2021年上海市普陀高三一模数学试卷及答案

这是一份2021年上海市普陀高三一模数学试卷及答案，共9页。试卷主要包含了本场考试时间120分钟等内容，欢迎下载使用。
     普陀区2020学年第一学期高三数学质量调研                         考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.  3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上或试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.  4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 若集合，，则        .2. 函数（）的反函数为         .3. 若且，则         .4. 设无穷等比数列的各项和为，若该数列的公比为，则        .5. 在的二项展开式中项的系数为          .6. 若正方体的棱长为，则该正方体的外接球的体积为        .7. 若圆以椭圆的右焦点为圆心、长半轴为半径，则圆的方程为          .8. 一个袋中装有同样大小、质量的个球，其中个红色、个蓝色、个黑色.经过充分混合后，若从此袋中任意取出个球，则三种颜色的球均取到的概率为         .9. 设，则不等式的解集为          .10. 某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为、、（单位：），且该区域的租金为每天元/.若租用上述区域天，则仅场地的租用费约需        元.（结果保留整数）11.如图所示，在直角梯形中，已知，，，， 为的中点.设、分别为线段、上的动点，若、、   三点共线，则 的最大值为         .12.设、均为实数，若函数在区间上有零点，则的取值范围是           . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.曲线的准线方程是（    ）.                             14.设、均为实数，且，则在以下各项中的可能取值只能是（    ）.                            15. 如图，在正四棱柱中，底面边长，高，为棱的中点.设、、，则、、之间的关系正确的是（    ）.                  16.设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列两个结论：①存在、，使得该方程仅有两个共轭虚根；②存在、，使得该方程最多有个互不相等的根.其中正确的是（     ）.①与②均正确                       ①正确，②不正确①不正确，②正确                   ①与②均不正确 三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设为常数，函数（）（1）设，求函数的单调递增区间及频率；（2）若函数为偶函数，求此函数的值域. 18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）双曲线：的左、右焦点分别为、，直线经过且与的两条渐近线中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.（1）设为右支上的任意一点，求的最小值；（2）设为坐标原点，求到的距离，并求与的交点坐标. 19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）某商场共有三层楼，在其圆柱形空间内安装两部等长的扶梯Ⅰ、Ⅱ供顾客乘用. 如图，一顾客自一楼点处乘Ⅰ到达二楼的点处后，沿着二楼面上的圆弧逆时针步行至点处，且为弧的中点，再乘Ⅱ到达三楼的点处.设圆柱形空间三个楼面圆的中心分别为、、，半径为米，相邻楼层的间距米，两部电梯与楼面所成角的大小均为.（1）求此顾客在二楼面上步行的路程；（2）求异面直线和所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.  20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知无穷数列的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且.（1）设，求数列的通项公式，并求的值；（2）设，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由.（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得.  21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）    已知函数（1）解不等式；（2）设、均为实数，当时，的最大值为，且满足此条件的任意实数及的值，使得关于的不等式恒成立，求的取值范围；（3）设为实数，若关于的方程恰有两个不相等的实数根、且，试将表示为关于的函数，并写出此函数的定义域.      普陀区2020学年第一学期高三数学质量调研评分细则一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1--6题每题4分，第7—12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.    2.（）    3.     4.       5.      6.7.     8.     9.    10.    11.    12..二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.题号13141516答案CBBA三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）【解】（1）当时，……2分由，得，所以此函数的单调递增区间为，.  ……4分 频率.……6分（2）定义域，因为函数为偶函数，所以对于任意的，均有成立.……7分即……9分也即对于任意实数均成立，只有.……11分此时，因为，……12分所以，故此函数的值域为.……14分18.（1）根据题设条件，可得.设，其中,且……2分         ，……4分所以当时，.…………6分（2），的两条渐近线方程为，……8分根据题设条件，可得：.……9分    到的距离.……10分  将与的方程联立，得……11分，消去得，，……12分解得，代入得，所以与的交点坐标为.……14分19.（1）过点作1楼面的垂线，垂足为,则落在圆柱底面圆上，连接，则即为在圆柱下底面上的射影，所以即为与楼面所成的角，即.……2分，可得……3分.△中，,所以△是等腰直角三角形.故.……5分又因为，所以弧的长为，所以此顾客在二楼面上步行的路程为米.…7分（2）由（1）可知两两互相垂直相交，于是以为坐标原点，以射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.……8分易得,,,,向量,……10分设异面直线和所成角的大小为，则，……12分即，所以异面直线和所成角的大小为.…………14分 20. 解（1）由，得数列是以为首项、为公差的等差数列.故（）.……2分；……4分.（2）是等差数列，，得，又因为，所以.     故，所以（）……6分          当时，,不等式成立…………8分；      当时，不等式都不成立。所以满足条件的所有的的值为.……10分（3）①先证必要性：任取等差数列中不同的两项和（），存在，使得，则，得，故存在，使得，使得，.……12分再证：运用反证法.假设当时，不成立，则恒成立.对于不同的两项、，应存在，使得，即故，又因为是小于的整数，故.所以假设不成立，故.②再证充分性：当，，，任取等差数列中不同的两项和（）因为且所以综上①②可得，等差数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得得证.……16分21.【解】（1）当时，，代入，得，因为，所以；……1分 当时，，代入，得，所以，解得……2分.故原不等式的解集为.…………4分（2）当时，，故.…………6分要使得不等式恒成立，需使，即对于任意的都成立.因为，所以.…………7分由，得（当且仅当时，等号成立）……9分 所以…………10分（3）由函数，得……12分①若，则方程变为，即，且；…13分②若，则方程变为，即，且……14分于是、分别是方程、的两个根且由于函数与的图像关于直线对称，故 ……16分，故此函数的定义域为……18分