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2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题三 圆的综合题
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这是一份2021-2022学年度北师大版九年级中考复习课件 专题三 圆的综合题，共55页。PPT课件主要包含了专题训练等内容，欢迎下载使用。
专题三 圆的综合题 （9年7考，近5年每年1道解答题）
类型1 与切线性质有关的证明与计算（9年5考：2020、2019、2018、2016、2013）
1.（2020十堰）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切 线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E. （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．
（1）证明：连接OC，如解图，∵CD为半圆O的切线，∴∠OCD＝90°，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＋∠OCD＝180°，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，又∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB；
（2）解：四边形EAOC为菱形，理由如下：连接EC、BC、EO，过点C作CH⊥AB于点H，如解图，由圆内接四边形对角互补可知，∠B＋∠AEC＝180°，又∵∠AEC＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠B＋∠CAB＝90°，∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠CAB＝∠DCE，又∵∠CAB＝∠CAE，∴∠DCE＝∠CAE，且∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAC，∴ ＝ ，设DE＝x，则AE＝2x，AD＝AE＋DE＝3x，∴CD2＝AD·DE＝3x2，∴CD＝ x，
在Rt△ACD中，tan ∠DAC＝ ，∴∠DAC＝30°，∴∠DAO＝2∠DAC＝60°，∵OA＝OE，∴△OAE为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC＝2∠EAC＝60°，OE＝OC，∴△EOC为等边三角形，∴EA＝AO＝OE＝EC＝CO，即EA＝AO＝OC＝CE，∴四边形EAOC为菱形．
2.（2020陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝ 45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延 长线相交于点E. （1）求证：AD∥EC； （2）若AB＝12，求线段EC的长．
（1）证明：如解图，连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC；
（2）解：如解图，过点A作AF⊥EC交EC于点F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴sinD＝ ，∴AD＝ ，∴OA＝OC＝ ，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝OA＝4 ，∵∠BAD＝90°－∠D＝30°，∴∠EAF＝180°－90°－30°＝60°，∵tan ∠EAF＝ ，∴EF＝ AF＝12，∴CE＝CF＋EF＝12＋4 .
3.（2020北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线 ，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F. （1）求证：∠ADC＝∠AOF； （2）若sin C＝ ，BD＝8，求EF的长．
（1）证明：如解图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；
（2）解：由（1）知OF∥BD，AO＝OB，∴AE＝DE，∴OE＝ BD＝ ×8＝4，∵sinC＝ ，∴设OD＝x，则OC＝3x，OB＝x，∴CB＝4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴ ，∴ ，∴OF＝6，∴EF＝OF－OE＝6－4＝2.
4. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AP，点C是射线AP 上的动点，连接CO交⊙O于点E，过点B作BD∥CO，交⊙O于点 D，连接DE，OD，CD. （1）求证：CA＝CD； （2）当四边形EOBD是菱形时，求∠ACO的度数； （3）若BD＝m，则当四边形ACDO是正方形时，AC的长度为多少（用含m的式 子表示）?
（1）证明：∵BD∥OC，∴∠AOC＝∠OBD，∠DOC＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠AOC＝∠DOC，在△AOC和△DOC中， ，∴△AOC≌△DOC（SAS），∴CA＝CD；
（2）解：当四边形EOBD是菱形时，OB＝BD，∵OB＝OD，∴OB＝OD＝BD，∴△OBD为等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠AOC＝∠OBD＝60°，∵AP是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠ACO＝30°；（3）解：当四边形ACDO是正方形时，AC＝OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠DOB＝90°，∵OB＝OD，∴OB＝ ，∴AC＝OB＝ .
5.（2020江西21题9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半 径为r.（1）如图①，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图②，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB 的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问 中对应的阴影部分的周长（用含r 的式子表示）.
解：（1）如解图①，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB＋∠PAO＋∠PBO＋∠AOB＝360°，∴∠APB＋∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；
（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，理由如下：如解图②，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB＋∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）阴影部分的周长为 .
6. 已知，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂 足为C，PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T. （1）如图①，当C点运动到O点时，求PT的长； （2）如图②，当C点运动到A点时，连接PO，BT，求证：PO∥BT； （3）如图③，设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出y的最小值．
（1）解：如解图①，连接OT，则OT⊥PT，∴∠OTP＝90°，∵AB是⊙O的直径，AB＝16，∴OT＝ AB＝8，在Rt△CTP中，由勾股定理得：PT＝ ；
（2）证明：如解图②，连接OT，∵PC⊥AB，点C与点A重合，AB是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线，∵PT为⊙O的切线，∴PA＝PT，在△OPA和△OPT中， ，∴△OPA≌△OPT（SSS），∴∠AOP＝∠TOP＝ ∠AOT，∵∠AOT＝2∠B，∴∠AOP＝∠B，∴PO∥BT；
（3）解：如解图③，连接PO，OT，∵AB是⊙O的直径，AB＝16，AC＝x，∴OC＝OA－AC＝ AB－AC＝8－x，OT＝8，∵PC⊥AB，∴∠PCO＝90°，在Rt△PCO中，由勾股定理得：PO＝ ，∵PT为⊙O的切线，∴PT⊥OT，在Rt△OTP中，由勾股定理得：y＝PT＝ = = = . ∴当x＝8时，y有最小值为6.
类型2 与切线判定有关的证明与计算（9年5考：2019、2018、2017、2014、2013）
1.(2018江西20题8分)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD. （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC＝6，tan ∠ABC＝ ，求AD的长.
（1）证明：如解图，过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠ADO＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°，∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BCO＝∠ADO＝90°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，在△BOC和△BOE中，∵ ，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE＝OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan ∠ABC＝ ，BC＝6，∴AC＝BC·tan ∠ABC＝8，则AB＝10，由（1）知BE＝BC＝6，∴AE＝AB－BE＝4，∵tan ∠EOA＝tan ∠ABC＝ ，∴ ，∴OE＝3， OB＝ ，由（1）可知∠ABD＝∠OBC，∠ADB＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC， ∴ ，即 ，∴AD＝ .
2.（2020宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径 的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB. （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）连接DE，若∠A＝30°，求 .
（1）证明：如解图，连接OE，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；
（2）解：如解图，连接DE，∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴ ，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°，∴ ＝cs ∠DCE＝cs 30°＝ ，∴ .
3.（2020于都县模拟）如图①，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以 点O为圆心， 长为半径作⊙O交BC于点D，E. （1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由； （2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M，N两点，如图 ②，求 的长．
解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．理由如下：如解图①，设切点为F，连接OF，则OF⊥BF，在Rt△OBF中，OF＝ ，OB＝4，∴sin ∠OBF＝ ，∴∠OBF＝∠BOF＝45°，∴∠ABF＝45°，同理：当∠ABF＝135°时，AB与⊙O相切，∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如解图②，∵射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，∴∠ABC＝30°，∴OH＝ OB＝ ×4＝2，在Rt△OMH中，OM＝ ，∴cs ∠MOH＝ ，∴∠MOH＝45°，∴∠MON＝90°，∴ 的长为 .
4.（2020福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O 于点D，E是 上不与B，D重合的点，sin A＝ . （1）求∠BED的大小； （2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝ ，求证：DF与⊙O 相切．
（1）解：连接OB，如解图，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sin A＝ ，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，∴∠BED＝ ∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，如解图，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝ ，OB＝3，∴tan ∠BOF＝ ，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中， ，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，即OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，∴DF与⊙O相切．
5.（2020烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点 A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E ，AB＝EB. （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若AD＝ ，求 的长（结果保留π）．
（1）证明：连接OB，如解图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°＋60°＝90°，∴OB⊥CE，∵点B在⊙O上，∴EC是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝ ，过点O作OH⊥AM于点H，连接OM，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝ ，∴OA＝ ＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴ 的长为 .
6. 点B是⊙O外一点，BP是∠ABC的平分线，BA与⊙O的一个交点为D，过点D作 BP的垂线交BP于点E，交BC于点F，交⊙O于点G. （1）如图①，BC与⊙O交于点M和点N，当点G是 的中点时，求证：BA是 ⊙O的切线； （2）如图②，当BC过点O时，画出点 O到BP的距离d，猜想线段FG与 d有怎样的数量关系，并证明．
（1）证明：如解图①，连接OD，OG，∵BP是∠ABC的平分线，∴∠DBE＝∠FBE，∵DG⊥BP，∴∠BED＝∠BEF＝90°，∵BE＝BE，∴△DBE≌△FBE（ASA），∴∠BDE＝∠BFE，∵∠BFE＝∠GFN，∴∠GFN＝∠BDE，∵点G是 的中点，∴OG⊥MN，∴∠G＋∠GFN＝90°，∵OD＝OG，∴∠G＝∠ODG，∴∠ODG＋∠BDF＝90°，∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∵点D在⊙O上，∴BA是⊙O的切线；
（2）解：FG＝2d，证明：如解图②，过点O作OH⊥BP于点H，交AB于点M，∴∠BHM＝∠BHO＝90°，∵BP是∠ABC的平分线，∴∠MBH＝∠OBH，∵BH＝BH，∴△MBH≌△OBH（ASA），∴OH＝HM，∠BMH＝∠BOH，∴OM＝2OH，连接OD，OG，∵OD＝OG，∴∠ODG＝∠OGD，∵OM⊥BP，DG⊥BP，∴OM∥DG，∴∠ODG＝∠DOM，∠BOM＝∠BFD，∴∠DOM＝∠G，∴∠BMO＝∠DFO，∴∠DMO＝∠OFG，∵OD＝OG，∴△ODM≌△GOF（AAS），∴OM＝FG，∴FG＝2OH，即FG＝2d.
7.（2020九江市模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，BC是∠ABE 的平分线且交⊙O于点C，连接AC，CE，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于 点D.（1）∠DCE ∠CBE；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）求证：DC是⊙O的切线；（3）若⊙O的直径为10，sin∠BAC＝ ，求BE的长．
（1）解：＝；【解法提示】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥BE，∴∠D＝90°，∴∠ACB＝∠D，∵BC是∠ABE的平分线，∴∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴∠BAC＝∠BCD，∵四边形ABEC是圆内接四边形，∴∠CED＝∠BAC，∴∠BCD＝∠CED，∵∠DBC＋∠BCD＝90°，∠ECD＋∠CED＝90°，∴∠DCE＝∠CBE；
（2）证明：如解图，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠ABC＝∠CBD，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴OC⊥CD，∵点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；
（3）解：∵⊙O的直径为10，sin ∠BAC＝ ，∴sin ∠BAC＝ ，∴BC＝8，∴AC＝ ，∵△ABC∽△CBD，∴ ，即 ，∴CD＝4.8，BD＝6.4，∵∠CDE＝∠ACB＝90°，∠CED＝∠BAC，∴△CED∽△BAC，∴ ，即 ，∴DE＝3.6，∴BE＝BD－DE＝6.4－3.6＝2.8.
8.（2020江西样卷四）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2 ，以点A为圆心，AC长为半径的圆交CA的延长线于点D，作DE∥AB交⊙A于 点E，直线EB交射线AC于点F. （1）求证：直线 EF是⊙A的切线； （2）点P是半径AC上的动点，以点P为圆 心，4为半径的⊙P交直线EF于点M， N.当△MPN是直角三角形时，如图② 所示，求AP的长．
（1）证明：如解图①，连接AE.∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE.又∵DE∥AB，∴∠AED＝∠EAB，∠CAB＝∠ADE，∴∠CAB＝∠EAB.∵AC＝AE，AB＝AB，∴△CAB≌△EAB，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴AE⊥EF，∵AE是⊙A的半径，∴直线EF是⊙A的切线；
（2）解：如解图②，连接AE，过点P作PH⊥EF于点H.∵等腰Rt△PMN，PM＝PN＝4，∴PH＝ . ∵∠AEB＝∠ACB＝90°，∴△FBC∽△FAE，∴ ，∴EF＝2CF. 设CF＝x，∴EF＝2x，由（1）知BE＝BC＝2，∴FB＝2x－2，∴在Rt△BCF中，（2x－2）2＝22＋x2，∴x＝ 或x＝0（舍去）.∵PH∥AE，∴△FPH∽△FAE，∴ .设AP＝y，∴ ，∴y＝ ，即AP的长为 .
9.（2020江西样卷一）如图，AB是⊙O的直径，AB＝BD，DO交⊙O于点F，点E 是线段OF上一动点，连接BE并延长交⊙O于点C，连接AC，tan ∠ABC的值会 随着点E的运动而发生变化． （1）如图①，当tan ∠ABC＝ ，AC∥OE时， 求证：直线BD是⊙O的切线； （2）如图②，当tan ∠ABC＝1，直线BD与⊙O 相切，AB＝4时， ①求CD的长；②求 的值．
（1）证明：∵AB是直径．∴∠C＝90°.∵tan ∠ABC＝ ，∴AC＝ BC.∵AC∥OD，∴OD⊥BC，∴BE＝ BC，∴AC＝BE.∵AB＝DB，∴Rt△ACB≌Rt△BED，∴∠A＝∠DBE.∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠DBE＋∠ABC＝90°，即∠DBO＝90°，∴BD⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BD是⊙O的切线；
（2）解：①∵直线BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°.∵tan ∠ABC＝1，AB是直径，AB＝4，∴∠ABC＝45°，AC＝BC＝ ，∴∠DBC＝45°，∴∠ABC＝∠DBC.∵AB＝BD，BC＝BC，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC＝ ；
10.(2020江西样卷五)如图，在⊙O中，OA＝OB＝6，∠AOB＝120°，点P是AB上一动点，PC⊥OP，且PC＝OP.(1)如图①，若点P与点A重合，则PC与⊙O的位置关系是 ；(2)如图②，过点C作CD⊥AB于点D，则PD的长是否是一个定值？若是，则PD＝ ；若不是，请简述理由；(3)如图③，若点C落在⊙O上，求PA的长．
图① 图② 图③ 备用图
解：（1）相切；（2）是，3；（3）过点O作OE⊥AB于点E，连接OC.在△OBA中，OA＝OB＝6，∠AOB＝120°，∴∠A＝30°，OE＝3，AE＝ .∵PO＝PC，PC⊥PO，∴△OPC是等腰直角三角形．∵点C在⊙O上，OC＝6，∴OP＝ ，∴PE＝ .①当点C落在劣弧AB上时，如解图①，AP＝AE－PE＝ －3；②当点C落在优弧AB上时，如解图②，AP＝AE+PE＝ +3；∴当点C落在⊙O上时， AP＝ 3.
专题三 圆的综合题 （9年7考，近5年每年1道解答题）
类型1 与切线性质有关的证明与计算（9年5考：2020、2019、2018、2016、2013）
1.（2020十堰）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切 线垂直，垂足为D，AD交半圆O于点E. （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝2DE，试判断以O，A，E，C为顶点的四边形的形状，并说明理由．
（1）证明：连接OC，如解图，∵CD为半圆O的切线，∴∠OCD＝90°，∵CD⊥AD，∴∠D＝90°，∴∠D＋∠OCD＝180°，∴OC∥AD，∴∠DAC＝∠ACO，又∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠DAB；
（2）解：四边形EAOC为菱形，理由如下：连接EC、BC、EO，过点C作CH⊥AB于点H，如解图，由圆内接四边形对角互补可知，∠B＋∠AEC＝180°，又∵∠AEC＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠B＋∠CAB＝90°，∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠CAB＝∠DCE，又∵∠CAB＝∠CAE，∴∠DCE＝∠CAE，且∠D＝∠D，∴△DCE∽△DAC，∴ ＝ ，设DE＝x，则AE＝2x，AD＝AE＋DE＝3x，∴CD2＝AD·DE＝3x2，∴CD＝ x，
在Rt△ACD中，tan ∠DAC＝ ，∴∠DAC＝30°，∴∠DAO＝2∠DAC＝60°，∵OA＝OE，∴△OAE为等边三角形，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：∠EOC＝2∠EAC＝60°，OE＝OC，∴△EOC为等边三角形，∴EA＝AO＝OE＝EC＝CO，即EA＝AO＝OC＝CE，∴四边形EAOC为菱形．
2.（2020陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝75°，∠ABC＝ 45°.连接AO并延长，交⊙O于点D，连接BD.过点C作⊙O的切线，与BA的延 长线相交于点E. （1）求证：AD∥EC； （2）若AB＝12，求线段EC的长．
（1）证明：如解图，连接OC，∵CE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝90°，∵∠AOC＋∠OCE＝180°，∴AD∥EC；
（2）解：如解图，过点A作AF⊥EC交EC于点F，∵∠BAC＝75°，∠ABC＝45°，∴∠ACB＝60°，∴∠D＝∠ACB＝60°，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴sinD＝ ，∴AD＝ ，∴OA＝OC＝ ，∵AF⊥EC，∠OCE＝90°，∠AOC＝90°，∴四边形OAFC是矩形，又∵OA＝OC，∴四边形OAFC是正方形，∴CF＝AF＝OA＝4 ，∵∠BAD＝90°－∠D＝30°，∴∠EAF＝180°－90°－30°＝60°，∵tan ∠EAF＝ ，∴EF＝ AF＝12，∴CE＝CF＋EF＝12＋4 .
3.（2020北京）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线 ，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F. （1）求证：∠ADC＝∠AOF； （2）若sin C＝ ，BD＝8，求EF的长．
（1）证明：如解图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；
（2）解：由（1）知OF∥BD，AO＝OB，∴AE＝DE，∴OE＝ BD＝ ×8＝4，∵sinC＝ ，∴设OD＝x，则OC＝3x，OB＝x，∴CB＝4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴ ，∴ ，∴OF＝6，∴EF＝OF－OE＝6－4＝2.
4. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AP，点C是射线AP 上的动点，连接CO交⊙O于点E，过点B作BD∥CO，交⊙O于点 D，连接DE，OD，CD. （1）求证：CA＝CD； （2）当四边形EOBD是菱形时，求∠ACO的度数； （3）若BD＝m，则当四边形ACDO是正方形时，AC的长度为多少（用含m的式 子表示）?
（1）证明：∵BD∥OC，∴∠AOC＝∠OBD，∠DOC＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠AOC＝∠DOC，在△AOC和△DOC中， ，∴△AOC≌△DOC（SAS），∴CA＝CD；
（2）解：当四边形EOBD是菱形时，OB＝BD，∵OB＝OD，∴OB＝OD＝BD，∴△OBD为等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠AOC＝∠OBD＝60°，∵AP是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠ACO＝30°；（3）解：当四边形ACDO是正方形时，AC＝OA＝OD，∠AOD＝90°，∴∠DOB＝90°，∵OB＝OD，∴OB＝ ，∴AC＝OB＝ .
5.（2020江西21题9分）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半 径为r.（1）如图①，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80°，求∠ACB的度数；（2）如图②，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB 的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问 中对应的阴影部分的周长（用含r 的式子表示）.
解：（1）如解图①，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠APB＋∠PAO＋∠PBO＋∠AOB＝360°，∴∠APB＋∠AOB＝180°，∵∠APB＝80°，∴∠AOB＝100°，∴∠ACB＝50°；
（2）当∠APB＝60°时，四边形APBC是菱形，理由如下：如解图②，连接OA，OB，由（1）可知，∠AOB＋∠APB＝180°，∵∠APB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴∠ACB＝60°＝∠APB，∵点C运动到PC距离最大，∴PC经过圆心，∵PA，PB为⊙O的切线，∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30°，又∵PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS），∴∠ACP＝∠BCP＝30°，AC＝BC，∴∠APC＝∠ACP＝30°，∴AP＝AC，∴AP＝AC＝PB＝BC，∴四边形APBC是菱形；（3）阴影部分的周长为 .
6. 已知，AB是⊙O的直径，AB＝16，点C在⊙O的半径OA上运动，PC⊥AB，垂 足为C，PC＝10，PT为⊙O的切线，切点为T. （1）如图①，当C点运动到O点时，求PT的长； （2）如图②，当C点运动到A点时，连接PO，BT，求证：PO∥BT； （3）如图③，设PT＝y，AC＝x，求y与x的解析式并求出y的最小值．
（1）解：如解图①，连接OT，则OT⊥PT，∴∠OTP＝90°，∵AB是⊙O的直径，AB＝16，∴OT＝ AB＝8，在Rt△CTP中，由勾股定理得：PT＝ ；
（2）证明：如解图②，连接OT，∵PC⊥AB，点C与点A重合，AB是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线，∵PT为⊙O的切线，∴PA＝PT，在△OPA和△OPT中， ，∴△OPA≌△OPT（SSS），∴∠AOP＝∠TOP＝ ∠AOT，∵∠AOT＝2∠B，∴∠AOP＝∠B，∴PO∥BT；
（3）解：如解图③，连接PO，OT，∵AB是⊙O的直径，AB＝16，AC＝x，∴OC＝OA－AC＝ AB－AC＝8－x，OT＝8，∵PC⊥AB，∴∠PCO＝90°，在Rt△PCO中，由勾股定理得：PO＝ ，∵PT为⊙O的切线，∴PT⊥OT，在Rt△OTP中，由勾股定理得：y＝PT＝ = = = . ∴当x＝8时，y有最小值为6.
类型2 与切线判定有关的证明与计算（9年5考：2019、2018、2017、2014、2013）
1.(2018江西20题8分)如图，在△ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠AOD＝∠BAD. （1）求证：AB为⊙O的切线； （2）若BC＝6，tan ∠ABC＝ ，求AD的长.
（1）证明：如解图，过点O作OE⊥AB于点E，∵AD⊥BO于点D，∴∠ADO＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠AOD＋∠OAD＝90°，∵∠AOD＝∠BAD，∴∠ABD＝∠OAD，又∵BC为⊙O的切线，∴AC⊥BC，∴∠BCO＝∠ADO＝90°，∵∠BOC＝∠AOD，∴∠OBC＝∠OAD＝∠ABD，在△BOC和△BOE中，∵ ，∴△BOC≌△BOE（AAS），∴OE＝OC，∵OE⊥AB，∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠ABC＋∠BAC＝90°，∠EOA＋∠BAC＝90°，∴∠EOA＝∠ABC，∵tan ∠ABC＝ ，BC＝6，∴AC＝BC·tan ∠ABC＝8，则AB＝10，由（1）知BE＝BC＝6，∴AE＝AB－BE＝4，∵tan ∠EOA＝tan ∠ABC＝ ，∴ ，∴OE＝3， OB＝ ，由（1）可知∠ABD＝∠OBC，∠ADB＝∠ACB＝90°，∴△ABD∽△OBC， ∴ ，即 ，∴AD＝ .
2.（2020宁夏）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D为AC上一点，以CD为直径 的⊙O交AB于点E，连接CE，且CE平分∠ACB. （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）连接DE，若∠A＝30°，求 .
（1）证明：如解图，连接OE，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，又∵OE＝OC，∴∠ACE＝∠OEC，∴∠BCE＝∠OEC，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠B，又∵∠B＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AE，∵OE为⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；
（2）解：如解图，连接DE，∵CD是⊙O的直径，∴∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠B，又∵∠DCE＝∠ECB，∴△DCE∽△ECB，∴ ，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠DCE＝ ∠ACB＝ ×60°＝30°，∴ ＝cs ∠DCE＝cs 30°＝ ，∴ .
3.（2020于都县模拟）如图①，∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以 点O为圆心， 长为半径作⊙O交BC于点D，E. （1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由； （2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M，N两点，如图 ②，求 的长．
解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．理由如下：如解图①，设切点为F，连接OF，则OF⊥BF，在Rt△OBF中，OF＝ ，OB＝4，∴sin ∠OBF＝ ，∴∠OBF＝∠BOF＝45°，∴∠ABF＝45°，同理：当∠ABF＝135°时，AB与⊙O相切，∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，如解图②，∵射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，∴∠ABC＝30°，∴OH＝ OB＝ ×4＝2，在Rt△OMH中，OM＝ ，∴cs ∠MOH＝ ，∴∠MOH＝45°，∴∠MON＝90°，∴ 的长为 .
4.（2020福建）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点C，AO的延长线交⊙O 于点D，E是 上不与B，D重合的点，sin A＝ . （1）求∠BED的大小； （2）若⊙O的半径为3，点F在AB的延长线上，且BF＝ ，求证：DF与⊙O 相切．
（1）解：连接OB，如解图，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°，∵sin A＝ ，∴∠A＝30°，∴∠BOD＝∠ABO＋∠A＝120°，∴∠BED＝ ∠BOD＝60°；
（2）证明：连接OF，如解图，∵AB是⊙O的切线，∴∠OBF＝90°，∵BF＝ ，OB＝3，∴tan ∠BOF＝ ，∴∠BOF＝60°，∵∠BOD＝120°，∴∠BOF＝∠DOF＝60°，在△BOF和△DOF中， ，∴△BOF≌△DOF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF＝90°，即OD⊥DF，∵OD是⊙O的半径，∴DF与⊙O相切．
5.（2020烟台）如图，在▱ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点 A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E ，AB＝EB. （1）求证：EC是⊙O的切线； （2）若AD＝ ，求 的长（结果保留π）．
（1）证明：连接OB，如解图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D＝60°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°，∵BE＝AB，∴∠E＝∠BAE，∵∠ABC＝∠E＋∠BAE＝60°，∴∠E＝∠BAE＝30°，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∴∠OBC＝30°＋60°＝90°，∴OB⊥CE，∵点B在⊙O上，∴EC是⊙O的切线；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝ ，过点O作OH⊥AM于点H，连接OM，则四边形OBCH是矩形，∴OH＝BC＝ ，∴OA＝ ＝4，∠AOM＝2∠AOH＝60°，∴ 的长为 .
6. 点B是⊙O外一点，BP是∠ABC的平分线，BA与⊙O的一个交点为D，过点D作 BP的垂线交BP于点E，交BC于点F，交⊙O于点G. （1）如图①，BC与⊙O交于点M和点N，当点G是 的中点时，求证：BA是 ⊙O的切线； （2）如图②，当BC过点O时，画出点 O到BP的距离d，猜想线段FG与 d有怎样的数量关系，并证明．
（1）证明：如解图①，连接OD，OG，∵BP是∠ABC的平分线，∴∠DBE＝∠FBE，∵DG⊥BP，∴∠BED＝∠BEF＝90°，∵BE＝BE，∴△DBE≌△FBE（ASA），∴∠BDE＝∠BFE，∵∠BFE＝∠GFN，∴∠GFN＝∠BDE，∵点G是 的中点，∴OG⊥MN，∴∠G＋∠GFN＝90°，∵OD＝OG，∴∠G＝∠ODG，∴∠ODG＋∠BDF＝90°，∴∠BDO＝90°，∴OD⊥AB，∵点D在⊙O上，∴BA是⊙O的切线；
（2）解：FG＝2d，证明：如解图②，过点O作OH⊥BP于点H，交AB于点M，∴∠BHM＝∠BHO＝90°，∵BP是∠ABC的平分线，∴∠MBH＝∠OBH，∵BH＝BH，∴△MBH≌△OBH（ASA），∴OH＝HM，∠BMH＝∠BOH，∴OM＝2OH，连接OD，OG，∵OD＝OG，∴∠ODG＝∠OGD，∵OM⊥BP，DG⊥BP，∴OM∥DG，∴∠ODG＝∠DOM，∠BOM＝∠BFD，∴∠DOM＝∠G，∴∠BMO＝∠DFO，∴∠DMO＝∠OFG，∵OD＝OG，∴△ODM≌△GOF（AAS），∴OM＝FG，∴FG＝2OH，即FG＝2d.
7.（2020九江市模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，BE是⊙O的弦，BC是∠ABE 的平分线且交⊙O于点C，连接AC，CE，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于 点D.（1）∠DCE ∠CBE；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）求证：DC是⊙O的切线；（3）若⊙O的直径为10，sin∠BAC＝ ，求BE的长．
（1）解：＝；【解法提示】∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥BE，∴∠D＝90°，∴∠ACB＝∠D，∵BC是∠ABE的平分线，∴∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴∠BAC＝∠BCD，∵四边形ABEC是圆内接四边形，∴∠CED＝∠BAC，∴∠BCD＝∠CED，∵∠DBC＋∠BCD＝90°，∠ECD＋∠CED＝90°，∴∠DCE＝∠CBE；
（2）证明：如解图，连接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠ABC＝∠CBD，∴∠OCB＝∠CBD，∴OC∥BD，∵CD⊥BD，∴OC⊥CD，∵点C在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；
（3）解：∵⊙O的直径为10，sin ∠BAC＝ ，∴sin ∠BAC＝ ，∴BC＝8，∴AC＝ ，∵△ABC∽△CBD，∴ ，即 ，∴CD＝4.8，BD＝6.4，∵∠CDE＝∠ACB＝90°，∠CED＝∠BAC，∴△CED∽△BAC，∴ ，即 ，∴DE＝3.6，∴BE＝BD－DE＝6.4－3.6＝2.8.
8.（2020江西样卷四）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝2 ，以点A为圆心，AC长为半径的圆交CA的延长线于点D，作DE∥AB交⊙A于 点E，直线EB交射线AC于点F. （1）求证：直线 EF是⊙A的切线； （2）点P是半径AC上的动点，以点P为圆 心，4为半径的⊙P交直线EF于点M， N.当△MPN是直角三角形时，如图② 所示，求AP的长．
（1）证明：如解图①，连接AE.∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE.又∵DE∥AB，∴∠AED＝∠EAB，∠CAB＝∠ADE，∴∠CAB＝∠EAB.∵AC＝AE，AB＝AB，∴△CAB≌△EAB，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴AE⊥EF，∵AE是⊙A的半径，∴直线EF是⊙A的切线；
（2）解：如解图②，连接AE，过点P作PH⊥EF于点H.∵等腰Rt△PMN，PM＝PN＝4，∴PH＝ . ∵∠AEB＝∠ACB＝90°，∴△FBC∽△FAE，∴ ，∴EF＝2CF. 设CF＝x，∴EF＝2x，由（1）知BE＝BC＝2，∴FB＝2x－2，∴在Rt△BCF中，（2x－2）2＝22＋x2，∴x＝ 或x＝0（舍去）.∵PH∥AE，∴△FPH∽△FAE，∴ .设AP＝y，∴ ，∴y＝ ，即AP的长为 .
9.（2020江西样卷一）如图，AB是⊙O的直径，AB＝BD，DO交⊙O于点F，点E 是线段OF上一动点，连接BE并延长交⊙O于点C，连接AC，tan ∠ABC的值会 随着点E的运动而发生变化． （1）如图①，当tan ∠ABC＝ ，AC∥OE时， 求证：直线BD是⊙O的切线； （2）如图②，当tan ∠ABC＝1，直线BD与⊙O 相切，AB＝4时， ①求CD的长；②求 的值．
（1）证明：∵AB是直径．∴∠C＝90°.∵tan ∠ABC＝ ，∴AC＝ BC.∵AC∥OD，∴OD⊥BC，∴BE＝ BC，∴AC＝BE.∵AB＝DB，∴Rt△ACB≌Rt△BED，∴∠A＝∠DBE.∵∠A＋∠ABC＝90°，∴∠DBE＋∠ABC＝90°，即∠DBO＝90°，∴BD⊥AB，∵AB是⊙O的直径，∴BD是⊙O的切线；
（2）解：①∵直线BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°.∵tan ∠ABC＝1，AB是直径，AB＝4，∴∠ABC＝45°，AC＝BC＝ ，∴∠DBC＝45°，∴∠ABC＝∠DBC.∵AB＝BD，BC＝BC，∴△ABC≌△DBC，∴AC＝DC＝ ；
10.(2020江西样卷五)如图，在⊙O中，OA＝OB＝6，∠AOB＝120°，点P是AB上一动点，PC⊥OP，且PC＝OP.(1)如图①，若点P与点A重合，则PC与⊙O的位置关系是 ；(2)如图②，过点C作CD⊥AB于点D，则PD的长是否是一个定值？若是，则PD＝ ；若不是，请简述理由；(3)如图③，若点C落在⊙O上，求PA的长．
图① 图② 图③ 备用图
解：（1）相切；（2）是，3；（3）过点O作OE⊥AB于点E，连接OC.在△OBA中，OA＝OB＝6，∠AOB＝120°，∴∠A＝30°，OE＝3，AE＝ .∵PO＝PC，PC⊥PO，∴△OPC是等腰直角三角形．∵点C在⊙O上，OC＝6，∴OP＝ ，∴PE＝ .①当点C落在劣弧AB上时，如解图①，AP＝AE－PE＝ －3；②当点C落在优弧AB上时，如解图②，AP＝AE+PE＝ +3；∴当点C落在⊙O上时， AP＝ 3.
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