四川省内江市第六中学2022届高三上学期第一次月考数学（理科）试题 含答案

内江六高2021-2022学年上期高22届第一月考

理科数学试题

一、单选题（共12个小题，每小题5分）

1.已知，则（     ）

A. B.  C. D.

2.函数，则（     ）

A.在(0，＋∞)上单调递增    B.在(0，＋∞)上单调递减

C.在上单调递增       D.在上单调递减

3.已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（     ）A.  B.       C.  D.

4.已知有下列各式：，成立，观察上面各式，按此规律若，则正数（     ）

A.4             B.5            C.         D.

5.已知随机变量服从正态分布，，则（     ）

A.           B.         C.         D.

6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（     ） A. 60种                B. 120种                 C. 240种                 D. 480种

7.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（     ）

A.甲与丙相互独立   B.甲与丁相互独立    C.乙与丙相互独立    D.丙与丁相互独立

8.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（     ）

 A.             B.        C.         D. 

9.若过点可以作曲线的两条切线，则（     ）

A.     B.      C. D.

10.已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（     ）

 A.13         B.12       C.9         D.6

11.已知正方体的棱长为1，点P是平面AC内的动点，若点P到直线的距离等于点P到直线CD的距离，则动点P的轨迹所在的曲线是（     ）

A. 抛物线   B. 双曲线   C. 椭圆   D. 直线

12.设f(x)＝xex，g(x)＝x2＋x.若任意x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1>x2，有m[f(x1)－f(x2)]>g(x1)－g(x2)恒成立，则实数m的取值范围为（     ）

A. [e，＋∞)        B.[-e，＋∞)       C.（-∞，-e]       D.（-∞， e]

二、填空题（共4个小题，每小题5分）

13.在的展开式中，的系数为             （用数字作答）

14.已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为__________．

15.已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.

16.已知函数与的图像上存在关于原点的对称点，则实数的取值范围是__________________．

三、解答题（共7个小题，共70分）

17. 已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）对一切，恒成立，求实数的取值范围；

18.某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生《圆锥曲线》的选填题的得分率，对学生《圆锥曲线》的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求所抽取的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的人数为，求的分布列和数学期望.

19.如图, 在直四棱柱中, 底面四边形为梯形, 点为

上一点, 且，∥,

（1）求证：∥平面； （2）求二面角的正弦值.

20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，的面积为，点为椭圆的下顶点， （1）求椭圆的标准方程；

（2）经过抛物线焦点的直线交椭圆于两点，求取值范围

21.已知函数f(x)＝(x＋a)·e－x，若曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与直线y＝x－2平行.

(1)求实数a的值； (2)如果0<x1<x2，且f(x1)＝f(x2)，求证：3x1＋x2>3.

请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22.（选修4—4：坐标系与参数方程，本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．直线的极坐标方程为．

（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；

（2）若，求以曲线与轴的交点为圆心，且这个交点到直线的距离为半径的圆的方程

23.（选修4—5：不等式选讲，本小题满分10分）已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）当取最小值时，求使得成立的正实数的取值范围．

内江六高2021-2022学年上期高22届第一月考

理 科 数 学 参 考 答 案

1-5  DDACA      6-10 CBDDC      11-12 BA

13.15    14.       15.       16. 

17.（1），得由，得……………………3分

∴的递增区间是，递减区间是…………………………………………5分

（2）对一切，恒成立，

可化为对一切恒成立. ……………………………………8分

令，

当时，，即在递减

当时，，即在递增，∴………11分

∴，即实数的取值范围是 ………………………………………………12分

18. （1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：

的频率为：；的频率为：；

的频率为：；的频率：；

的频率为：，

∴.……………………… 4分

（2）根据题意得每个学生《圆锥曲线》的选填题的训练的质量指标值位于内的概率为，                                   …………………………5分

所以，的可能取值为：0，1，2，3，4，

，，，

，，       ……………………10分

∴的分布列为：

……………………11分

∴. …………………………12分

19. （1）因为四棱柱为直四棱柱，所以∥， ……………1分

又已知，所以点为的中点，       …………………………2分

又，且∥，所以且∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，                              ……………………3分

又在平面中，，在平面中，

由面面平行的判定定理的推论知平面∥平面，又平面

所以∥平面                               ……………………5分

（2）由（1）知点为的中点，所以为的边上的中线，而，所以由在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形，且这边所对的角为直角知，为直角三角形，且为直角，故，又在直四棱柱中，底面，所以两两互相垂直，则建立空间直角坐标系如图所示，      ……………………7分

则，，，

设平面的一个法向量为 又，，则由得，即

令，则，，所以  ……………………9分

同理设平面的一个法向量为

又，，则由得，即，令，则，

所以  ……………………………………………………………………10分

所以……………………………………………………………11分

设二面角的平面角为，则

故所求二面角的正弦值为……………………………………………12分

20. （1）因为为直角三角形，所以，则……2分

又，所以，又

所以，则…………………………………………………4分

，故椭圆的标准方程为   ………………5分

（2）因为抛物线的焦点坐标为，所以点的坐标为，设

，又因为

①若直线与轴重合，……………7分

②若直线不与轴重合，设直线的方程为，则，消去得

，所以，，

则由两点间的距离公式有，

同理，                                ………………………9分

所以

因为，所以，所以…………………11分

综上①②可知，即的取值范围是      

……………………………12分

21(1)由f(x)＝(x＋a)e－x，得f′(x)＝(1－a－x)e－x.……………………………………………1分

依题设f′(0)＝1－a＝1，∴a＝0.   ……………………………………………………………3分

(2)由(1)知，f(x)＝xe－x，因为0<x1<x2，且f(x1)＝f(x2)，得＝，

所以x2＝x1·ex2－x1，令t＝x2－x1(t>0)，则x1et－x1＝t得x1＝，x2＝.

………………………………………………………6分

要证3x1＋x2>3，即证＋>3，因为t>0，所以et－1>0，即证.

………………………………………………………8分

设 (t－3)et＋3t＋3(t>0)，则g′(t)＝(t－2)et＋3(t>0).

令h(t)＝(t－2)et＋3(t>0)，则h′(t)＝(t－1)et，当0<t<1时，h′(t)<0，当t>1时，h′(t)>0

所以函数h(t)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增

所以h(t)≥h(1)＝3－e>0，即g′(t)>0，所以g(t)在(0，＋∞)上单调递增 ………………10分

所以g(t)>g(0)＝0，即g(t)＝(t－3)et＋3t＋3>0  …………………………………………11分

所以3x1＋x2>3.  ……………………………………………………………………………12分

22.（1）由，得，

因为，

所以，即，又，

所以，

即曲线的极坐标方程为；     ……………………………3分

因为直线的极坐标方程为，即，

又，所以直线的直角坐标方程为……………………………5分

（2）因为，由（1）知曲线的普通方程为（）；它与轴的交点为，                                               ……………………7分

又直线的直角坐标方程为，故由点到直线的距离公式有：曲线与轴的交点到直线的距离                     …………………………9分

故所求的圆的方程为                    …………………………10分

23. （1）由不等式可得，

可化为或或

解得或或，综上不等式的解集为……5分

（2）因为，

当且仅当，即时，等号成立

故当时，，                         ……………………7分

又

，故所求m的取值范围 …………………10分