山东省潍坊第四中学2022届高三上学期第一次过程检测数学试题 含答案

        潍坊四中过程检测数学试题    2021.10

一、单选题(每题5分，共40分)

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3． 2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（    ）

A．198 B．268 C．306 D．378

4．十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（    ）

A． B． C． D．

5．已知函数则（    ）

A． B． C． D．

6．二项式的展开式中的系数为20，则（    ）

A．7 B．6 C．5 D．4

7．已知函数，则函数的大致图象为（    ）

A． B．

C． D．

8．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（    ）

A． B． C． D．

二、多选题(每题5分，对而不全得2分，共20分)

9．某学校为了调查高二年级学生周末阅读时间情况，随机选取了名学生，绘制了如图所示频率分布直方图，则（    ）

A．众数的估计值为              B．中位数的估计值为

C．平均数的估计值为          D．样本中有名同学阅读时间不低于分钟

10．已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则（    ）

A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为

B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为

C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为

D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为

11．设实数满足a，b满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

12．已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（    ）

A．是奇函数 B．是周期为4的周期函数

C． D．

三、填空题(每小题5分，共20分)

13．某校2000名学生的某次数学考试成绩，则成绩位于区间的人数大约是______人（注：若，则，，）

14．已知函数，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.

15．拉面是很多人喜好的食物.师傅在制作拉面的时候，将面团先拉到一定长度，然后对折，对折后面条根数变为原来的2倍，再拉到上次面条的长度.每次对折后，师傅都要去掉捏在一只手里的面团.如果拉面师傅将300克而团拉成细丝面条，每次对折后去掉捏在手里的面团都是18克.第一次拉的长度是，共拉了7次，假定所有细丝面条粗线均匀､质量相等，则最后每根长的细丝面条的质量是___________.

16．已知正方体的棱长为，交于，是棱的中点，则直线被正方体外接球所截得的线段长度为________．

四、解答题(共70分)

17．(本题10分)计算：

（1）

（2）

18．(本题12分)如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点．

（1）求证：平面；

（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求．

19．(本题12分)已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在区间上单调递增，求的取值范围．

20．(本题12分)如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

21．(本题12分)某地已知6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过血液检测确定该感染人员，血清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染，拟采用两种方案检测：方案甲；将这6名疑似病人血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的血清混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份血清逐个检测，直到能确定感染人员为止.

（1）求甲方案所通检测次数X和乙方案所需检测次数Y的概率分布；

（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.

22．(本题12分)已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

                数学参考答案及评分标准              2021.10

一、单选题(每题5分，共40分)

1．A  2．B  3．A  4．A  5．B  6．B  7．D  8．D

二、多选题(每题5分，对而不全得2分，共20分)

9．ACD    10．ACD    11．BCD    12．BC

三、填空题(每小题5分，共20分)

13．43      14．      15．3克      16．

四、解答题(共70分)

17．（本题共10分）

解（1）原式；

（2）原式.

18．（本题共12分）

解：（1）证明：连接A1B交AB1于点O，连接OD1，

则在平形四边形ABB1A1中，点O为A1B的中点，

又点D1为A1C1的中点，所以OD1∥BC1，

又OD1⊂平面AB1D1，B1C⊄平面AB1D1，

所以BC1∥平面AB1D1．

（2）V1＝＝＝＝V2    所以＝．

19．（本题共12分）

解： （1）当a＝﹣3时，函数f（x）＝x﹣﹣4lnx（x＞0），

＝1+﹣＝＝，

由＞0，可得0＜x＜1或x＞3，由＜0，可得1＜x＜3，

所以f（x）的单调递增区间为（0，1），（3，+∞）；递减区间为（1，3）；

（2）＝1﹣﹣＝，x＞0，

f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，即为≥0在区间（0，+∞）上恒成立，

即a≤x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4在区间（0，+∞）上恒成立，由（x2﹣4x）min＝﹣4，得a≤﹣4，

即a∈.

20．（本题共12分）

解： （1）取，中点，，连接，，.

由，得，，

又，所以平面.由，知四边形是平行四边形，则，

平面，平面，所以平面，

同理平面，且，所以平面平面，所以平面.

（2）由，

知四边形是以的等腰梯形.

连接，则，又平面，所以，

所以平面，又平面，所以平面平面，

于是点在底面内的射影在上.

（在平面中，，点在以AC为直径的圆上运动）

取中点，则，于是当底面时，四棱锥的体积最大.

如图，以为原点，分别以射线，，为，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系.

由题意得，，，

，.

所以，，.

设平面的法向量，

由，得，取，则.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

21．（本题共12分）

解： （1）由题意可知的可取值为：，

，

，，

所以的分布列为：

由题意可知的可取值为：，

包含两种情况：“检测第一组呈阳性，检测该组第一个人呈阳性”、“检测第一组呈阴性，检测另一组第一个人呈阳性”，

所以，，

所以的分布列为：

（2）设每次的检测费用为，方案甲的检测费用为，方案乙的检测费用为，

所以，所以，

所以，故方案乙检测总费用较少.

22．（本题共12分）

解： （1），，．

①若，则恒成立，故在上单调递增．

②若，令，得．

③若，则恒成立，故在上单调递减．

综上所述，若，在上单调递增；若，在上单调递增，在上单调递减；若，在上单调递减．

（2）令，故，

所以，令，

，

下面证明，其中．

令，，则．

所以在上单调递增，故，所以当时，．

所以，

所以在上单调递增，故．

①若，即，则，所以在上单调递增，

所以对恒成立，所以符合题意．

②若，即，此时，

，

且据及可得，故，所以．

又的图象在上不间断，所以存在，使得，

且当时，，在上单调递减，

所以，其中，与题意矛盾，所以不符题意，舍去．

综上所述，实数的取值范围是．