2.2 基本不等式（精讲+精练+原卷+解析）

这是一份2.2 基本不等式（精讲+精练+原卷+解析），共16页。主要包含了题组一 直接型，题组二 配凑型，题组三 常数代换型，题组四 消元型，题组五 求参范围等内容，欢迎下载使用。
1．（2021·广东惠州市·高三一模）已知，，若，则的最小值为___________.
【答案】4
【解析】.当且仅当，即时等号成立，综上可得的最小值为4.故答案为：4
2．（2021·天津高三一模）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．7D．6
【答案】D
【解析】,,当且仅当，即时等号成立，
解得或（舍去），的最小值为6故选：D
【题组二 配凑型】
1．（2021·广东）取得最小值时，______.
【答案】4
【解析】因为，所以，
当且仅当即时，等号成立.故答案为：4.
2．（2021·上海高三二模）已知函数最小值为，则____________．
【答案】
【解析】因为函数有最小值，所以，
因为，所以，
因为函数最小值为，
所以，解得，当且仅当时取等号，满足题意，故答案为：.
3．（2021·全国高三专题练习）若函数在处取最小值，则（ ）
A．B．2C．4D．6
【答案】C
【解析】由题意，，而，当且仅当，即时，等号成立，所以.故选：C.
4．（2021·全国高三专题练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．C．1D．不存在
【答案】B
【解析】令，
函数在上是增函数，
在上也是增函数．
当，即，时，．
故选：B．
5．（2021·全国高三专题练习）已知，则的最小值是________．
【答案】
【解析】当时，，，
当且仅当，即当时，等号成立，
因此，函数的最小值为.
故答案为：.
【题组三 常数代换型】
1．（2021·浙江）已知非负数满足，则的最小值是（ ）
A．3B．4C．10D．16
【答案】B
【解析】由，可得，
当且仅当取等号，
故选：B
2．（2021·浙江）设为正数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】可得，
当且仅当时成立，
故选：A
3．（2021·安徽）设均为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．8B．16C．9D．6
【答案】A
【解析】因为均为正实数，
，当且仅当，即时取等号.
因此的最小值为.
故选：A.
4．（2021·江苏南通市·高三三模）已知，则的最小值为_____________．
【答案】
【解析】，
等号成立当且仅当，即.故答案为：.
5．（2021·重庆高三二模）若直线恒过圆的圆心，则的最小值为___________．
【答案】5
【解析】由题意，即，因为，所以，
所以，当且仅当，即时等号成立．因此所求最小值为5．故答案为：5．
【题组四 消元型】
1．（2021·浙江绍兴市·高三二模）已知，若，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】由条件可知，则，
，，
，设，
，
当，即时，等号成立，
所以的最大值是.
故答案为：
2．（2021·浙江高三期末）已知实数x，y满足x2+xy=1，则y2﹣2xy的最小值为___________.
【答案】
【解析】由x2+xy=1，得，
所以，
当且仅当 时取等号.
故答案为：.
3．若正实数，满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】由可得
当且仅当时，等号成立.
则的最小值为
故答案为：
4．（2021·全国高三）已知，，且，则的最小值为
【答案】
【解析】因为，所以，
因为，，所以，得，
所以，
记，所以，
所以，且，
所以
，当且仅当即等号成立，
此时 ， .
5.若正数满足，则的最小值是 。
【答案】4
【解析】因为正数满足，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立
【题组五 求参范围】
1．（2021·安徽省泗县第一中学）已知，，，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】C
【解析】若恒成立，则，
因为，
当且仅当，即时取等号．
所以
所以，即，
解得：．
故选：C
2．（2021·安徽合肥市）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，，且，
所以，
当且仅当时，等号成立；
又不等式恒成立，
所以只需，即，解得.
故选：A.
3．（2021·北京）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，即，即
又
当且仅当“”，即“”时等号成立，即，故.故选：C.
4．（2020·天津市静海区独流中学高三月考）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围________.
【答案】
【解析】∵，，且，
∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为8，
由解得，故答案为：．
5．（2021·浙江）已知、为两个正实数，且恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为、为两个正实数，由可得，
因为，当且仅当时，等号成立.
所以，，因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
6．（2021·全国高三专题练习）已知，若不等式恒成立，则的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意，不等式恒成立，且，即为恒成立，即成立，由，当且仅当，即，取得等号，即有，则的最大值为.故答案为：
【题组六 基本不等式与其他知识的综合运用】
1．（2021·广东茂名市·高三二模）已知、、是直线上三个相异的点，平面内的点，若正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】∵，∴，
由于、、是直线上三个相异的点，
所以，又，，
由基本不等式得，
当且仅当时取等号．故选：B．
2．（2021·广东揭阳市·高三一模）在矩形中，，，，分别是，上的动点，且满足，设，则的最小值为（ ）
A．48B．49C．50D．51
【答案】B
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，，因为，
所以，，.
因为，所以，，
所以.
当且仅当，即，时取等号.
故选: B.
3．（2021·普宁市华侨中学高三二模）已知，，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【解析】，，，

，
当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A
4．（2021·广东汕头市·高三三模）函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则mn的最大值为___________.
【答案】
【解析】函数（且）的图象恒过定点A，，
点A在直线上，，
又，，，
，当且仅当，即时等号成立，所以mn的最大值为，
故答案为：.
5．（2021·安徽省舒城中学高三二模（理））已知直线过第一象限的点和，直线的倾斜角为，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由题设知：，可得，
∴，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
6．（2021·全国高三其他模拟）已知在处取得极值，则的最小值为___________.
【答案】3
【解析】，因为在处取得极值，所以，即，所以.
所以，当且仅当时取等号.把，代入检验得，是的极值点，故的最小值为3.
故答案为：3.