初中数学2.2 30°，45°，60°角的三角比优秀课堂检测

绝密★启用前

2.2   45∘   60°   角的三角比同步练习

青岛版初中数学九年级上册

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 在中，，则的形状是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

3. 在中，若，则的度数为  

A.  B.  C.  D.

4. 已知为锐角，下列结论：若，则A.
   其中正确的有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5. 下列式子正确的是   

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，，，为上一点且，于，连接，则的值等于   

A.  B.  C.  D.

7. 下列计算结果不是有理数的是   

A.  B.
C.  D.

8. 下列式子正确的是   

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，使得点恰好落在上，则线段的长为    

A.  B.  C.  D.

10. 如图，中，为边的中点，，，，，则 

A.
B.
C.
D.

11. 如图，，，，如果，，则的面积是

A.
B.
C.
D.

12. 若，则的形状是

A. 等边三角形 B. 顶角为的等腰三角形
C. 直角三角形 D. 含有的锐角三角形

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则________．

14. 如图，在中，，，为的中位线，延长至，使，连接并延长交于点若，则的周长为______．
     

15. 在中，若，则的度数是          ．
16. 如图，，两点的坐标分别为，，将线段绕点顺时针旋转得到线段若点恰好落在轴的负半轴上，则旋转角为______．

17. 锐角满足，则          度

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
19. 己知：如图，在中，于点，，，，点是上一点，，连接与交于点．
     

求的长；

求证：；

求证：．






 

20. 计算：；
    化简求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 计算：；
    如图，点，，在同一直线上．求证：∽．

22. 计算：．
    解不等式组：．
    
    
    
    
    
    
     
23. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
24. 计算：．
    先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
25. 计算：；
    已知：如图，在中，平分，，．
    求证：四边形为菱形．
    
     

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：因为，所以，因此选项A符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C 不符合题意；
D.，因此选项D 不符合题意；
故选：．
根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．
本题考查零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法，掌握零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法的计算方法是正确判断的前提．
 

2.【答案】
 

【解析】解：，
，，
即，，
，
即为直角三角形，
故选：．
计算出和的角度来即可确定．
本题考查特殊角三角函数，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是特殊三角函数的值，绝对值非负性，偶次方非负性有关知识，根据题意可得，即可解答．

【解答】
解：由题意可得：
，，
解得：，，
，，
．
故选D．

4.【答案】
 

【解析】略
 

5.【答案】
 

【解析】解：，因此选项A符合题意
，因此选项B不符合题意
，因此选项C不符合题意
，因此选项D不符合题意．
 

6.【答案】
 

【解析】略
 

7.【答案】
 

【解析】A.原式，结果是有理数
B.原式，结果是无理数
C.原式，结果是有理数
D.原式，结果是有理数．
故选B．
 

8.【答案】
 

【解析】 ，，
选项A错误 
，，
选项B错误
 ，
选项C正确
，
选项D错误．
故选C．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．由锐角三角函数可求，由旋转的性质可求，，，，，，可证是等边三角形，由勾股定理得，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，

，，，
，
在中，，
，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转一定的角度得到，
，，，，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，
，，
，
．
故选C．  

10.【答案】
 

【解析】略
 

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了三角形相似的性质和判定、等腰直角三角形的性质、三角形的面积、勾股定理的知识点，解题关键点是熟练掌握这些性质．
由于中，，，设，则，根据勾股定理，列出关于方程，解出，再计算的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
【解答】
解：设，则，
，，
，，
即，
∽∽，
设，，
则有以下等式：
：：，
：：，
：：，
整理得，，
，
，
，
解得，；
，
，
．
故选B．  

12.【答案】
 

【解析】解：，
又，，，
，
，，
，
是顶角为的等腰三角形．
故选：．
利用非负数的性质求出，即可判断．
本题考查等腰三角形的判定，非负数的性质，特殊角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形外角性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，正确作出图形是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，即可解答．
【解答】
解：如图，

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
故答案为．  

14.【答案】
 

【解析】解：在中，，
，
，
是中位线，
在中，利用勾股定理求出，
．
，
．
周长．
故答案为．
在中，求出，，在中用表示出长，并证明，从而转化到上，根据周长可求周长．
本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、中位线定义，解决此题关键是转化三角形中未知边到已知边长的线段上．
 

15.【答案】
 

【解析】，

，，
，，
．
故答案为．

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了坐标和图形的知识，旋转的性质，锐角三角函数的知识．
先求出，，得出，得出，再求出的度数，即可解答．
【解答】
解：，，
，
由旋转的性质可得：
故答案为  

17.【答案】
 

【解析】略
 

18.【答案】解：
 

【解析】先化简各式，再算乘法，最后从左到右进行加减即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
 

19.【答案】解：于点，，，
，
，
．
证明：，，，
，，
，
，
∽，
．
证明：作于点，

于点，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，关键是找准直角三角形灵活运用勾股定理．
利用勾股定理求出的长，即可求得的长；
根据，，证明∽，从而可得；
作于点，利用勾股定理及面积法求得，进而得到，即可得出．
 

20.【答案】解：

；




，
当时，原式．
 

【解析】先化简，然后合并同类项即可；
根据分式的减法可以将题目中的式子化简，然后将的值代入化简后的式子即可．
本题考查分式的化简求值、实数的运算，解答本题的关键是明确分式的混合运算的计算方法和实数的运算的计算方法．
 

21.【答案】解：


；

证明：如图，
，，
．
又，
∽．
 

【解析】先计算特殊值的三角函数、零指数幂以及分母有理化，然后计算加减法；
由“两角法”证得∽．
本题主要考查了相似三角形的判定，实数的运算，零指数幂以及特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：原式
；

解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．
 

【解析】先化简二次根式、计算零指数幂、代入三角函数值、计算绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的混合运算、解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

23.【答案】解：原式，
，
．
 

【解析】首先代入特殊角的三角函数值，然后再计算即可．
此题主要考查了实数运算，关键是掌握特殊角的三角函数值．
 

24.【答案】解：原式
；

原式
，
当时，
原式．
 

【解析】先化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再进一步计算即可；
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及实数的运算．
 

25.【答案】解：
；
证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形．
 

【解析】由绝对值的定义、特殊角的三角函数值、负整数指数幂的定义进行计算即可；
先证四边形是平行四边形，再证，然后根据菱形的判定推出即可．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及实数的运算等知识；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．