线上，
在中，由勾股定理可得：

，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
与的距离为；
当、在圆心同侧时；
过作交于点，过作交于点，连接、，如图所示：
同可得：，；
则与的距离为：．
故选：．
过作交于点，过作交于点，连接、，由题意可得：，，，、、在一条直线上，为、之间的距离，由勾股定理求出、的长，然后分、在圆心的同侧和异侧两种情况求得与的距离．
本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键，要注意有两种情况．
 

2.【答案】
 

【解析】解：连接，

，过，，
，，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出长是解此题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】分析
连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
本题考查垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
详解
解：如图，连接．

，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，设，
在中，则有，
解得，
，
故选C．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是垂径定理、勾股定理以及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点作于点，于，连接、、，由垂径定理得出，，得出，由勾股定理得出，
证出是等腰直角三角形，得出，，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】
解：过点作于点，于，连接、、，如图所示：

则，，
，
在中，，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，，
；
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】解：如图；过作，交于，连接；
中，，，
由勾股定理，得：；
；
故选D．
过点作垂直于的弦，连接，由勾股定理可求出的长，进而可由垂径定理得到弦的长即过点的最短弦长．
此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用，能够正确的判断出过点的最短弦的位置是解答此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由作图可知：射线即为的角平分线，
，
故C正确，不符合题意；

由作图可知：，，
是的垂直平分线，
，
故D正确，不符合题意；

由作图可知：，
是等边三角形，
，
，
故B正确，不符合题意；

，
当时，，
，
，
故A错误，符合题意；
故选：．
由作图知，，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．
本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握角平分线这个基本作图，属于中考常考题型．
 

7.【答案】
 

【解析】解：、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项正确；
B、经过任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故本选项错误；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；
D、平分弦的直径垂直于弦非直径，故本选项错误．
故选：．
A、周长相等的两个圆，半径就相等，就能重合，所以是等圆；
B、利用确定圆的条件进行分析解答；
C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
D、根据垂径定理即可得出结论．
本题考查的是对圆的认识，主要考查的是直径，弦，弧，半圆，等弧，等圆，这几个基本概念．对这几个基本概念作出正确的理解，然后进行判断．
 

8.【答案】
 

【解析】解：的半径为，弦的弦心距为，
．
故选D．
根据垂径定理可知半径、弦心距、弦的一半构建成一个直角三角形，运用勾股定理求解．
本题考查了垂径定理和勾股定理．解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分弦过作于，根据垂径定理求出、，根据勾股定理求出，根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：过作于，

则，
，过，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
故选D．  

10.【答案】
 

【解析】解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：．
根据圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆的有关概念判断即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握圆的有关概念、垂径定理是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：连接，

是的弦的中点，
根据垂径定理：，
设圆的半径是，
在中，有，
即：，
解得：，
所以圆的半径长是．
故选：．
因为是的弦的中点，根据垂径定理，，在中，有，进而可求得半径．
此题主要考查了垂径定理的应用，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为，弦长为，这条弦的弦心距为，则有等式成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
 

12.【答案】
 

【解析】解：根据勾股定理得
根据垂径定理得
故选：．
利用垂径定理和勾股定理计算．
考查了垂径定理和勾股定理的运用．
 

13.【答案】或
 

【解析】解：作于，延长交于，连接、，如图，
，，
，
，，
在中，，
在中，，
当点在与之间时，；
当点不在与之间时，；
综上所述，与之间的距离为或．
故答案为或．
作于，延长交于，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点在与之间时，；当点不在与之间时，．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．
 

14.【答案】
 

【解析】解：于点，于点，
，，
是的中位线，
；
故答案为：．
根据垂径定理得到，，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是垂径定理，三角形中位线定理；熟练掌握垂径定理和三角形中位线定理是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：过点作于点，
则，
，，，
，
，
，
，
，
故答案为．
首先过点作于点，由，，，可求得的长，又由直角三角形斜边上的高等于两直角边乘积除以斜边，即可求得的长，由勾股定理求得的长，然后由垂径定理求得的长．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由题意可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
，
则中，根据勾股定理可得：，
解得：，
木材直径为寸；
故答案为：．
根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．
本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度．如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图，连接交于点，延长交于，连接，．

，
，
，
，
，
设，
在中，则有，
，
，
，关于对称，
，，
，
，
故答案为．
如图，连接交于点，延长交于，连接，解直角三角形求出，设，在中，利用勾股定理求出，再在中，求出即可解决问题．
本题考查垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：如图．作半径于，连接，
弦为，
，，
在中，，
，
即弦中点到它所对劣弧中点的距离为．
 

【解析】如图．作半径于，连接，利用垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出，然后计算出即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
 

19.【答案】解：连接，，
为的直径，，
．
，
，
是等边三角形，
；

由知，
、与均是等边三角形，
，
．
 

【解析】连接，，先根据得出，故可得出的长；
根据中，可知、与均是等边三角形，故，由此可得出结论．
本题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造等边三角形是解答此题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
．
 

【解析】想办法证明即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：连接，

点是弧的中点，半径与相交于点，
，
，
，
设的半径为，
，
在中，由勾股定理得：，
即：，

的半径长为．
 

【解析】连接，根据垂径定理求出，，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形后根据勾股定理得出方程．
 

22.【答案】解：这种说法错误．
理由：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等．
两个同心圆的半径不等，所以结论错误．
 

【解析】根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，判断即可．
本题考查圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：，
理由如下：作于，于，
在和中，
，
≌
，
．
 

【解析】作于，于，证明≌，根据全等三角形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么它们所对的弧相等是解题的关键．
 

24.【答案】解：作于，
劣弧为圆的，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
．
 

【解析】作，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据垂径定理解答即可．
本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、直角三角形的性质、勾股定理，利用圆心角、弧、弦的关系定理求出的度数是解题的关键．
 

25.【答案】证明：过点作于点，如图所示：
则，
，，，
，
是的直径，
，
是梯形的中位线，
，
，
即．
 

【解析】过点作于点，根据垂径定理可知，再证出，然后证出是梯形的中位线，即可解决问题．
本题考查的是垂径定理以及梯形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用垂径定理及梯形中位线定理求解是解答此题的关键．