专题27数列的概念与简单表示-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

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专题27数列的概念与简单表示--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型  1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列其中n∈N＋递减数列常数列按其他标准分类有界数列存在正数，使摆动数列的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…          3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.4.数列的通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式.5.数列的前项和和通项的关系：.6.数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 四、高频考点+重点题型 考点一、归纳法求通项例1-1.如图所示，这是一个正六边形的序列，则第n个图形的边数为(    )A．5n－1  B．6n C．5n＋1  D．4n＋2 例1-2.（2021·海南高三）已知数列的前四项依次为，，，，则的通项公式可能是___________.  例1-3.（2021·四川省绵阳南山中学）数列的首项，且，则（    ）A． B． C． D． 对点训练1．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4  对点训练2.（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（     ）A．440       B．330      C．220      D．110  考点二、 由an与Sn的关系求通项公式例2-1. (2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________． 对点训练1.（2019·山西高考模拟（文））记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.  对点训练2.（2020·新课标Ⅱ）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（   ）A. 3699块 B. 3474块 C. 3402块 D. 3339块  对点训练3.（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（    ）A． B． C． D．    考点三、由递推公式求通项例3.（2021·河北衡水市·高三）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.已知数列中，，满足___________，求数列的通项an.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.  对点训练1.设数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1(n≥2且n∈N*)，则a18＝(　　)A.   B.C．3   D.  对点训练2.设[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，则＝(　　)A．1　　B．2　　C．3　　D．4   对点训练3.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，，则______．    考点四、数列的性质--单调性例4-1（单调性的判定）（2021·全国高三其他模拟（理））对于有如下4个数列：（1）；（2）（3）（4）．其中满足条件的个数为（    ）A．  B．2 C．3 D．4    例4-2（单调性的应用）（2021·正阳县高级中学高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，且，若，则数列的最大值为（    ）A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项   对点训练1.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．    对点训练2.【多选题】（2021·辽宁高三）已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（    ）A． B．数列是递增数列C． D． 例4-2（周期性）（2021·全国高三其他模拟（理））在数列中，，，，则的值为______．   对点训练1.（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（    ）A． B． C． D．                                                          巩固训练一、单项选择题1．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是该数列的(    )A．第127项  B．第128项C．第129项  D．第130项2．已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为(　　)A．an＝n   B．an＝n2C．an＝   D．an＝3．设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是(　　)A.   B.C．4  D．04．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1(n∈N*)，则a10等于(　　)A．128  B．256  C．512  D．1 0245．已知数列{an}满足＝2，a1＝20，则的最小值为(　　)A．4  B．4－1  C．8  D．96．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n)＝F (n－1)＋F (n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用．若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2 020项的和为(　　)A．672  B．673  C．1 347  D．2 020二、多项选择题7．下列说法不正确的是(　　)A．数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B．数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列C．数列的第k项是1＋D．数列可以看作是一个定义域为正整数集的函数8．在数列{an}中，an＝(n＋1)n，则数列{an}中的最大项可以是(　　)A．第6项   B．第7项C．第8项   D．第9项三、填空题9．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.10．设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.11．数列{an}满足：a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)·an＝(n－1)·3n＋1＋3(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________．12．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．四、解答题13．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．(1)求a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列{an}的通项公式．    14．已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是递减数列．