人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第1课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.3 诱导公式第1课时学案，共6页。
[目标] 1.能借助单位圆推出公式二、三、四；2.记住诱导公式一、二、三、四并能运用诱导公式进行求值与化简．
[重点] 诱导公式的应用．
[难点] 诱导公式的推导．
知识点一 特殊关系角的终边对称性
[填一填]
(1)π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(1)；
(2)－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(2)；
(3)π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(3)；
(4)eq \f(π,2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，如图(4)．
[答一答]
1．设α为锐角，则180°－α ,180°＋α，360°－α分别是第几象限角？
提示：分别为第二、三、四象限角．
知识点二 诱导公式
[填一填]
(1)诱导公式二
sin(π＋α)＝－sinα，
cs(π＋α)＝－csα，
tan(π＋α)＝tanα.
(2)诱导公式三
sin(－α)＝－sinα，
cs(－α)＝csα，
tan(－α)＝－tanα.
(3)诱导公式四
sin(π－α)＝sinα，
cs(π－α)＝－csα，
tan(π－α)＝－tanα.
[答一答]
2．如何记忆四组诱导公式？
提示：诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”，其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
3．诱导公式一、二、三、四的作用分别是什么？
提示：①公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题．
②公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函数．
③公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
4．求值：(1)sineq \f(7,6)π＝－eq \f(1,2)；(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)；(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,3)))＝－eq \r(3).
解析：(1)sineq \f(7,6)π＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,6)))＝－sineq \f(π,6)＝－eq \f(1,2)；
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,4)))＝cseq \f(5π,4)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,4)))＝－cseq \f(π,4)＝－eq \f(\r(2),2)；
(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,3)))＝－taneq \f(7π,3)＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))＝－taneq \f(π,3)＝－eq \r(3).
5．tan(π－α)＝eq \f(1,3)，则tanα＝－eq \f(1,3).
解析：tan(π－α)＝－tanα＝eq \f(1,3)，
∴tanα＝－eq \f(1,3).
类型一 给角求值问题
[例1] 利用公式求下列三角函数值：
(1)sin(－945°)；(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16π,3))).
[分析] 对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化为正角的三角函数值；对于大于360°或2π的角再用公式一、二、四转化为锐角的三角函数值．
[解] (1)方法1：
sin(－945°)＝－sin945°＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225°＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
方法2：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin135°＝sin(180°－45°)＝sin45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)方法1：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16π,3)))＝cseq \f(16π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)＋4π))＝cseq \f(4π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
方法2：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(16π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－6π))＝cseq \f(2π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,3)))＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
此类问题为给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解.如果是负角，一般先将负角的三角函数值转化为正角的三角函数值.要记住一些特殊角的三角函数值.
[变式训练1] 求下列各式的值：
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))；
(2)cs(－60°)－sin(－210°)．
解：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4π,3)))＝－sineq \f(4π,3)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).
(2)cs(－60°)－sin(－210°)＝cs60°＋sin210°＝cs60°＋sin(180°＋30°)＝cs60°－sin30°＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)＝0.
类型二 给值(式)求值问题
[例2] (1)已知sinβ＝eq \f(1,3)，cs(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为
( )
A．1 B．－1 C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值．
[解析] (1)∵cs(α＋β)＝－1，
∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴sin(α＋2β)＝sin(α＋β＋β)＝sin(π＋2kπ＋β)＝sin(π＋β)＝－sinβ＝－eq \f(1,3)，故选D.
(2)解：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(2,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3).
[答案] (1)D (2)见解析
解决条件求值问题的两技巧
(1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系．
(2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
[变式训练2] 已知cs(508°－α)＝eq \f(12,13)，则cs(212°＋α)＝eq \f(12,13).
解析：由于cs(508°－α)＝cs(360°＋148°－α)＝cs(148°－α)＝eq \f(12,13)，
所以cs(212°＋α)＝cs(360°＋α－148°)＝cs(α－148°)＝cs(148°－α)＝eq \f(12,13).
类型三 三角函数式的化简与证明
[例3] 化简eq \f(sin1 440°＋α·csα－1 080°,cs－180°－α·sin－α－180°).
[解] 原式＝eq \f(sin4×360°＋α·csα－3×360°,cs180°＋α·[－sin180°＋α])＝eq \f(sinα·csα,－csα·sinα)＝eq \f(csα,－csα)＝－1.
1三角函数式的化简要求结果尽量简单，能求值则求其值.不能求值也要化简成项数尽量少，次数尽量低的式子.
2关于三角恒等式的证明，常用方法：
①从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简.
②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.,无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异.
[变式训练3] 求证：
eq \f(tan2π－αsin－2π－αcs6π－α,csα－πsin5π－α)＝－tanα.
证明：原式左边＝eq \f(\f(sin2π－α,cs2π－α)·sin－α·cs－α,csπ－αsinπ－α)＝
eq \f(－sinα·－sinα·csα,csα·－csα·sinα)＝eq \f(－sinα,csα)＝－tanα＝右边．
故原式得证．
1．sin585°的值为( A )
A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
解析：sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－eq \f(\r(2),2).故选A.
2．若cs(π＋α)＝－eq \f(1,3)，则csα的值为( A )
A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)
C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)
解析：cs(π＋α)＝－csα，所以csα＝eq \f(1,3).故选A.
3．化简eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ＋α)＝－1.
解析：原式＝eq \f(csα·tanπ＋α,sinπ＋α)＝eq \f(csα·tanα,－sinα)＝eq \f(sinα,－sinα)＝－1.
4．已知tanα＝eq \f(4,3)，且α为第一象限角，则sin(π＋α)＋cs(π－α)＝－eq \f(7,5).
解析：因为tanα＝eq \f(4,3)，α为第一象限角，所以sinα＝eq \f(4,5)，csα＝eq \f(3,5)，所以sin(π＋α)＋cs(π－α)＝－sinα－csα＝－eq \f(7,5).
5．已知sin(α－π)＝2cs(2π－α)，求证：
eq \f(sinπ－α＋5cs2π＋α,3csπ－α－sin－α)＝－eq \f(3,5).
解：因为sin(α－π)＝2cs(2π－α)，
所以－sinα＝2csα，所以sinα＝－2csα.
左边＝eq \f(sinα＋5csα,－3csα＋sinα)＝eq \f(－2csα＋5csα,－3csα－2csα)＝eq \f(3csα,－5csα)＝－eq \f(3,5)＝右边．
所以原式得证．
——本课须掌握的两大问题
1．明确各诱导公式的作用
2.诱导公式的记忆
这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．
诱导公式
作用
公式一
将角转化为0～2π之间的角求值
公式二
将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为0～eq \f(π,2)之间的角求值