人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式本章综合与测试第1课时学案设计

第二章 　一元二次函数、方程和不等式

2．1　等式性质与不等式性质

第1课时　不等关系与不等式

[目标] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小．

[重点] 会用作差比较法比较两个实数的大小．

[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．

知识点一　　不等式与不等关系

[填一填]

1．不等式的定义所含的两个要点：

(1)不等符号<，≤，>，≥或≠.

(2)所表示的关系是不等关系．

2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换

[答一答]

1．不等关系通过什么样的形式表现出来？

提示：通过不等式来表现不等关系．

2．在日常生活中，我们经常看到下列标志：

(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？

(2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？

提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v不得低于50公里；

②限制质量：装载总质量G不得超过10 t；

③限制高度：装载高度h不得超过3.5米；

④限制宽度：装载宽度a不得超过3米；

⑤时间范围：t∈{t|7.5≤t≤10}．

(2)①v≥50；②G≤10；③h≤3.5；④a≤3；⑤7.5≤t≤10.

知识点二　　比较两实数a，b大小的依据

[填一填]

[答一答]

3．用作差法比较两个实数的大小时，对差式应如何变形？

提示：一般地，对差式分解因式或配方．

4．比较x2＋3与3x的大小(其中x∈R)．

提示：因为(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝[x2－3x＋2]＋3－2＝2＋≥>0，所以x2＋3>3x.

类型一　　　用不等式(组)表示不等关系

[例1]　已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：

设用甲、乙两种食物各x kg，y kg配成混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.

试用不等式组表示x，y所满足的不等关系．

[分析]　根据维生素A和B分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．

[解]　x kg甲种食物含有维生素A 600x单位，含有维生素B 800x单位，y kg乙种食物含有维生素A 700y单位，含有维生素B 400y单位，则x kg甲种食物与y kg乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x＋700y)单位，含有维生素B(800x＋400y)单位，则有

即

　　1.用不等式(组)表示不等关系的步骤：

(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；

(2)适当设未知数表示变量；

(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式．

2．常见的文字语言与符号语言之间的转换

[变式训练1]　《铁路旅行常识》规定：

一、随同成人旅行，身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票)，超过1.4米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．

……

十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米，杆状物品不得超过200厘米，重量不得超过20千克……

设身高为h(米)，物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米)，请用不等式表示下表中的不等关系.

解：由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示，物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；

(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系，再用不等式表示．

身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4，

身高超过1.4米可表示为h>1.4，

身高不足1.1米可表示为h<1.1，

物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.

如下表所示：

类型二　　比较大小

[例2]　(1)设m∈R，x∈R，比较x2－x＋1与－2m2－2mx的大小．

(2)甲、乙是同班同学，且住在同一小区，两人同时从小区出发去学校，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，且跑步速度大于步行速度，试判断两人谁先到学校．

[分析]　(1)将两个代数式作差，判断它们差的符号．(2)依据题意求出甲、乙所用时间，作差法进行比较．

[解]　(1)∵x∈R，m∈R，

∴(x2－x＋1)－(－2m2－2mx)＝x2＋(2m－1)x＋(2m2＋1)＝x2＋(2m－1)x＋2－2＋2m2＋1＝2＋m2＋m＋＝2＋2＋>0.

∴x2－x＋1>－2m2－2mx.

(2)设步行速度与跑步速度分别为v1，v2，其中0<v1<v2，总路程为2s.则甲用的时间为＋，乙有的时间为.因为＋－＝＝>0，所以＋>，故乙同学先到学校．

1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法

1作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.

2变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论.

2.作商法比较大小的步骤,①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.

[变式训练2]　设x∈R，且x≠－1，比较与1－x的大小．

解：∵－(1－x)＝，而x2≥0，

(1)当x＝0时，＝0，∴＝1－x.

(2)当1＋x<0，即x<－1时，<0，

∴<1－x.

(3)当1＋x>0，且x≠0，即－1<x<0或x>0时，>0，∴>1－x.

综上可知：当x＝0时，＝1－x；当x<－1时，<1－x；当－1<x<0或x>0时，>1－x.

类型三　　不等式的实际应用

[例3]　某单位组织职工去某地参观学习，需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的，试根据此单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．

[分析]　依据题意表示出两车队的收费，然后比较大小．

[解]　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，则y1＝x＋x·(n－1)＝x＋xn，y2＝xn，

y1－y2＝x＋xn－xn＝x－xn＝x.

当n＝5时，y1＝y2；

当n>5时，y1<y2；

当n<5时，y1>y2.

因此，当此单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．

1“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.

2这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完整.

[变式训练3]　某蛋糕师制作A，B两种蛋糕，原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A种蛋糕需要面粉150 g，黄油100 g，牛奶50 mL；制作一个B种蛋糕需要面粉200 g，黄油140 g，牛奶70 mL.现有面粉1 000 g，黄油600 g，牛奶350 mL.若分别制作x个A种蛋糕，y个B种蛋糕．试列出x，y满足的不等式组．

解：①制作A，B两种蛋糕需要的面粉不超过1 000 g，用不等式表示为150x＋200y≤1 000；

②制作A，B两种蛋糕需要的黄油不超过600 g，用不等式表示为100x＋140y≤600；

③制作A，B两种蛋糕需要的牛奶不超过350 mL，用不等式表示为50x＋70y≤350；

④A，B两种蛋糕的制作量都应不少于0，且为整数个，故x∈N，y∈N.

所以x，y满足的不等式组为.

1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元，设x个月后他至少有400元，则关于月数x的不等式是(　B　)

A．30x－60≥400  B．30x＋60≥400

C．30x－60≤400  D．30x＋60≤400

解析：x月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.

2．若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是(　A　)

A．M>－5   B．M<－5

C．M≥－5   D．M≤－5

解析：M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5

＝(x＋2)2＋(y－1)2，

∵x≠－2，y≠1，

∴(x＋2)2>0，(y－1)2>0，

因此(x＋2)2＋(y－1)2>0.

故M>－5.

3．设a≥0，b≥0，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　B　)

A．A≤B   B．A≥B

C．A<B   D．A>B

解析：由题意得，B2－A2＝－2≤0，因为A≥0，B≥0，所以A≥B.

4．b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据这个事实提炼一个不等式>(b>a>0，m>0)．

解析：由题意的比值越大，糖水越甜，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，说明>.

5．已知a，b为正实数，试比较＋与＋的大小．

解：方法1(作差法)：(＋)－(＋)＝(－)＋(－)＝＋＝

＝.

∵a，b为正实数，∴＋>0，>0，(－)2≥0，

∴≥0，∴＋≥＋.

方法2(作商法)：＝

＝＝

＝＝1＋≥1.

∵＋>0，＋>0，∴＋≥＋.

方法3(平方后作差)：∵(＋)2＝＋＋2，

(＋)2＝a＋b＋2，

∴(＋)2－(＋)2＝.

∵a>0，b>0，∴≥0，

又＋>0，＋>0，

故＋≥＋.

——本课须掌握的三大问题

1．不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”“a≤b”等式子表示，不等关系是可以通过不等式来体现的．

2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换

3.比较大小的方法分为作差法和作商法，其中作差法的一般步骤是：

(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；

(2)变形：对差进行变形；

(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；

(4)作出结论．

这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．