青岛版九年级上册1.3 相似三角形的性质精品同步测试题
展开绝密★启用前
1.3相似三角形的性质同步练习
青岛版初中数学九年级上册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 两个相似三角形的对应边分别是和，它们的周长相差，则这两个三角形的周长分别是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 两个相似三角形的对应边分别是和，它们的周长和，则这两个三角形的周长分别是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
- 如图，在中，，动点、分别在直线上运动，且始终保持设，，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为
A. B. C. D.
- 两相似三角形的周长之比为：，那么它们对应边上的高之比是
A. ： B. ： C. ： D. ：
- 已知∽，面积比为：，则与的对应角平分线之比为
A. ： B. ： C. ： D. ：
- 的三边长分别为，，，的两边长分别为和，如果∽，那么的第三边长是下列数中的【 】
A. B. C. D.
- 如图，∽，且相似比为，则一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是
A. B. C. D.
- 如图，已知平面直角坐标系中的四点、、、若点在轴上，且、、所围成的三角形与、、所围成的三角形相似，则所有符合上述条件的点的个数是
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，点，分别是边，上点，连结，将沿翻折得到，点的对称点恰好落在边上，若以点，，为顶点的三角形与相似，则的长为
A. B. C. D.
- 如图，▱中，，，对角线，相交于点，且，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的是
A.
B. 四边形是平行四边形
C.
D. 的面积是的面积的倍
- 已知两个直角三角形的三边长分别为，，和，，，且这两个直角三角形不相似，则的值为
A. 或 B.
C. D.
- 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最长边长为，则它的最短边为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 若∽，且相似比是：，它们周长之和是，则的周长是______．
- 如图，若内一点满足，则称点为的布罗卡尔点，已知中，，，为的布罗卡尔点，若，则______．
- 如图，在中，，，，点从点出发，以秒的速度向点移动，同时点从点出发，以秒的速度向点移动，设运动时间为秒，当 秒时，与相似．
|
- 矩形中，，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，若是等腰三角形，则的长为______．
- 已知∽，，，那么中的度数为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
- 已知：如图，∽求证：∽．
|
- 如图所示，为平行四边形边延长线上的一点，连接交于，交于，请说明．
|
- 如图，在中，点在边上，点在边上，．
求证：∽；
若，，求的长．
- 四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似不全等，我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”．
如图，在四边形中，，，，当时．求证：对角线是四边形的“理想对角线”．
如图，四边形中，平分，当与满足什么关系时，对角线是四边形的“理想对角线”，请说明理由．
- 已知：中，．
如图，若，，线段为线段、的比例中项，且∽，求的面积；
如图，请利用没有刻度的直尺和圆规，在线段上找一点，使得点到边的距离等于注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注．
- 如图，，，，，，点在上移动，当以，，为顶点的三角形与相似时，求的长．
- 如图是一个的网格图，每个小正方形的边长均为，三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫做格点三角形，图中格点的三边长分别为，、，请在网格图中画出三个与相似但不全等的格点三角形，并求出与相似的格点三角形的最大面积．
- 如图，直线表示一条东西走向的笔直公路，四边形是一块边长为米的正方形草地，点，在直线上，小明从点出发，沿公路向西走了若干米后到达点处，然后转身沿射线方向走到点处，接着又改变方向沿射线方向走到公路上的点处，最后沿公路回到点处设米其中，米，已知与之间的函数关系如图所示，
求图中线段所在直线的函数表达式；
试问小明从起点出发直至最后回到点处，所走过的路径即是否可以是一个等腰三角形？如果可以，求出相应的值；如果不可以，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：两个相似三角形的对应边分别是和，
其周长的比为：：：，
设其周长分别为：，，
它们的周长相差，
，
解得：，
这两个三角形的周长分别是：，．
故选：．
2.【答案】
【解析】【解析】：根据题意两个三角形的相似比是：，周长比就是：，大小周长相差份，所以每份的周长是，
所以两个三角形的周长分别为，．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数图象与相似三角形的综合注意本题不一定要通过求解析式来解决．能够根据角度的关系，联想到∽是解决本题的关键．根据是等腰三角形，，则根据三角形的外角等于不相邻的两内角的和，得到，得到∽，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得与的函数关系式，即可进行判断．
【解答】
解：中，，
又
中：
同理：
∽
，即．
则函数解析式是．
故选A．
4.【答案】
【解析】解：两相似三角形的周长之比为：，
两相似三角形的相似比为：，
它们对应边上的高之比等于相似比：，
故选：．
根据相似三角形的周长比等于相似比，对应边上的高的比等于相似比解决问题即可．
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
5.【答案】
【解析】解：∽，与的面积比为：，
与的相似比为：，
与对应角的角平分线之比为：，
故选：．
根据相似三角形的性质求出相似比，得到对应角的角平分线之比．
本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．根据题中数据得到，则的对应边的长为，由此列比例式求解即可．
【解答】
解：设的第三边长为，
的三边长分别为，，，的两边长分别为和，∽，
，
解得．
即的第三边长为．
故选A．
7.【答案】
【解析】 ∽，且相似比为，
，
一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标分别为，，
一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积是．
故选D．
8.【答案】
【解析】设，结合已知可得，
，，，，，
则有两种情况：∽和∽．
当∽时，
，即，
整理得，，
，
解得或，则或
当∽时，
，即，
整理得，，解得，则或．
综上，符合条件的点的个数为．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
根据折叠的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：将沿翻折得到，
，
，
，
以点、、为顶点的三角形与相似，
或，即或，
解得：或，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的面积、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】
解：，，，分别是，，，的中点，在▱中，，，
，，
，故选项A错误；
，，，分别是，，，的中点，
，
四边形是平行四边形，故选项B正确；
由题目中的条件，无法判断和是否垂直，故选项C错误；
点、分别为和的中点，
，，
，
即的面积是的面积的倍，故选项D错误，
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键．直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案。
【解答】
解：当，为直角边，，也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意
当三边分别为，，，和，，，此时两三角形相似，不合去
当，为直角边，则为另一三角形的斜边，其直角边为：，
故
当，为直角边，则为另一三角形的斜边，其直角边为：，
故
故选A
12.【答案】
【解析】解：设另一个三角形的最短边长为，
根据题意，得：，
解得：，
即另一个三角形的最短边的长为．
故选：．
根据相似三角形的对应边成比例求解可得．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
13.【答案】
【解析】解：与的相似比为：，
的周长：的周长：，
的周长．
故答案为：
根据相似三角形的性质得的周长：的周长：，然后把它们周长之和是代入可计算出的周长．
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形多边形的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段对应中线、对应角平分线、对应边上的高的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
14.【答案】
【解析】解：作于．
，，，
，，，
，
，
，
∽，
，
，
，，
故答案为：
作于首先证明，再证明∽，可得，即可求出、；
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰三角形的性质，角三角函数等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题．
15.【答案】或．
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，难点在于分情况讨论．
分和是对应边，和是对应边两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
【解答】
解：由题意得，，，
当和是对应边时，∽，
所以，，
即，
解得；
当和是对应边时，∽，
所以，，
即，
解得，
综上所述，当秒或秒时，与相似．
故答案为或．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出，分、两种情况，根据相似三角形的性质计算．
本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
【解答】
解：四边形为矩形，
，
，
当时，，
∽，
，即，
解得，
当时，点为的中点，
，
故答案为：或．
17.【答案】
【解析】解：，，
，
∽，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理求出，根据相似三角形性质推出，即可得出答案．
本题考查了三角形内角和定理，相似三角形性质的应用，主要考查学生的推理能力，难度不大．
18.【答案】证明：∽，
，
，
而，
∽．
【解析】先利用∽得到，再利用比例性质得，加上，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了相似三角形的性质．
19.【答案】证明：，∽．
：：；
，∽．
：：．
：：，即
．
【解析】即证：：由得∽，有：：；由得∽，有：：．
问题得证．
此题考查了相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定难度．证线段的乘积相等，通常转化为比例式形式，再证明所在的三角形相似．
20.【答案】解：证明：，
，
，
，
∽；
由得∽，
，
，，，
【解析】本题考查了相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，掌握好基本性质及定理是解题的关键．
由等腰三角形性质得出，由等角的补角相等可得出，结合，即可证出∽；
根据相似三角形的性质得出，即可得出结果．
21.【答案】证明：如图中，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
是四边形的“理想对角线”．
解：如图中，当时，对角线是四边形的“理想对角线”．
理由：平分，
，
，，
，
∽，
对角线是四边形的“理想对角线”．
【解析】利用两角对应相等证明∽，可得结论．
如图中，当时，对角线是四边形的“理想对角线”证明∽，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，四边形的“理想对角线”的定义等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．
22.【答案】解：线段为线段、 的比例中项
∽
，即
，
如图所示，作的平分线，交于，作的垂直平分线，交于，则点即为所求，
【解析】根据线段为线段、 的比例中项，求出，再根据勾股定理求出，根据相似求出，，再利用面积公式求解即可；
作的平分线，交于，作的垂直平分线，交于，则，而，故FG，即点到边的距离等于．
本题主要考查了复杂作图，勾股定理，相似三角形的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23.【答案】解：设，则，
若∽，则有，
，
；
若∽，则有，
，
或，
或．
综上所述，或或．
【解析】本题考查相似三角形的性质有关知识．
分两种情形讨论：∽，∽，分别列出方程即可解决问题．
24.【答案】解：如图所示：
如下图所示，格点三角形的面积最大，最大为．
【解析】本题主要考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的判定方法得出是解题关键．把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
依据格点的三边长分别为，、，将该三角形的各边扩大或缩小一定倍数，即可画出与相似但不全等的格点三角形，进而得出与相似的格点三角形的最大面积．
25.【答案】解：设线段所在直线的函数表达式为，
将、代入，
，解得：
线段所在直线的函数表达式为；
分三种情况考虑：
考虑是否成立，连接，如图所示．
，，，
．
又，
，
，
，
；
考虑是否成立．
四边形是正方形，
，
．
假设成立，则成立，
．
，，
，
．
在中，，，，
，
解得：不合题意，舍去，；
考虑是否成立．
同理，假设成立，则成立，
．
在中，，，，
，
解得不合题意，舍去，不合题意，舍去．
综上所述：当时，是一个等腰三角形．
【解析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；分、及三种情况求出的值．
初中数学青岛版九年级上册第1章 图形的相似1.3 相似三角形的性质测试题： 这是一份初中数学青岛版九年级上册第1章 图形的相似1.3 相似三角形的性质测试题，共7页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
数学1.3 相似三角形的性质优秀达标测试： 这是一份数学1.3 相似三角形的性质优秀达标测试，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
青岛版九年级上册1.3 相似三角形的性质优秀课后作业题： 这是一份青岛版九年级上册1.3 相似三角形的性质优秀课后作业题，共6页。试卷主要包含了5 B．5等内容，欢迎下载使用。
