广西省玉林市育才中学2022届高三上学期开学检测考试数学（文）试题 含答案

育才2021年秋季期高三开学检测数学试卷（文科）

一．选择题（共12小题）

1．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（　　）

A．4 B．2 C．0 D．0或4

2．若集合A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，则集合{z|z＝x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

3．1．下列函数中是增函数的为（　　）

A．f（x）＝﹣x B．f（x）＝（）x C．f（x）＝x2 D．f（x）＝

4．命题：“若﹣1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是（　　）

A．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 B．若x2＜1，则﹣1＜x＜1 

C．若x2＞1，则x＞1或x＜﹣1 D．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1

5．设2a＝5b＝m，且，则m＝（　　）

A． B．10 C．20 D．10

6．若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（　　）

A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}

7．已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢（p∨q）

8．关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：

①f（x）是偶函数

②f（x）在区间（，π）单调递增

③f（x）在[﹣π，π]有4个零点

④f（x）的最大值为2

其中所有正确结论的编号是（　　）

A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③

9．已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q

10．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　　）

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2 

C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2

11．下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x∈R，lgx＝0 B．∃x∈R，tanx＝1 

C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R，2x＞0

12．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（　　）

A． B． 

C． D．

二．填空题（共4小题）

13．集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝　 　．

14．函数f （x）＝+lnx的定义域是　        　．

15．若函数f（x）＝eax+ln（x+1），f'（0）＝4，则a＝　 　．

16．已知双曲线C：﹣＝1，则C的右焦点的坐标为　      　；C的焦点到其渐近线的距离是　      　．

三．解答题（共6小题）

17．已知α∈（，π），sinα＝．

（1）求sin（+α）的值；

（2）求cos（﹣2α）的值．

18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM．

（1）证明：平面PAM⊥平面PBD；

（2）若PD＝DC＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

19．在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．

（Ⅰ）求b，c的值；

（Ⅱ）求sin（B﹣C）的值．

20．已知公比大于1的等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3＝8．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1anan+1．

21．研究某灌溉渠道水的流速y与水深x之间的关系，测得一组数据如表：

（1）求y对x的回归直线方程；

（2）预测水深为1.95m时水的流速是多少？

22．（1）我们知道，以原点为圆心，r为半径的圆的方程是x2+y2＝r2，那么表示什么曲线？（其中r是正常数，θ在[0，2π）内变化）

（2）在直角坐标系中，，表示什么曲线？（其中a、b、r是常数，且r为正数，θ在[0，2π）内变化）

数学试卷（文科）答案

一．选择题（共12小题）

1． A．

2． C．

3． D．

4． D．

5． A．

6． B．

7． A．

8． C．

9． B．

10．D．

11． C．

12． D．

二．填空题（共4小题）

13．集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A⊆B，则a＝　3　．

14．函数f （x）＝+lnx的定义域是　{x|x＞0}　．

15．若函数f（x）＝eax+ln（x+1），f'（0）＝4，则a＝　3　．

16．已知双曲线C：﹣＝1，则C的右焦点的坐标为　（3，0）　；C的焦点到其渐近线的距离是　　．

三．解答题（共6小题）

17．【解答】解：（1）∵α∈（，π），sinα＝．

∴cosα＝﹣＝﹣，

∴sin（+α）＝sincosα+cossinα＝×（﹣+）＝﹣．

（2）由（1）可得：sin2α＝2sinαcosα＝﹣，cos2α＝1﹣2sin2α＝

故cos（﹣2α）＝coscos2α+sinsin2α＝（﹣）×+（﹣）＝﹣．

18． 【解答】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，AM⊂平面ABCD，

∴PD⊥AM，

又∵PB⊥AM，

PD∩PB＝P，PB，PD⊂平面PBD．

∴AM⊥平面PBD．

∵AM⊂平面PAM，

∴平面PAM⊥平面PBD；

（2）解：由PD⊥底面ABCD，

∴PD即为四棱锥P﹣ABCD的高，△DPB是直角三角形；

∵ABCD底面是矩形，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．

设AD＝BC＝2a，取CP的中点为F．作EF⊥CD交于E，

连接MF，AF，AE，

可得MF∥PB，EF∥DP，

那么AM⊥MF．且EF＝．AE＝＝，AM＝＝，

．

∵△DPB是直角三角形，

∴根据勾股定理：BP＝，则MF＝；

由△AMF是直角三角形，

可得AM2+MF2＝AF2，

解得a＝．

底面ABCD的面积S＝，

则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝＝．

19． 【解答】解：（Ⅰ）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣．

∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB

＝，

∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；

（Ⅱ）在△ABC中，∵cosB＝﹣，∴sinB＝，

由正弦定理有：，

∴，

∵b＞c，∴B＞C，∴C为锐角，

∴cosC＝，

∴sin（B﹣C）＝sinBcosC﹣cosBsinC

＝

＝．

20． 【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q（q＞1），

则，

∵q＞1，∴，

∴．

（2）a1a2﹣a2a3+…+（﹣1）n﹣1anan+1

＝23﹣25+27﹣29+…+（﹣1）n﹣1•22n+1，

＝＝．

21． 【解答】解：（1）散点图如图所示即为所求．

（2）采用列表法的方法计算a与回归系数b，

于是，＝＝1.75，＝×15.82＝1.9775，

＝＝≈0.733，

＝1.9775﹣×1.75≈0.694，

y对x的回归直线方程为：

＝+x＝0.733x+0.694．

（3）由（1）中求出的回归直线方程，把x＝1.95代入，得

＝0.694+0.733×1.95≈2.12（m/s）

计算结果表明，当水深为1.95m时，可以预测渠水的流速为2.12m/s．

22．【解答】解：（1）化为x2+y2＝r2，因此（其中r是正常数，θ在[0，2π）内变化）表示以原点为圆心，r为半径的圆．

（2），化为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，

∴，表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆