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安徽省合肥市瑶海区部分学校2021-2022学年八年级上学期期中联考数学【试卷+答案】
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这是一份安徽省合肥市瑶海区部分学校2021-2022学年八年级上学期期中联考数学【试卷+答案】，共23页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
合肥瑶海区部分学校2021-2022学年八上期中联考数学试卷
温馨提示：本试卷共4页八大题，23小题，满分150分，时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．点P（0，3）在（ ）
A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上
2．如图，如果“帅”的位置坐标为（1，﹣2），“相”的坐标为（3，﹣2），则“炮”的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
3．如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．80°
4．在平面直角坐标系中，点（a，a﹣1）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
6．已知等腰△ABC的两边长分别为2和5，则等腰△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．无法确定
7．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
8．已知点A（a，b）位于第二象限，并且b≤3a+7，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．已知△ABC，
（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，例如{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若直线y＝kx﹣6与直线y＝没有交点，则k＝ ．
12．已知一次函数y＝（1+m）x﹣1+m的图象上两点A（0，y1），B（1，y2），其中y1＜y2，那么m的取值范围是 ．
13．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝ 度．
14．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ 度．
三、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知关于x的正比例函数y＝（k﹣1）x+k+1，求这个正比例函数的解析式．
16．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣4）、B（0，﹣3）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣3，﹣2）．画出将四边形ABCD先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的四边形A′B′C′D′；并写出点C′的坐标；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，﹣2a）．将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．
18．在给出的网格中画出一次函数y＝2x﹣3的图象，并结合图象求：
（1）方程2x﹣3＝0的解；
（2）不等式2x﹣3＞0的解集；
（3）不等式﹣1＜2x﹣3＜5的解集．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G．试说明：DE+DF＝BG．
六、（本题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+1，y0+2），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）若点P在y轴上，且△A1B1P的面积是1，请直接写出点P的坐标．
七、（本题满分12分）
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
八、 （本题满分14分）
23．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
合肥瑶海区部分学校2021-2022学年八上期中联考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．点P（0，3）在（ ）
A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上
【分析】根据y轴上点的横坐标为零，纵坐标小于零在y轴的负半轴上，可得答案．
【解答】解：P（0，3）在y轴的负半轴上，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，x轴上点的纵坐标为零，y轴上点的横坐标为零．
2．如图，如果“帅”的位置坐标为（1，﹣2），“相”的坐标为（3，﹣2），则“炮”的坐标是（ ）
A． （2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】“炮”的坐标可以看作“帅”向左移动3个单位，再向上移动3个单位得到．
【解答】解：∵“帅”的位置坐标为（1，﹣2），
∴由图形可知，“炮”的横坐标是“帅”向左移动2个单位即1﹣3＝﹣2，纵坐标为“帅”向上移动3个单位得到即﹣2+3＝1，故“炮”的坐标是（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的位置的确定，另一种解题思路为：可以通过已知“士”，“相”的坐标确定原点的位置，再确定“炮”的坐标．
3．如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．80°
【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠BAD，再根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝20°，
∴∠BAD＝∠C+∠ABC＝50°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠BAD＝50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
4．在平面直角坐标系中，点（a，a﹣1）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】分a﹣1＞0和a﹣1＜0两种情况讨论，即可得到a的取值范围，进而求出已知点所在的象限．
【解答】解：当a﹣1＞0时，a＞1，点可能在第一象限；
当a﹣1＜0时，a＜1，点在第三象限或第四象限；
所以点不可能在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查象限点的坐标的符号特征，根据第三象限为（﹣，﹣）第二象限为（﹣，+），判断点M的符号不可能为（﹣，+）．记住横坐标相同的点在一四象限或二三象限是关键．
5．一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
【分析】首先设定一个为一次函数y1＝ax+b的图象，再考虑另一条的a，b的值，看看是否矛盾即可．
【解答】解：A、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故错误；
B、由y1的图象可知，a＞0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故错误；
C、由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＜0，即a＞0，两结论相矛盾，故错误；
D、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＞0，﹣a＜0，即a＞0，两结论符合，故正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．已知等腰△ABC的两边长分别为2和5，则等腰△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．无法确定
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当2是腰时，2，2，5不能组成三角形，应舍去；
当5是腰时，5，5，2能够组成三角形．
∴三角形的周长为12．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否大于90°，进而得出结论．
【解答】解：A．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，∴∠C＝180°×＝90°，∴该三角形是直角三角形；
C．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A＝180°×＞90°，∴该三角形是钝角三角形；
D．∵∠A＝9°，∠B＝81°，∴∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用三角形内角和定理进行计算．
8．已知点A（a，b）位于第二象限，并且b≤3a+7，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：由点A（a，b）在第二象限，得a＜0，b＞0，
又因为b≤3a+7，a，b均为整数，
所以或或或或，
所以满足条件的点A个数有5个．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
9．已知△ABC，
（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】用角平分线的性质和三角形内角和定理证明，证明时可运用反例．
【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB
则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
故成立；
（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立；
（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，
∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠PBC+∠BCP＝90°+∠A，
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选：C．
【点评】利用特例，反例可以比较容易的说明一个命题是假命题．
10．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，例如{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】利用新定义得到当2x﹣1≥﹣x+3，即x≥时，y＝﹣x+3；当2x﹣1≤﹣x+3，即x≤时，y＝2x﹣1，然后分别利用一次函数的性质求函数的最大值即可．
【解答】解：当2x﹣1≥﹣x+3，即x≥时，y＝﹣x+3，则x＝时，y的值最大，最大值为；
当2x﹣1≤﹣x+3，即x≤时，y＝2x﹣1，则x＝时，y的值最大，最大值为；
所以该函数的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
四、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． 若直线y＝kx﹣6与直线y＝没有交点，则k＝ ．
【分析】两直线没有交点，说明两条直线平行，k值相等．
【解答】解：由题意可得，
k＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查坐标系内两条直线平行问题；若两条直线平行，则k1＝k2．
12． 已知一次函数y＝（1+m）x﹣1+m的图象上两点A（0，y1），B（1，y2），其中y1＜y2，那么m的取值范围是 ．
【分析】先根据0＜1时，y1＞y2，得到y随x的增大而减小，所以x的比例系数小于0，那么1+m＜0，解不等式即可求解．
【解答】解：∵当0＜1时，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小
∴1+m＜0，
∴m＜﹣1．
故答案是m＜﹣1．
【点评】本题考查一次函数的图象性质：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．
13．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝ 度．
【分析】根据三角形的内角和与平角定义可求解．
【解答】解：如图，根据题意可知∠5＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝180°+180°﹣（∠3+∠4）＝360°﹣90°＝270°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和内角与外角之间的关系．要会熟练运用内角和定理求角的度数．
14．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ 度．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1＝∠A，进而可求∠A1，由于∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2018即可求得．
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∠A2＝∠A1＝∠A，…，
以此类推可知∠A2021＝∠A＝（）°，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1＝∠A，并能找出规律．
五、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知关于x的正比例函数y＝（k﹣1）x+k+1，求这个正比例函数的解析式．
【分析】根据正比例函数的定义，可得答案．
【解答】解：由题意得：k+1＝0
解得：k＝﹣1，
∴k﹣1＝﹣2，
∴这个正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是能够根据正比例函数的一般形式列出算式，难度不大．
16．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣4）、B（0，﹣3）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣3，﹣2）．画出将四边形ABCD先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的四边形A′B′C′D′；并写出点C′的坐标；
【分析】（1）首先确定A、B、C、D点平移后的位置，再连接即可；利用坐标系写出答案即可．
【解答】解：如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求；点C′的坐标（2，2）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是确定组成图形的关键点平移后的位置．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，﹣2a）．将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．
【分析】根据平移方法，可得到N点坐标，N在第三象限，所以横坐标小于0，纵坐标小于0解不等式组可得a的取值范围．
【解答】解：将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，点M的坐标为（a，﹣2a），所以N点坐标为（a﹣2，﹣2a+1），因为N点在第三象限，所以，解得＜a＜2，所以a的取值范围为＜a＜2．
【点评】本题考查图形的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．
18．在给出的网格中画出一次函数y＝2x﹣3的图象，并结合图象求：
（1）方程2x﹣3＝0的解；
（2）不等式2x﹣3＞0的解集；
（3）不等式﹣1＜2x﹣3＜5的解集．
【分析】（1）利用描点法画出两个一次函数图象；
（2）利用函数图象，找出直线y＝x﹣1在直线y＝2x﹣3下方所对应的自变量的范围即可；
（3）利用函数图象，找出直线y＝x﹣1在直线y＝2x﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）由图象可知，方程2x﹣3＝0的解是x＝，
（2）由图象可知，不等式2x﹣3＞0的解集是x＞；
（3）由图象可知，不等式﹣1＜2x﹣3＜5的解集是：1＜x＜4．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令x＝0，y＝0，代入y＝x+即可确定C、D点坐标；
（3）根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得 ，
解得 ．
所以一次函数解析式为y＝x+；
（2）令y＝0，则0＝x+，解得x＝﹣，
所以C点的坐标为（﹣，0），
把x＝0代入y＝x+得y＝，
所以D点坐标为（0，），
（3）△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD
＝××2+××1
＝．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G．试说明：DE+DF＝BG．
【分析】连接AD，根据△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB＝AC，即可得到DE+DF＝BG．
【解答】证明：连接AD．
则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，
AB•DE+AC•DF＝AC•BG，
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝BG．
【点评】考查了三角形的面积和等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形面积的两种不同表示方法求解．
六、（本题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+1，y0+2），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）若点P在y轴上，且△A1B1P的面积是1，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）依据点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+1，y0+2），可得平移的方向和距离，将△ABC作同样的平移即可得到△A1B1C1；
（2）利用割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积；
（3）设P（0，y），依据△A1B1P的面积是1，即可得到y的值，进而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；A1（0，0），B1（﹣1，﹣2），C1（﹣3，1）；
（2）△A1B1C1的面积为：（1+3）×3﹣×1×3﹣×1×2＝6﹣1.5﹣1＝3.5；
（3）设P（0，y），则A1P＝|y|，
∵△A1B1P的面积是1，
∴×|y|×1＝1，
解得y＝±2，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
【点评】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
七、（本题满分12分）
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），
即y＝﹣50x+15000；
②据题意得，100﹣x≤2x，
解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
九、 （本题满分14分）
23．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解即可．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
（3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度，
∠ABP+∠ACP＝35度．
故答案为125，90，35．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
理由：设AB交PN于O．
∵∠AOC＝∠BOP，
∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，
∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①
③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，
∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
合肥瑶海区部分学校2021-2022学年八上期中联考数学试卷
温馨提示：本试卷共4页八大题，23小题，满分150分，时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．点P（0，3）在（ ）
A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上
2．如图，如果“帅”的位置坐标为（1，﹣2），“相”的坐标为（3，﹣2），则“炮”的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
3．如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．80°
4．在平面直角坐标系中，点（a，a﹣1）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
6．已知等腰△ABC的两边长分别为2和5，则等腰△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．无法确定
7．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
8．已知点A（a，b）位于第二象限，并且b≤3a+7，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．已知△ABC，
（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，例如{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若直线y＝kx﹣6与直线y＝没有交点，则k＝ ．
12．已知一次函数y＝（1+m）x﹣1+m的图象上两点A（0，y1），B（1，y2），其中y1＜y2，那么m的取值范围是 ．
13．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝ 度．
14．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ 度．
三、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知关于x的正比例函数y＝（k﹣1）x+k+1，求这个正比例函数的解析式．
16．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣4）、B（0，﹣3）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣3，﹣2）．画出将四边形ABCD先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的四边形A′B′C′D′；并写出点C′的坐标；
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，﹣2a）．将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．
18．在给出的网格中画出一次函数y＝2x﹣3的图象，并结合图象求：
（1）方程2x﹣3＝0的解；
（2）不等式2x﹣3＞0的解集；
（3）不等式﹣1＜2x﹣3＜5的解集．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G．试说明：DE+DF＝BG．
六、（本题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+1，y0+2），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）若点P在y轴上，且△A1B1P的面积是1，请直接写出点P的坐标．
七、（本题满分12分）
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
八、 （本题满分14分）
23．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．点P（0，3）在（ ）
A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上 C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上
【分析】根据y轴上点的横坐标为零，纵坐标小于零在y轴的负半轴上，可得答案．
【解答】解：P（0，3）在y轴的负半轴上，
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，x轴上点的纵坐标为零，y轴上点的横坐标为零．
2．如图，如果“帅”的位置坐标为（1，﹣2），“相”的坐标为（3，﹣2），则“炮”的坐标是（ ）
A． （2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【分析】“炮”的坐标可以看作“帅”向左移动3个单位，再向上移动3个单位得到．
【解答】解：∵“帅”的位置坐标为（1，﹣2），
∴由图形可知，“炮”的横坐标是“帅”向左移动2个单位即1﹣3＝﹣2，纵坐标为“帅”向上移动3个单位得到即﹣2+3＝1，故“炮”的坐标是（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】本题考查了点的位置的确定，另一种解题思路为：可以通过已知“士”，“相”的坐标确定原点的位置，再确定“炮”的坐标．
3．如图，直尺经过一副三角尺中的一块三角板DCB的顶点B，若∠C＝30°，∠ABC＝20°，则∠DEF度数为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．80°
【分析】依据三角形外角性质，即可得到∠BAD，再根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠C＝30°，∠ABC＝20°，
∴∠BAD＝∠C+∠ABC＝50°，
∵EF∥AB，
∴∠DEF＝∠BAD＝50°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
4．在平面直角坐标系中，点（a，a﹣1）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】分a﹣1＞0和a﹣1＜0两种情况讨论，即可得到a的取值范围，进而求出已知点所在的象限．
【解答】解：当a﹣1＞0时，a＞1，点可能在第一象限；
当a﹣1＜0时，a＜1，点在第三象限或第四象限；
所以点不可能在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查象限点的坐标的符号特征，根据第三象限为（﹣，﹣）第二象限为（﹣，+），判断点M的符号不可能为（﹣，+）．记住横坐标相同的点在一四象限或二三象限是关键．
5．一次函数y1＝ax+b与一次函数y2＝bx﹣a在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
【分析】首先设定一个为一次函数y1＝ax+b的图象，再考虑另一条的a，b的值，看看是否矛盾即可．
【解答】解：A、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故错误；
B、由y1的图象可知，a＞0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＞0，即a＜0，两结论矛盾，故错误；
C、由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，b＜0，﹣a＜0，即a＞0，两结论相矛盾，故错误；
D、由y1的图象可知，a＞0，b＞0；由y2的图象可知，b＞0，﹣a＜0，即a＞0，两结论符合，故正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
6．已知等腰△ABC的两边长分别为2和5，则等腰△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．无法确定
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当2是腰时，2，2，5不能组成三角形，应舍去；
当5是腰时，5，5，2能够组成三角形．
∴三角形的周长为12．
故选：B．
【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：7
C．∠A＝2∠B＝3∠C D．∠A＝9°，∠B＝81°
【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否大于90°，进而得出结论．
【解答】解：A．∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
B．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，∴∠C＝180°×＝90°，∴该三角形是直角三角形；
C．∵∠A＝2∠B＝3∠C，∴∠A＝180°×＞90°，∴该三角形是钝角三角形；
D．∵∠A＝9°，∠B＝81°，∴∠C＝90°，∴该三角形是直角三角形；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用三角形内角和定理进行计算．
8．已知点A（a，b）位于第二象限，并且b≤3a+7，a，b均为整数，则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
【解答】解：由点A（a，b）在第二象限，得a＜0，b＞0，
又因为b≤3a+7，a，b均为整数，
所以或或或或，
所以满足条件的点A个数有5个．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及点的坐标，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
9．已知△ABC，
（1）如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；
（2）如图2，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；
（3）如图3，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．
上述说法正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】用角平分线的性质和三角形内角和定理证明，证明时可运用反例．
【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB
则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
故成立；
（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立；
（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，
∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠PBC+∠BCP＝90°+∠A，
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P＝180﹣（∠PBC+∠PCB）＝180﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选：C．
【点评】利用特例，反例可以比较容易的说明一个命题是假命题．
10．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a，例如{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】利用新定义得到当2x﹣1≥﹣x+3，即x≥时，y＝﹣x+3；当2x﹣1≤﹣x+3，即x≤时，y＝2x﹣1，然后分别利用一次函数的性质求函数的最大值即可．
【解答】解：当2x﹣1≥﹣x+3，即x≥时，y＝﹣x+3，则x＝时，y的值最大，最大值为；
当2x﹣1≤﹣x+3，即x≤时，y＝2x﹣1，则x＝时，y的值最大，最大值为；
所以该函数的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
四、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． 若直线y＝kx﹣6与直线y＝没有交点，则k＝ ．
【分析】两直线没有交点，说明两条直线平行，k值相等．
【解答】解：由题意可得，
k＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查坐标系内两条直线平行问题；若两条直线平行，则k1＝k2．
12． 已知一次函数y＝（1+m）x﹣1+m的图象上两点A（0，y1），B（1，y2），其中y1＜y2，那么m的取值范围是 ．
【分析】先根据0＜1时，y1＞y2，得到y随x的增大而减小，所以x的比例系数小于0，那么1+m＜0，解不等式即可求解．
【解答】解：∵当0＜1时，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小
∴1+m＜0，
∴m＜﹣1．
故答案是m＜﹣1．
【点评】本题考查一次函数的图象性质：当k＞0，y随x增大而增大；当k＜0时，y将随x的增大而减小．
13．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝ 度．
【分析】根据三角形的内角和与平角定义可求解．
【解答】解：如图，根据题意可知∠5＝90°，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠2＝180°+180°﹣（∠3+∠4）＝360°﹣90°＝270°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理和内角与外角之间的关系．要会熟练运用内角和定理求角的度数．
14．如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2020BC和∠A2020CD的平分线交于点A2021，则∠A2021＝ 度．
【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证∠A1＝∠A，进而可求∠A1，由于∠A1＝∠A，∠A2＝∠A1＝∠A，…，以此类推可知∠A2018即可求得．
【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，
∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，
即∠ACD＝∠A1+∠ABC，
∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），
∵∠A+∠ABC＝∠ACD，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∴∠A1＝∠A，
∠A2＝∠A1＝∠A，…，
以此类推可知∠A2021＝∠A＝（）°，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出∠A1＝∠A，并能找出规律．
五、 （本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知关于x的正比例函数y＝（k﹣1）x+k+1，求这个正比例函数的解析式．
【分析】根据正比例函数的定义，可得答案．
【解答】解：由题意得：k+1＝0
解得：k＝﹣1，
∴k﹣1＝﹣2，
∴这个正比例函数的解析式为y＝﹣2x．
【点评】本题考查了正比例函数的定义，解题的关键是能够根据正比例函数的一般形式列出算式，难度不大．
16．如图，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣4）、B（0，﹣3）、C（﹣1，﹣1）、D（﹣3，﹣2）．画出将四边形ABCD先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的四边形A′B′C′D′；并写出点C′的坐标；
【分析】（1）首先确定A、B、C、D点平移后的位置，再连接即可；利用坐标系写出答案即可．
【解答】解：如图所示：四边形A′B′C′D′即为所求；点C′的坐标（2，2）．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换，关键是确定组成图形的关键点平移后的位置．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．在平面直角坐标系中，点M的坐标为（a，﹣2a）．将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，当点N在第三象限时，求a的取值范围．
【分析】根据平移方法，可得到N点坐标，N在第三象限，所以横坐标小于0，纵坐标小于0解不等式组可得a的取值范围．
【解答】解：将点M向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到点N，点M的坐标为（a，﹣2a），所以N点坐标为（a﹣2，﹣2a+1），因为N点在第三象限，所以，解得＜a＜2，所以a的取值范围为＜a＜2．
【点评】本题考查图形的平移变换．关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变．
18．在给出的网格中画出一次函数y＝2x﹣3的图象，并结合图象求：
（1）方程2x﹣3＝0的解；
（2）不等式2x﹣3＞0的解集；
（3）不等式﹣1＜2x﹣3＜5的解集．
【分析】（1）利用描点法画出两个一次函数图象；
（2）利用函数图象，找出直线y＝x﹣1在直线y＝2x﹣3下方所对应的自变量的范围即可；
（3）利用函数图象，找出直线y＝x﹣1在直线y＝2x﹣3上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）由图象可知，方程2x﹣3＝0的解是x＝，
（2）由图象可知，不等式2x﹣3＞0的解集是x＞；
（3）由图象可知，不等式﹣1＜2x﹣3＜5的解集是：1＜x＜4．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣2，﹣1），B（1，3）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式；
（2）求点C和点D的坐标；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）先把A点和B点坐标代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，解方程组得到k、b的值，从而得到一次函数的解析式；
（2）令x＝0，y＝0，代入y＝x+即可确定C、D点坐标；
（3）根据三角形面积公式和△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD进行计算即可．
【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得 ，
解得 ．
所以一次函数解析式为y＝x+；
（2）令y＝0，则0＝x+，解得x＝﹣，
所以C点的坐标为（﹣，0），
把x＝0代入y＝x+得y＝，
所以D点坐标为（0，），
（3）△AOB的面积＝S△AOD+S△BOD
＝××2+××1
＝．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：①先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；②将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；③解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点E，F，G．试说明：DE+DF＝BG．
【分析】连接AD，根据△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB＝AC，即可得到DE+DF＝BG．
【解答】证明：连接AD．
则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，
AB•DE+AC•DF＝AC•BG，
∵AB＝AC，
∴DE+DF＝BG．
【点评】考查了三角形的面积和等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形面积的两种不同表示方法求解．
六、（本题满分12分）
21．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+1，y0+2），将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1．
（1）请画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）若点P在y轴上，且△A1B1P的面积是1，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）依据点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+1，y0+2），可得平移的方向和距离，将△ABC作同样的平移即可得到△A1B1C1；
（2）利用割补法进行计算，即可得到△A1B1C1的面积；
（3）设P（0，y），依据△A1B1P的面积是1，即可得到y的值，进而得出点P的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；A1（0，0），B1（﹣1，﹣2），C1（﹣3，1）；
（2）△A1B1C1的面积为：（1+3）×3﹣×1×3﹣×1×2＝6﹣1.5﹣1＝3.5；
（3）设P（0，y），则A1P＝|y|，
∵△A1B1P的面积是1，
∴×|y|×1＝1，
解得y＝±2，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．
【点评】本题主要考查了利用平移变换作图，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
七、（本题满分12分）
22．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；然后根据销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元列出方程组，然后求解即可；
（2）①根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
②根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍列不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），
即y＝﹣50x+15000；
②据题意得，100﹣x≤2x，
解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
九、 （本题满分14分）
23．问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A＝55°，则∠ABC+∠ACB＝ 度，∠PBC+∠PCB＝ 度，∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求解即可．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
（3）结论不成立．分三种情形讨论求解即可．
【解答】解：（1）由题意：∠ABC+∠ACB＝125度，∠PBC+∠PCB＝90度，
∠ABP+∠ACP＝35度．
故答案为125，90，35．
（2）猜想：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC，∠ACB＝∠ACP+∠PCB，
∴（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）＝180°﹣∠A，
∴（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣∠A，
又∵在Rt△PBC中，∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴（∠ABP+∠ACP）+90°＝180°﹣∠A，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
（3）判断：（2）中的结论不成立．
①如图3﹣1中，结论：∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
理由：设AB交PN于O．
∵∠AOC＝∠BOP，
∴∠A+∠ACP＝90°+∠ABP，
∴∠A+∠ACP﹣∠ABP＝90°．
②如图3﹣2中，结论：∠A+∠ABP﹣∠ACP＝90°．证明方法类似①
③如图3﹣3中，结论：∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A＝∠P+∠ABP+∠ACP，
∴∠A﹣∠ABP﹣∠ACP＝90°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
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