初中数学青岛版九年级上册2.1 锐角三角比优秀习题
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2.1锐角三角比同步练习
青岛版初中数学九年级上册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，菱形的对角线交于点，过点作于点，连接若，，则
A.
B.
C.
D.
- 在中，，，则的值为
A. B. C. D.
- 如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别与，交于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部相交于点，作射线，交边于点若，则的长为
A. B. C. D.
- 如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为
A.
B.
C.
D.
- 如图，已知的三个顶点均在格点上，则的值为
A. B. C. D.
- 若放在正方形网格纸的位置如图所示，则的值为
A. B. C. D.
- 中，若，，，则的值是 ．
A. B. C. D.
- 在中，，若，则的值是
A. B. C. D.
- 如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，，，则下列结论中正确的是
A.
B.
C.
D.
- 在中，，，，则的值是
A. B. C. D.
- 在中，若，，则的值为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 如图，矩形中，点，分别在边，上，连接，，，将和分别沿，折叠，使点，恰好落在上的同一点，记为点若，，则______．
- 如图，在中，，于点，，，则______．
|
- 如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______．
|
- 在中，，若，则______．
- 如图，在四边形中，，，，，则__________．
|
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
- 如图，在中，，点在边上，，点为垂足，，，．
求的长；
求的正弦值．
- 如图，在中，是边上的高，是边上的中线，，，．
求的长；
求的值．
- 如图，在中，，，，求的值．
|
- 如图，中，，．
求的值；
点、分别在边、上，沿折叠，使得点落在边上，记为点若以、、为顶点的三角形与相似，求的长．
- 如图，在▱中，过点作于点，于点，且．
求证：▱是菱形；
若，，求菱形的面积．
- 如图，定义：在直角三角形中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作，即，根据上述角的余切定义，解下列问题：
若，则
若，其中为锐角，试求的值．
- 把记作，根据图完成下列各题．
， ，
观察上述等式猜想：在中，，总有
如图，在中证明题中的猜想
已知在中，，且，求的值．
- 如图所示，在中，，，于，，求，的值．
|
- 如图，在中，，为上的一点，，求的三角函数值．
|
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查菱形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数的定义，根据菱形的性质求解是解题关键根据菱形的性质可得出和的长，以及，进而利用勾股定理求出的长，然后得出，即可得出，再利用直角三角形的性质得出，从而得出，即可得出结论．
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
根据勾股定理可得，
，
，
．
，
，
，
，
．
是的中点，
，
，
，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查解直角三角形以及锐角三角函数的定义．
根据，设，则，表示出，利用锐角三角函数的定义求解即可．
【解答】
解：
在中，，，
设，则，
，
．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的作法与定义、平行线的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义熟记平行四边形的性质是解决问题的关键．
根据作图过程可得得平分，再根据角平分线的定义和平行四边形的性质可证明，进而得到，再根据，由等腰三角形的性质得到，由锐角三角形函数的定义，结合求出即可求解．
【解答】
解：根据作图的方法可得平分，过点作于点，如下图，
平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
，
，
在中
，
，
．
故选C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理，作出适当的辅助线，构建直角三角形是解答此题的关键．如图所示，连接，根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，且，然后求出和的长，利用锐角三角形函数的定义得到，代入计算即可．
【解答】
解：如图所示，连接，
，，，，
是直角三角形，且，
，，
．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键 连接，根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】
解：设每个小正方形的边长为连结，如图，
，，，
，
是直角三角形，且，
，，
所以，
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理以及锐角三角函数定义，关键是证明．
连接，再利用勾股定理分别计算出、、的长，然后再根据勾股定理逆定理证明，再利用三角函数定义可得答案．
【解答】
解：连接，设小正方形的边长为，
则，
，，
，
，
．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义的应用，注意：，
根据锐角三角函数的定义得出，把的值代入求出即可．
【解答】
解：，
，
，
，
，
故选：
8.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查解直角三角形，根据角的直角三角形的性质和锐角三角形的定义及特殊角的三角函数值求解．
【解答】
解：，，
，
，
故可得．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．首先连接，由题意易得，∽，然后由相似三角形的对应边成比例，易得：：，即可得：：，在中，即可求得的值，继而求得答案．
【解答】
解：如图，连接，
四边形是正方形，
，，，，
，
根据题意得：，
∽，
：：：，
：：，
，
在中，，
，
．
故选A．
10.【答案】
【解析】在中，，，
设，，则，
故，故A选项错误
，故B选项错误
，故C选项错误
，故D选项正确．
故选D．
11.【答案】
【解析】中，，，，
，
．
故选D．
12.【答案】
【解析】解：在中，，
是锐角，
，
设，，由勾股定理得，
．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
根据折叠的性质结合勾股定理求得，，证得∽，求得，再利用勾股定理得到的长，即可求解．
【解答】
解：矩形中，，，，
，
根据折叠的性质：，，，，，，，
，，
，点，点，点三点共线，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
故答案为：．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数的定义的有关知识，先利用相似三角形的判定和性质求出，然后再利用勾股定理求出，最后利用锐角三角函数的定义进行求解即可．
【解答】
解：，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直角三角形的边角关系，理解直角三角形的边角关系是正确的答案的解释，作高构造直角三角形是常用的方法。过点作，由平行线平分线段定理可得是的中点，再根据三角函数的意义，可求出答
案。
【解答】
解：过点作，垂足为，
，，
，
又点为边的中点，
是的中点，
，
，
，
在中，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示各边长是解题关键．直接根据题意表示出三角形的各边，进而利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】
解：如图所示：
，，
设，则，故AB，
则．
故答案为．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查是矩形的判定与性质，锐角三角函数定义有关知识，过点作于点，于，可得四边形为矩形，根据，可得出，根据，可求得，，在中，根据，分别求出，的长度，然后在中，求出的长度，继而可求出的长度．
【解答】
解：过点作于点，于，
则有四边形为矩形，，，
，
，
，
，，
在中，
，
，，
，
，
则，
．
故答案为．
18.【答案】解：，
，
又，
，
在中，，，
，
设，那么，，
，
，
解得：，
；
在中，由勾股定理，得，同理得，
在中，由，可得，
，
，
，即的正弦值为．
【解析】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
由题意得到三角形为等腰直角三角形，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出与之比，设出与，由求出各自的值，确定出即可；
在直角三角形中，利用勾股定理求出与的长，根据的值求出的值，确定出的长，由求出的长，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
19.【答案】解：是边上的高，
，
在中，
，
又，
，
，
在中，
，
，
；
是边上的中线，
，
．
【解析】本题主要考查锐角三角函数的定义，掌握好锐角三角函数方面的有关知识是解题的关键．
根据是边上的高，得出得出，根据勾股定理得出，得出，便可得出结果；
根据是边上的中线，得出，根据正切的定义便可得出结果．
20.【答案】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
所以，，
所以．
答：的值为．
【解析】根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数求出、，计算得出答案．
本题考查勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．
21.【答案】解：作于点，
在中，，于点，，
，
由勾股定理得，
在中，，，
；
由折叠的性质得，
设，则，，
如图，当∽时，
，
即，
；
如图，当∽时，
，
即，
，
．
综上；的长为或．
【解析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质：有两个角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．注意分类讨论的思想应用，不能漏解．
作，由在中，，，可以求得的长，由勾股定理可以求得的长，利用锐角三角函数的定义，可以求得的值．
设，则，，分两种情况：当∽时，当∽时，利用对应边成比例即可求出的值，即的长．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
，
又，
≌．
，
四边形是菱形．
连接，如图．
，，，
，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
在中，，
菱形的面积．
【解析】本题考查菱形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
只要证明≌可得即可解决问题．
连接，在，根据计算得出，进而利用菱形的面积公式解答即可．
23.【答案】解析中，，
，
，
．
，
设，，
．
【解析】见答案
24.【答案】 ，
，
．
．
证明：在中，，，且，
，
即．
在中，，，
，，
解得或舍，．
【解析】见答案
25.【答案】解：因为，，，，
所以在中，，
所以在中，．
在中，．
在中，．
【解析】见答案．
26.【答案】解：在中，，，
，
又，
，
则，
，
．
【解析】见答案．
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