2021年江苏省扬州市广陵区中考数学一模【试卷+答案】

这是一份2021年江苏省扬州市广陵区中考数学一模【试卷+答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省扬州市广陵区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．﹣2的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
2．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
3．下列各式中，计算结果为a6的是（　　）
A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥
5．已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为（　　）
A．30cm2 B．15cm2 C．30πcm2 D．15πcm2
6．小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差/分2
8.8
8.9
8.5
0.14
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β．则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，0）、D（0，1），点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5，…，重复操作依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，…，则点P2021的坐标为（　　）

A．（2，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，0）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．截止2021年3月31日，扬州高铁东站已经输送旅客约1200000人次．用科学记数法表示1200000是 　 　．
10．分解因式：a3﹣4a＝　 　．
11．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解为　 　．
12．已知反比例函数y＝（x＞0），y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　 　．
13．如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数n
48
82
124
176
230
287
328
投中次数m
33
59
83
118
159
195
223
投中频率
0.69
0.72
0.67
0.67
0.69
0.68
0.68
根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为　 　．（结果精确到0.01）
14．命题“对顶角相等”的逆命题是　 　命题（填“真”或“假”）．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则的长为　 　．

16．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝　 　．

17．若一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为　 　．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是 　 　．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣tan30°；
（2）化简：（a﹣）÷．
20．解不等式组，并求其整数解．
21．中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：

请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中a＝　 　%，并补全条形图；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是　 　个、　 　个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
22．甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．
（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是　 　；
（2）随机抽取2名，求甲在其中的概率　 　．
23．为支援非洲人民战胜疫情，某疫苗生产厂家在清明节期间接到紧急任务，要求在几天内生产700万支疫苗．疫苗厂干部职工放弃休息时间，开足全厂疫苗生产线进行生产，结果每天比原来多生产30万支，提前3天完成了任务．原来要求几天完成这项紧急任务？
24．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

25．如图，点O在△ABC的BC边上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点 D．点E是下半圆弧的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，OF＝1，求cosB的值．

26．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

27．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是AB边上一点，AD＝4，E是BC边上一动点，∠DEF＝60°交AC边于F．
（1）找出图中一对相似三角形，并说明理由；
（2）在点E从B点运动到C点的过程中：
①求AF长的最小值；
②线段DF的中点所经过的路径长为 　 　；线段EF的中点到BC的最大距离为 　 　．

28．已知，点M为二次函数y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴和y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由；
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1，结合图象，求x的取值范围；
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．



参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．﹣2的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【分析】根据倒数的定义即可求解．
解：﹣2的倒数是﹣．
故选：A．
2．函数y＝中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠2
【分析】根据被开方数大于等于0，列式计算即可得解．
解：由题意得，x﹣2≥0，
解得x≥2．
故选：B．
3．下列各式中，计算结果为a6的是（　　）
A．a2•a3 B．a3+a3 C．a12÷a2 D．（a2）3
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
B、a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
C、a12÷a2＝a10，故本选项不合题意；
D、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；
故选：D．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）

A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱柱 D．四棱锥
【分析】由主视图和左视图得出该几何体是柱体，再结合俯视图可得答案．
解：由三视图知，该几何体是三棱柱，
故选：B．
5．已知某圆锥的底面半径为3cm，母线长5cm，则它的侧面展开图的面积为（　　）
A．30cm2 B．15cm2 C．30πcm2 D．15πcm2
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．
解：底面半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15πcm2．
故选：D．
6．小敏参加了某次演讲比赛，根据比赛时七位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数/分
中位数/分
众数/分
方差/分2
8.8
8.9
8.5
0.14
如果去掉一个最高分和一个最低分，那么表格中数据一定不发生变化的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【分析】利用平均数、中位数、众数和方差的意义进行判断．
解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则平均数、众数可能发生变化，数据的波动性变小，方差变小，而7个数据按由小到大排列，最中间的一个数没有变化，所以数据的中位数一定不发生变化．
故选：B．
7．如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β．则竹竿AB与AD的长度之比为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据题意可得，∠DCA＝90°，∠ABC＝α，∠ADC＝β，再根据锐角三角函数即可求出竹竿AB与AD的长度之比．
解：根据题意可知：
∠DCA＝90°，∠ABC＝α，∠ADC＝β，
在Rt△ABC中，AC＝AB•sinα，
在Rt△ADC中，AC＝AD•sinβ，
∴AB•sinα＝AD•sinβ，
∴＝．
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（1，0）、B（0，﹣1）、C（﹣1，0）、D（0，1），点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，点P4绕点A旋转180°得点P5，…，重复操作依次得到点P1，P2，P3，P4，P5，…，则点P2021的坐标为（　　）

A．（2，﹣2） B．（﹣2，0） C．（0，2） D．（0，0）
【分析】通过前几个点坐标确定周期，即可判断 P2021在周期内所处位置．
解：结合图象确定前几个点的坐标为：
P1 （2，﹣2）、P2 （﹣2，0）、P3 （0，0）、P4 （0，2）、P5 （2，﹣2）……
发现周期为 4，
∴2021÷4＝505•••1，
故 P2021是周期内的第1个，
同 P1 坐标．
故选：A．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．截止2021年3月31日，扬州高铁东站已经输送旅客约1200000人次．用科学记数法表示1200000是 　1.2×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
解：1200000＝1.2×106，
故答案为：1.2×106．
10．分解因式：a3﹣4a＝　a（a+2）（a﹣2）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝a（a2﹣4）
＝a（a+2）（a﹣2）．
故答案为：a（a+2）（a﹣2）
11．方程（x+1）（x﹣3）＝﹣4的解为　x1＝x2＝1　．
【分析】先将原方程转化为一般形式，然后利用直接开平方法解方程．
解：由原方程，得
x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
∴x1＝x2＝1；
故答案是：x1＝x2＝1．
12．已知反比例函数y＝（x＞0），y随x的增大而增大，则m的取值范围是 　m＞2　．
【分析】根据反比例函数的性质可得2﹣m＜0，解不等式即可．
解：∵反比例函数y＝（x＞0），y随x的增大而增大，
∴2﹣m＜0，
解得：m＞2．
故答案为：m＞2．
13．如表记录了一名篮球运动员在罚球线上投篮的结果：
投篮次数n
48
82
124
176
230
287
328
投中次数m
33
59
83
118
159
195
223
投中频率
0.69
0.72
0.67
0.67
0.69
0.68
0.68
根据如表，这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为　0.68　．（结果精确到0.01）
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.68附近，
∴这名篮球运动员投篮一次，投中的概率约为0.68，
故答案为：0.68．
14．命题“对顶角相等”的逆命题是　假　命题（填“真”或“假”）．
【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．
解：命题“对顶角相等”的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．
故答案为假．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若⊙O半径为4，且∠C＝2∠A，则的长为　π　．

【分析】连接OB、OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，根据圆周角定理求出∠BOD的度数，利用弧长公式计算即可．
解：连接OB、OD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠C＝2∠A，
∴3∠A＝180°，
∴∠A＝60°，
由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的长：＝π，
故答案为．

16．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD＝　　．

【分析】根据勾股定理得到AC＝＝3，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到BE＝BC＝4，根据勾股定理即可得到结论．
解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝4，AB＝5，
∴AC＝＝3，
过D作DE⊥AB于E，
∵BD平分∠ABC，∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△BCD与Rt△BED中，
∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），
∴BE＝BC＝4，
∴AE＝1，
∵AD2＝DE2+AE2，
∴AD2＝（3﹣AD）2+12，
∴AD＝，
故答案为：．

17．若一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为　y＝2x+7或y＝﹣2x+3　．
【分析】根据一次函数是单调函数，因为知道函数定义域为﹣3≤x≤1，值域为1≤y≤9，进行分类讨论k大于0还是小于0，列出二元一次方程组求出k和b的值．
解：（Ⅰ）当k＞0时，，
解得：，
此时y＝2x+7，
（Ⅱ）当k＜0时，，
解得：，
此时y＝﹣2x+3，
综上，所求的函数解析式为：y＝2x+7或y＝﹣2x+3．
18．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，E为边AD上一个动点，连接BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连接CF，则△CEF面积的最小值是 　15　．

【分析】过点F作AD的垂线角AD的延长线于点H，则△FEH∽△EBA，设AE＝x，可得出△CEF面积与x的函数关系式，在根据二次函数图像的性质求得最小值．
解：过点F作AD的垂线角AD的延长线于点H，

∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，
∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，
∴△FEH∽△EBA，
∴，
设AE＝x，
∵AB＝8，AD＝4，
∴HF＝x，EH＝4，DH＝x，
∴S△CEF＝S梯形DCFH+S△CDE﹣S△EFH＝（x﹣2）2+15，
∴当x＝2时，S△CEF取最小值，最小值是15，
故答案为：15．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（1）计算：（）﹣1+|1﹣|﹣tan30°；
（2）化简：（a﹣）÷．
【分析】（1）根据负整数指数幂的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
解：（1）原式＝4+（﹣1）﹣3×
＝4+﹣1﹣3
＝．
（2）原式＝•
＝•
＝1﹣a．
20．解不等式组，并求其整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，继而可得答案．
解：由3x≥4x﹣1得：x≤1，
由＞x﹣2得：5x﹣1＞2x﹣4，
∴x＞﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
∴不等式组的整数解为0，1．
21．中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽测了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图：

请你根据图中的信息，解答下列问题：
（1）写出扇形图中a＝　25　%，并补全条形图；
（2）在这次抽测中，测试成绩的众数和中位数分别是　5　个、　5　个．
（3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1800人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
【分析】（1）用1减去其他天数所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的百分比，即可求出该扇形所对圆心角的度数；
（2）根据众数与中位数的定义求解即可；
（3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1800即可．
解：（1）扇形统计图中a＝1﹣30%﹣15%﹣10%﹣20%＝25%，
设引体向上6个的学生有x人，由题意得
＝，解得x＝50．
条形统计图补充如下：


（2）由条形图可知，引体向上5个的学生有60人，人数最多，所以众数是5；
共200名同学，排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个，故中位数为（5+5）÷2＝5

（3）×1800＝810（名）．
答：估计该区体育中考选报引体向上的男生能获得满分的同学有810名．
故答案为：25；5，5．
22．甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．
（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是　　；
（2）随机抽取2名，求甲在其中的概率　　．
【分析】（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲在其中的结果数，然后根据概率公式求解．
解：（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是；
（2）画树状图为：

共有6种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为4，
所以甲在其中的概率＝＝．
故答案为，．
23．为支援非洲人民战胜疫情，某疫苗生产厂家在清明节期间接到紧急任务，要求在几天内生产700万支疫苗．疫苗厂干部职工放弃休息时间，开足全厂疫苗生产线进行生产，结果每天比原来多生产30万支，提前3天完成了任务．原来要求几天完成这项紧急任务？
【分析】设原来要求x天完成这项紧急任务，由题意：要求在几天内生产700万支疫苗．疫苗厂干部职工放弃休息时间，开足全厂疫苗生产线进行生产，结果每天比原来多生产30万支，提前3天完成了任务．列出分式方程，解方程即可．
解：设原来要求x天完成这项紧急任务，
根据题意，得：，
解得：x1＝10，x2＝﹣7，
经检验，x1＝10，x2＝﹣7是所列方程的解，x2＝﹣7＜0，不合题意舍去，
∴x＝10，
答：原来要求10天完成这项紧急任务．
24．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作AB的平行线交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：CF＝AD；
（2）若CA＝CB，∠ACB＝90°，试判断四边形CDBF的形状，并说明理由．

【分析】（1）由平行线的性质得出内错角相等∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，再根据AAS证明△ECF≌△EDA，得出对应边相等即可；
（2）先证明四边形CDBF为平行四边形，再由∠BDC＝90°得出四边形CDBF为矩形，然后证出CD＝BD，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵CF∥AB，
∴∠CFE＝∠DAE，∠FCE＝∠ADE，
∵E为CD的中点，
∴CE＝DE，
在△ECF和△EDA中，
，
∴△ECF≌△EDA（AAS），
∴CF＝AD；
（2）解：四边形CDBF为正方形，理由如下：
∵CD是AB边上的中线，
∴AD＝BD，
∵CF＝AD，
∴CF＝BD；
∵CF＝BD，CF∥BD，
∴四边形CDBF为平行四边形，
∵CA＝CB，CD为AB边上的中线，
∴CD⊥AB，即∠BDC＝90°，
∴四边形CDBF为矩形，
∵等腰直角△ABC中，CD为斜边上的中线，
∴CD＝AB＝BD，
∴四边形CDBF为正方形．
25．如图，点O在△ABC的BC边上，⊙O经过点A、C，且与BC相交于点 D．点E是下半圆弧的中点，连接AE交BC于点F，已知AB＝BF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若OC＝3，OF＝1，求cosB的值．

【分析】（1）根据垂径定理求出∠EOF＝90°，根据等腰三角形性质求出∠BAF＝∠BFA，∠E＝∠OAE，求出∠OAE+∠BAF＝90°，根据切线的判定得出即可；
（2）设AB＝x，则BF＝x，OB＝x+1，根据勾股定理求出AB的长，解直角三角形求出即可．
【解答】（1）证明：连接OA、OE，

∵点E是下半圆弧的中点，OE过O，
∴OE⊥DC，
∴∠FOE＝90°，
∴∠E+∠OFE＝90°，
∵OA＝OE，AB＝BF，
∴∠BAF＝∠BFA，∠E＝∠OAE，
∵∠AFB＝∠OFE，
∴∠OAE+∠BAF＝90°，
即OA⊥AB，
∵OA为半径，
∴AB是⊙O的切线；

（2）解：设AB＝x，则BF＝x，OB＝x+1，
∵OA＝OC＝3，
由勾股定理得：OB2＝AB2+OA2，
∴（1+x）2＝32+x2，
解得：x＝4，
∴cosB＝＝．
26．请阅读下列材料：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以∠AP′B＝150°，而∠BPC＝∠AP′B＝150°，进而求出等边△ABC的边长为，问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，BP＝，PC＝1．求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长．

【分析】（1）参照题目给出的解题思路，可将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，根据旋转的性质知：
△BPC≌△BP′A，进而可判断出△BPP′是等腰直角三角形，可得∠BP′P＝45°；然后根据AP′、PP′、PA的长，利用勾股定理得到△APP′是直角三角形的结论，可得∠AP′P＝90°，即可求得∠BP′A的度数，进而可得∠BPC的度数．
（2）过B作AP′的垂线，交AP′的延长线于E，易知△BEP′是等腰直角三角形，即可得到P′E、BE的长，进而可在Rt△ABE中，利用勾股定理求得正方形的边长．
解：（1）如图，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′＝PC＝1，BP＝BP′＝；
连接PP′，
在Rt△BP′P中，
∵BP＝BP′＝，∠PBP′＝90°，
∴PP′＝2，∠BP′P＝45°；
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，AP＝，
∵，即AP′2+PP′2＝AP2；
∴△AP′P是直角三角形，即∠AP′P＝90°，
∴∠AP′B＝90°+45°＝135°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝135°．

（2）过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E；则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B＝45°，
∴EP′＝BE＝1，
∴AE＝2；
∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB＝；
∴∠BPC＝135°，正方形边长为．

27．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是AB边上一点，AD＝4，E是BC边上一动点，∠DEF＝60°交AC边于F．
（1）找出图中一对相似三角形，并说明理由；
（2）在点E从B点运动到C点的过程中：
①求AF长的最小值；
②线段DF的中点所经过的路径长为 　　；线段EF的中点到BC的最大距离为 　　．

【分析】（1）根据等边三角形的性质及相似三角形的判定可得答案；
（2）①根据相似三角形的性质可得＝，设BE＝x，可表示CF的长，再由配方法可得答案；
②设DF的中点为G，作GH⊥AC于H，DK⊥AC于K，根据图形及最值可得路径的长；设EF的中点为M，作MN∥BC交CF于N，NP⊥BC于P，由此可得最大距离．
解：（1）△BDE∽△CEF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C，
∵∠DEF＝60°，
∴∠BED+∠CEF＝120°，∠BED+∠BDE＝120°，
∴∠BDE＝∠CEF，
∴△BDE∽△CEF．
（2）①∵△BDE∽△CEF，
∴＝

设BE＝x，则＝，CF＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣3）2+，
∴CF长的最大值为，AF长的最小值为，
②，．
设DF的中点为G，作GH⊥AC于H，DK⊥AC于K，
则GH＝DK，

由于D是定点，
∴DK是定值，故GH是定值，
∴点G的运动路径是一条平行于AC的线段，
当点E与B点重合时，点F与C点重合，
随后CF逐渐增大，直至最大，之后CF逐渐减小，
当点E与C点重合时，点F与C点重合，
∴线段DF的中点所经过的路径长即为CF长的最大值，为，
设EF的中点为M，作MN∥BC交CF于N，NP⊥BC于P
∴CN＝CF，NP＝CN＝CF，
∴线段EF的中点到BC的最大距离即为N点到BC的最大距离，
最大距离为：×＝．
故答案为：，．
28．已知，点M为二次函数y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴和y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由；
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1，结合图象，求x的取值范围；
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

【分析】（1）点M在直线y＝4x+1上，理由如下：配方y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，表示出顶点M的坐标是（b，4b+1），把x＝b代入y＝4x+1，即可求解；
（2）由直线关系式可得B点坐标为（0，5），代入二次函数关系式得5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，得b＝2，理由函数关系式求出A（5，0），由图象，得当mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）如图2，∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，利用A（5，0），B（0，5）求出直线AB的解析式为y＝﹣x+5，联立EF，AB得方程组，解得：，得点E（，），而F点坐标为（0，1），由题意得1＜4b+1＜，求出0＜b＜，根据b的范围进行分类讨论．
解：（1）点M在直线y＝4x+1上，
理由如下：∵y＝﹣x2+2bx﹣b2+4b+1＝﹣（x﹣b）2+4b+1，
∴顶点M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）如图1，直线y＝mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5），
又∵B在抛物线上，
∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，
解得b＝2，
∴二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，
解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（5，0），
由图象，得当mx+5＞﹣x2+2bx﹣b2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；
（3）如图2，
∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
设直线AB的函数关系式为：y＝px+q，
将A（5，0），B（0，5）代入得，
，
解方程组得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
联立EF，AB得方程组，
解得：，
∴点E（，），而F点坐标为（0，1），
∵点M（b，4b+1）在△AOB内，
∴1＜4b+1＜，
∴0＜b＜，
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣＝﹣b，
∴b＝，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，
综上：①当0＜b＜时，y1＞y2；②当b＝时，y1＝y2；③当＜b＜时，y1＜y2．