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人教版九年级上册数学--期中数学试卷附答案（模拟测试卷）
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这是一份人教版九年级上册数学--期中数学试卷附答案（模拟测试卷），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
期中数学试卷2
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）将方程（x﹣2）2＝5化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣4x﹣1＝0 B．x2﹣4x+1＝0 C．x2+4x﹣9＝0 D．x2+4x+9＝0
3．（4分）若x＝3是方程x2﹣x+2a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝3
4．（4分）参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝45 B．x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45
5．（4分）将二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝（x﹣6）2+1 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+4
6．（4分）抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣3，2），接OA，将线段OA绕原点O旋转180°，得到对应线段OA'，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
8．（4分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，连接CO，AD，∠BAD＝α，则∠OCD的度数（ ）
A．2α B．3α C．90°﹣α D．90°﹣2α
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝α，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，若CA＝CB，则∠CAA′的度数是（ ）
A．90°﹣α B．90°﹣α C．90°+α D．90°+α
10．（4分）若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）抛物线y＝2（x﹣6）2+9的顶点坐标为 ．
12．（4分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 ．
13．（4分）若x1，x2是一元二次方程4x2﹣5x+1＝0的两个根，则x1+x2+x1•x2的值为 ．
14．（4分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，若AE＝4，OE＝1，则CD的长为 ．
15．（4分）已知（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝7，则a2+b2的值为 ．
16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过A（0，0），B（1，9），C（2，26）三点，求该抛物线的解析式．
20．（8分）如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
21．（8分）如图，点M是等边三角形ABC内的一点，连接AM，CM．
（1）尺规作图：作出△ACM绕点A顺时针旋转60°得到的△ABN；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ACM+∠CAM＝60°，求证：C，M，N三点共线．
22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，∠A＝30°，∠AEC＝∠OCE+30°．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝2，求CD的长．
23．（10分）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知商品的进价为每件30元，问如何定价才能使一星期利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，DE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）取DE的中点F，连接CF．分别延长CF，BA，相交于点G，如备用图所示．
①求证：GF＝CF；
②当BD＝3CD时，求AG的长．
25．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM•ON是一个定值．
2020-2021学年福建省福州市仓山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．（4分）将方程（x﹣2）2＝5化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣4x﹣1＝0 B．x2﹣4x+1＝0 C．x2+4x﹣9＝0 D．x2+4x+9＝0
【解答】解：（x﹣2）2＝5，
x2﹣4x+4﹣5＝0，
x2﹣4x﹣1＝0，
即将方程（x﹣2）2＝5化成一般形式为x2﹣4x﹣1＝0，
故选：A．
3．（4分）若x＝3是方程x2﹣x+2a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝3
【解答】解：∵x＝3是方程x2﹣x+2a＝0的一个根，
∴32﹣3+2a＝0，
解得 a＝3．
故选：D．
4．（4分）参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝45 B．x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝45．
故选：B．
5．（4分）将二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝（x﹣6）2+1 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+4
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+1+3，即y＝（x﹣3）2+4．
故选：D．
6．（4分）抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k对称轴为x＝1，
又∵抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴两个交点关于直线x＝1对称，
设另一个交点是x1，
则x1+（﹣1）＝2，
解得：x1＝3，
∴另一个交点为（3，0）．
故选：B．
7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣3，2），接OA，将线段OA绕原点O旋转180°，得到对应线段OA'，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：由题意，A与A′关于原点对称，
∵A（﹣3，2），
∴A′（3，﹣2），
故选：A．
8．（4分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，连接CO，AD，∠BAD＝α，则∠OCD的度数（ ）
A．2α B．3α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【解答】解：连接OD，
∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BAD＝α，
∴∠BOD＝2α，
∴∠COD＝4α，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝（180°﹣4α）＝90°﹣2α，
故选：D．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝α，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，若CA＝CB，则∠CAA′的度数是（ ）
A．90°﹣α B．90°﹣α C．90°+α D．90°+α
【解答】解：∵CA＝CB，∠ABC＝α，
∴∠ABC＝∠CAB＝α，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴AB＝A'B，∠ABC＝∠A'BA＝α，
∴∠BAA'＝，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA'＝90°+α，
故选：C．
10．（4分）若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2+2m，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3，
①当3＜m时，
在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y＝（m﹣3）2+2m＝m2﹣4m+9为最小值，
∵m2﹣4m+9＝5，
解得m＝2，不合题意；
②当m≤3≤m+2时，
∴x＝3，y＝（x﹣3）2+2m＝2m为最小值，
∴2m＝5，解得，m＝；
③当3＞m+2，即m＜1，
在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝m+2时，y＝（m+2﹣3）2+2m＝m2+1为最小值，
∴m2+1＝5．解得，m1＝2（舍去），m2＝﹣2；
综上，m的值为或﹣2．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）抛物线y＝2（x﹣6）2+9的顶点坐标为 （6，9） ．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣6）2+9的图象的顶点坐标是（6，9）．
故答案为：（6，9）．
12．（4分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 12 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∵B与B'关于A中心对称，
∴BB′＝2AB＝12．
故答案为：12．
13．（4分）若x1，x2是一元二次方程4x2﹣5x+1＝0的两个根，则x1+x2+x1•x2的值为 ．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝，
所以x1+x2+x1•x2＝+＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，若AE＝4，OE＝1，则CD的长为 4 ．
【解答】解：连接OC，
∵AE＝4，OE＝1，
∴OC＝OA＝AE﹣OE＝4﹣1＝3，
在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为：4．
15．（4分）已知（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝7，则a2+b2的值为 2+ ．
【解答】解：设x＝a2+b2，且x≥0，
∵（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝7，
∴x（x﹣4）＝7，
∴x2﹣4x＝7，
∴x2﹣4x+4＝11，
∴（x﹣2）2＝11，
∴x＝2+或x＝2﹣（舍去），
即a2+b2＝2+．
故答案为：2+．
16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 2+1 ．
【解答】解：如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF＝CO，连接DF，
∴∠DCE＝∠OCF＝90°，
∴∠OCE＝∠FCD，
又∵CD＝CE，
∴△OCE≌△FCD（SAS），
∴OE＝FD，
连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，
∵AB＝2，OB＝BC，
∴OC＝CF＝2，
∴OF＝2，
∴FH＝OF+OH＝2+1，
∴OE最大值＝DF最大值＝FH＝2+1，
故答案为：2+1．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．
【解答】解：分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ＞0，即42﹣4m×2＞0，
解得m＜2且m≠0．
∴当m＜2且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过A（0，0），B（1，9），C（2，26）三点，求该抛物线的解析式．
【解答】解：根据题意可得，
解得，
即抛物线的解析式为y＝4x2+5x．
20．（8分）如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
【解答】证明：连接AC、BD，交于点O，
∵四边形ABCD是矩形．
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四点在以O为圆心、以AC为半径的同一个圆上．
21．（8分）如图，点M是等边三角形ABC内的一点，连接AM，CM．
（1）尺规作图：作出△ACM绕点A顺时针旋转60°得到的△ABN；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ACM+∠CAM＝60°，求证：C，M，N三点共线．
【解答】（1）解：如图，△ABN即为所求；
（2）证明：如图，连接MN，
由旋转可知：AM＝AN，∠MAN＝CAB＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMN＝60°，
∵∠ACM+∠CAM＝60°，
∴∠AMC＝120°，
∴∠AMN+∠AMC＝60°+120°＝180°，
∴C，M，N三点共线．
22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，∠A＝30°，∠AEC＝∠OCE+30°．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠ACE＝∠OCE+30°，
∵∠AEC＝∠OCE+30°，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE；
（2）过点O作OF⊥CD于点F，作OM⊥AC于点M，
∴CF＝DF＝CD，AM＝CM＝AC，
∵AC＝2，
∴AM＝，
∵∠A＝30°，∠AMO＝90°，
∴OM＝OA，
∴AM＝＝＝＝3，
∴OA＝2，
由（1）知，∠ACE＝∠AEC，
∴∠ACE＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠OCF＝75°﹣30°＝45°，
∵∠OFC＝90°，
∴∠COF＝45°，
∴CF＝OF，
∵OC＝OA＝2，
∴CF＝OCsin45°＝OC＝，
∴CD＝2．
23．（10分）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知商品的进价为每件30元，问如何定价才能使一星期利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：①设涨价x元，利润为y，
则y＝（50﹣30+x）（200﹣5x）
＝﹣5x2+100x+4000
＝﹣5（x﹣10）2+4500，
∵﹣5＜0，
∴当x＝10时，y有最大值4500，
此时50+10＝60（元），
每件定价为60元时利润最大；
②设每件降价a元，总利润为w，
则w＝（50﹣30﹣a）（200+25a）
＝﹣25a2+300a+4000
＝﹣25（a﹣6）2+4900，
∵﹣25＜0，
∴当a＝6时，w有最大值4900，
此时50﹣6＝44（元），
每件定价为44元时利润最大．
综上所述：每件定价为44元时利润最大，最大利润为4900元．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，DE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）取DE的中点F，连接CF．分别延长CF，BA，相交于点G，如备用图所示．
①求证：GF＝CF；
②当BD＝3CD时，求AG的长．
【解答】（1）解：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠ECD＝∠ACB＝∠ACE＝90°．
（2）①证明：如图2中，连接AF．
∵∠ECD＝∠EAD＝90°，EF＝DF，
∴AF＝CF＝DF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵∠ACG+∠G＝90°，∠FAC+∠GAF＝90°，
∴∠G＝∠FAG，
∴FA＝FG，
∵AF＝FC，
∴FG＝FC．
②解：如图3中，连接DG，GE．
∵DF＝EF，GF＝CF，
∴四边形CDGE是平行四边形，
∵CG＝DE，
∴四边形CDGE是矩形，
∴∠CDG＝90°，
∴AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB＝4，∠B＝45°
∵BD＝3CD，
∴BD＝DG＝3，CD＝1，
∴CG＝＝＝，
∴AG＝＝＝．
25．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM•ON是一个定值．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2+bx+b﹣1＝0，
∴（x+1）（x+b﹣1）＝0，
∴x+1＝0或x+b﹣1＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1﹣b；
（2）①当b＜2时，由（1）可知：x1＝﹣1，x2＝1﹣b，
∵b＜2，
∴﹣b＞﹣2，
∴1﹣b＞﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
设直线AM的解析式为y＝kx+a，
∵A（﹣1，0），M（0，m），
∴，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝mx+m，
联立方程组，得：，
消去y，得：x2+（b﹣m）x+b﹣m﹣1＝0，
由根与系数关系，得xA+xP＝﹣（b﹣m）＝m﹣b，
∴xP＝m﹣b+1，
②证明：当b＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∵xP＝m+4，
∴yP＝（m+4）2﹣3（m+4）﹣4＝m2+5m，
∴P（m+4，m2+5m），
直线AN的解析式为：y＝（x+1）＝nx+n，
联立方程组，得：，
∴x2﹣（3+n）x﹣4﹣n＝0，
∴xQ＝4+n，yQ＝n2+5，
即Q（n+4，n2+5），
∵直线PQ过点E（4，2），
∴kEP＝kEQ，
∴＝，
即＝，
∴mn2+3m＝m2n+3n，
mn（m﹣n）＝3（m﹣n），
∵P、Q不重合，即m≠n，
∴mn＝3，
∴OM•ON＝3为定值．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/10/24 11:01:53；用户：教师17；邮箱：zybang17@xyh.com；学号：38915552
期中数学试卷2
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（4分）将方程（x﹣2）2＝5化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣4x﹣1＝0 B．x2﹣4x+1＝0 C．x2+4x﹣9＝0 D．x2+4x+9＝0
3．（4分）若x＝3是方程x2﹣x+2a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝3
4．（4分）参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝45 B．x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45
5．（4分）将二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝（x﹣6）2+1 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+4
6．（4分）抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣3，2），接OA，将线段OA绕原点O旋转180°，得到对应线段OA'，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
8．（4分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，连接CO，AD，∠BAD＝α，则∠OCD的度数（ ）
A．2α B．3α C．90°﹣α D．90°﹣2α
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝α，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，若CA＝CB，则∠CAA′的度数是（ ）
A．90°﹣α B．90°﹣α C．90°+α D．90°+α
10．（4分）若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）抛物线y＝2（x﹣6）2+9的顶点坐标为 ．
12．（4分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 ．
13．（4分）若x1，x2是一元二次方程4x2﹣5x+1＝0的两个根，则x1+x2+x1•x2的值为 ．
14．（4分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，若AE＝4，OE＝1，则CD的长为 ．
15．（4分）已知（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝7，则a2+b2的值为 ．
16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过A（0，0），B（1，9），C（2，26）三点，求该抛物线的解析式．
20．（8分）如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
21．（8分）如图，点M是等边三角形ABC内的一点，连接AM，CM．
（1）尺规作图：作出△ACM绕点A顺时针旋转60°得到的△ABN；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ACM+∠CAM＝60°，求证：C，M，N三点共线．
22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，∠A＝30°，∠AEC＝∠OCE+30°．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝2，求CD的长．
23．（10分）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知商品的进价为每件30元，问如何定价才能使一星期利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，DE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）取DE的中点F，连接CF．分别延长CF，BA，相交于点G，如备用图所示．
①求证：GF＝CF；
②当BD＝3CD时，求AG的长．
25．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM•ON是一个定值．
2020-2021学年福建省福州市仓山区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A、B、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
2．（4分）将方程（x﹣2）2＝5化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣4x﹣1＝0 B．x2﹣4x+1＝0 C．x2+4x﹣9＝0 D．x2+4x+9＝0
【解答】解：（x﹣2）2＝5，
x2﹣4x+4﹣5＝0，
x2﹣4x﹣1＝0，
即将方程（x﹣2）2＝5化成一般形式为x2﹣4x﹣1＝0，
故选：A．
3．（4分）若x＝3是方程x2﹣x+2a＝0的一个根，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3 B．a＝﹣2 C．a＝2 D．a＝3
【解答】解：∵x＝3是方程x2﹣x+2a＝0的一个根，
∴32﹣3+2a＝0，
解得 a＝3．
故选：D．
4．（4分）参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝45 B．x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45 D．x（x﹣1）＝45
【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝45．
故选：B．
5．（4分）将二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝x2+1 B．y＝（x﹣6）2+1 C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+4
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+1+3，即y＝（x﹣3）2+4．
故选：D．
6．（4分）抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A．（，0） B．（3，0） C．（，0） D．（2，0）
【解答】解：∵y＝a（x﹣1）2+k对称轴为x＝1，
又∵抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴两个交点关于直线x＝1对称，
设另一个交点是x1，
则x1+（﹣1）＝2，
解得：x1＝3，
∴另一个交点为（3，0）．
故选：B．
7．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣3，2），接OA，将线段OA绕原点O旋转180°，得到对应线段OA'，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）
【解答】解：由题意，A与A′关于原点对称，
∵A（﹣3，2），
∴A′（3，﹣2），
故选：A．
8．（4分）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，连接CO，AD，∠BAD＝α，则∠OCD的度数（ ）
A．2α B．3α C．90°﹣α D．90°﹣2α
【解答】解：连接OD，
∵AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，
∴＝，
∴∠BOC＝∠BOD，
∵∠BAD＝α，
∴∠BOD＝2α，
∴∠COD＝4α，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝（180°﹣4α）＝90°﹣2α，
故选：D．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝α，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，若CA＝CB，则∠CAA′的度数是（ ）
A．90°﹣α B．90°﹣α C．90°+α D．90°+α
【解答】解：∵CA＝CB，∠ABC＝α，
∴∠ABC＝∠CAB＝α，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴AB＝A'B，∠ABC＝∠A'BA＝α，
∴∠BAA'＝，
∴∠CAA'＝∠CAB+∠BAA'＝90°+α，
故选：C．
10．（4分）若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．﹣2或2 B．﹣2或 C．2或 D．﹣2或2或
【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2+2m，
∴图象开口向上，对称轴为直线x＝3，
①当3＜m时，
在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x＝m时，y＝（m﹣3）2+2m＝m2﹣4m+9为最小值，
∵m2﹣4m+9＝5，
解得m＝2，不合题意；
②当m≤3≤m+2时，
∴x＝3，y＝（x﹣3）2+2m＝2m为最小值，
∴2m＝5，解得，m＝；
③当3＞m+2，即m＜1，
在自变量x的值满足m≤x≤m+2的情况下，y随x的增大而减小，
故当x＝m+2时，y＝（m+2﹣3）2+2m＝m2+1为最小值，
∴m2+1＝5．解得，m1＝2（舍去），m2＝﹣2；
综上，m的值为或﹣2．
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．（4分）抛物线y＝2（x﹣6）2+9的顶点坐标为 （6，9） ．
【解答】解：二次函数y＝2（x﹣6）2+9的图象的顶点坐标是（6，9）．
故答案为：（6，9）．
12．（4分）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为 12 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∵B与B'关于A中心对称，
∴BB′＝2AB＝12．
故答案为：12．
13．（4分）若x1，x2是一元二次方程4x2﹣5x+1＝0的两个根，则x1+x2+x1•x2的值为 ．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝，
所以x1+x2+x1•x2＝+＝．
故答案为：．
14．（4分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，若AE＝4，OE＝1，则CD的长为 4 ．
【解答】解：连接OC，
∵AE＝4，OE＝1，
∴OC＝OA＝AE﹣OE＝4﹣1＝3，
在Rt△OCE中，CE＝＝＝2，
∵AB⊥CD，
∴CD＝2CE＝4，
故答案为：4．
15．（4分）已知（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝7，则a2+b2的值为 2+ ．
【解答】解：设x＝a2+b2，且x≥0，
∵（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝7，
∴x（x﹣4）＝7，
∴x2﹣4x＝7，
∴x2﹣4x+4＝11，
∴（x﹣2）2＝11，
∴x＝2+或x＝2﹣（舍去），
即a2+b2＝2+．
故答案为：2+．
16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至C，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连接OE，则线段OE的最大值为 2+1 ．
【解答】解：如图，过点C作AC的垂线，在垂线上截取CF＝CO，连接DF，
∴∠DCE＝∠OCF＝90°，
∴∠OCE＝∠FCD，
又∵CD＝CE，
∴△OCE≌△FCD（SAS），
∴OE＝FD，
连接FO，并延长FO交圆于点H，FH即为FD最大值，
∵AB＝2，OB＝BC，
∴OC＝CF＝2，
∴OF＝2，
∴FH＝OF+OH＝2+1，
∴OE最大值＝DF最大值＝FH＝2+1，
故答案为：2+1．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）解方程：x（x﹣3）+x﹣3＝0．
【解答】解：分解因式得：（x﹣3）（x+1）＝0，
可得x﹣3＝0或x+1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且Δ＞0，即42﹣4m×2＞0，
解得m＜2且m≠0．
∴当m＜2且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根．
19．（8分）已知抛物线y＝ax2+bx+c过A（0，0），B（1，9），C（2，26）三点，求该抛物线的解析式．
【解答】解：根据题意可得，
解得，
即抛物线的解析式为y＝4x2+5x．
20．（8分）如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
【解答】证明：连接AC、BD，交于点O，
∵四边形ABCD是矩形．
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四点在以O为圆心、以AC为半径的同一个圆上．
21．（8分）如图，点M是等边三角形ABC内的一点，连接AM，CM．
（1）尺规作图：作出△ACM绕点A顺时针旋转60°得到的△ABN；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ACM+∠CAM＝60°，求证：C，M，N三点共线．
【解答】（1）解：如图，△ABN即为所求；
（2）证明：如图，连接MN，
由旋转可知：AM＝AN，∠MAN＝CAB＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴∠AMN＝60°，
∵∠ACM+∠CAM＝60°，
∴∠AMC＝120°，
∴∠AMN+∠AMC＝60°+120°＝180°，
∴C，M，N三点共线．
22．（10分）如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，∠A＝30°，∠AEC＝∠OCE+30°．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，∠A＝30°，
∴∠A＝∠ACO＝30°，
∴∠ACE＝∠OCE+30°，
∵∠AEC＝∠OCE+30°，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE；
（2）过点O作OF⊥CD于点F，作OM⊥AC于点M，
∴CF＝DF＝CD，AM＝CM＝AC，
∵AC＝2，
∴AM＝，
∵∠A＝30°，∠AMO＝90°，
∴OM＝OA，
∴AM＝＝＝＝3，
∴OA＝2，
由（1）知，∠ACE＝∠AEC，
∴∠ACE＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠OCF＝75°﹣30°＝45°，
∵∠OFC＝90°，
∴∠COF＝45°，
∴CF＝OF，
∵OC＝OA＝2，
∴CF＝OCsin45°＝OC＝，
∴CD＝2．
23．（10分）某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知商品的进价为每件30元，问如何定价才能使一星期利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：①设涨价x元，利润为y，
则y＝（50﹣30+x）（200﹣5x）
＝﹣5x2+100x+4000
＝﹣5（x﹣10）2+4500，
∵﹣5＜0，
∴当x＝10时，y有最大值4500，
此时50+10＝60（元），
每件定价为60元时利润最大；
②设每件降价a元，总利润为w，
则w＝（50﹣30﹣a）（200+25a）
＝﹣25a2+300a+4000
＝﹣25（a﹣6）2+4900，
∵﹣25＜0，
∴当a＝6时，w有最大值4900，
此时50﹣6＝44（元），
每件定价为44元时利润最大．
综上所述：每件定价为44元时利润最大，最大利润为4900元．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，DE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）取DE的中点F，连接CF．分别延长CF，BA，相交于点G，如备用图所示．
①求证：GF＝CF；
②当BD＝3CD时，求AG的长．
【解答】（1）解：如图1中，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠B，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠B＝45°，
∴∠ECD＝∠ACB＝∠ACE＝90°．
（2）①证明：如图2中，连接AF．
∵∠ECD＝∠EAD＝90°，EF＝DF，
∴AF＝CF＝DF，
∴∠FAC＝∠FCA，
∵∠ACG+∠G＝90°，∠FAC+∠GAF＝90°，
∴∠G＝∠FAG，
∴FA＝FG，
∵AF＝FC，
∴FG＝FC．
②解：如图3中，连接DG，GE．
∵DF＝EF，GF＝CF，
∴四边形CDGE是平行四边形，
∵CG＝DE，
∴四边形CDGE是矩形，
∴∠CDG＝90°，
∴AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，
∴BC＝AB＝4，∠B＝45°
∵BD＝3CD，
∴BD＝DG＝3，CD＝1，
∴CG＝＝＝，
∴AG＝＝＝．
25．（14分）已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM•ON是一个定值．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2+bx+b﹣1＝0，
∴（x+1）（x+b﹣1）＝0，
∴x+1＝0或x+b﹣1＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1﹣b；
（2）①当b＜2时，由（1）可知：x1＝﹣1，x2＝1﹣b，
∵b＜2，
∴﹣b＞﹣2，
∴1﹣b＞﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
设直线AM的解析式为y＝kx+a，
∵A（﹣1，0），M（0，m），
∴，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝mx+m，
联立方程组，得：，
消去y，得：x2+（b﹣m）x+b﹣m﹣1＝0，
由根与系数关系，得xA+xP＝﹣（b﹣m）＝m﹣b，
∴xP＝m﹣b+1，
②证明：当b＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∵xP＝m+4，
∴yP＝（m+4）2﹣3（m+4）﹣4＝m2+5m，
∴P（m+4，m2+5m），
直线AN的解析式为：y＝（x+1）＝nx+n，
联立方程组，得：，
∴x2﹣（3+n）x﹣4﹣n＝0，
∴xQ＝4+n，yQ＝n2+5，
即Q（n+4，n2+5），
∵直线PQ过点E（4，2），
∴kEP＝kEQ，
∴＝，
即＝，
∴mn2+3m＝m2n+3n，
mn（m﹣n）＝3（m﹣n），
∵P、Q不重合，即m≠n，
∴mn＝3，
∴OM•ON＝3为定值．
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日期：2021/10/24 11:01:53；用户：教师17；邮箱：zybang17@xyh.com；学号：38915552
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