高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.3 诱导公式第2课时学案，共6页。
[重点] 诱导公式五、六的应用．
[难点] 诱导公式的推导与证明．
知识点一 诱导公式
[填一填]
公式五：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝sinα.
公式六：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.
[答一答]
1．如何用sinα，csα表示taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))？
提示：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))＝eq \f(csα,sinα)；
taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))＝eq \f(csα,－sinα)＝－eq \f(csα,sinα).
知识点二 关于该组公式的记忆
[填一填]
eq \f(π,2)±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
[答一答]
2．你能结合诱导公式三、五推导出诱导公式六吗？
提示：诱导公式六的推导过程如下：
∵eq \f(π,2)＋α＝eq \f(π,2)－(－α)，由诱导公式三、五，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－－α))＝cs(－α)＝csα，
cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－－α))＝sin(－α)＝－sinα.
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝csα，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.
3．(1)若α＋β＝eq \f(π,2)且sinα＝eq \f(1,5)，则csβ＝eq \f(1,5).
(2)已知α是第四象限角，且csα＝eq \f(1,2)，则cs(α＋90°)＝eq \f(\r(3),2).
类型一 利用诱导公式化简求值
[例1] 已知
f(α)＝eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α).
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝eq \f(1,5)，求f(α)的值；
(3)若α＝－eq \f(31π,3)，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝
eq \f(sinα－3πcs2π－αsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－α＋\f(3π,2))),cs－π－αsin－π－α)
＝eq \f(－sinα·csα·－csα,－csα·sinα)＝－csα.
(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝－sinα，所以sinα＝－eq \f(1,5)，
又α是第三象限角，
所以csα＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,5)))2)＝－eq \f(2\r(6),5).
所以f(α)＝eq \f(2\r(6),5).
(3)因为－eq \f(31π,3)＝－6×2π＋eq \f(5π,3)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(31π,3)))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×2π＋\f(5π,3)))＝－cseq \f(5π,3)＝－cseq \f(π,3)＝－eq \f(1,2)，
所以f(α)＝－eq \f(1,2).
解决三角函数化简求值问题时若角含eq \f(kπ,2)，kπ，k∈Z，则首先考虑诱导公式，有时需借助同角三角函数基本关系．
[变式训练1] 若sin(180°＋α)＋cs(90°＋α)＝m，则cs(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为( D )
A．－eq \f(1,2)m B．－eq \f(3,2)m
C.eq \f(1,2)m D.eq \f(3,2)m
解析：由题意得－sinα－sinα＝m，所以sinα＝－eq \f(m,2).
cs(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝eq \f(3,2)m.故选D.
类型二 利用变角技巧进行条件求值
[例2] (1)已知cs31°＝m，则sin239°tan149°的值是( )
A. eq \f(1－m2,m) B.eq \r(1－m2)
C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))的值是____
.
[解析] (1)sin239°tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝－cs31°(－tan31°)＝sin31°＝eq \r(1－m2).
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝eq \f(1,2).
[答案] (1)B (2)eq \f(1,2)
[变式训练2] (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2,3)π))＝eq \f(3,5).
(2)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),3).
解析：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(2,3)π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(3,5).
(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))－\f(π,2)))
＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(\r(3),3).
类型三 利用诱导公式证明三角恒等式
[例3] 证明下列等式：
(1)eq \f(sinθ－5πcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ)),cs3π－θcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋θ))sin－4π－θ)＝－1.
(2)eq \f(tan2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－α))cs6π－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(3π,2))))＝tanα.
[证明] (1)左边＝eq \f(－sin5π－θsinθcsθ,csπ－θsinθ[－sin4π＋θ])＝
eq \f(－sinπ－θsinθcsθ,－csθsinθ－sinθ)＝eq \f(－sinθ,sinθ)＝－1＝右边，
故原式得证．
(2)左边＝eq \f(tan－α\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))))cs－α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))
＝eq \f(－tanα－sinαcsα,csαsinα)＝tanα＝右边，
所以原式成立．
利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，即化异为同．
[变式训练3] 求证：eq \f(csx－5πtan2π－x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋x)))＋tan2(π－x)＝1＋tan2x.
证明：左边＝eq \f(cs4π＋π－x·tan2π－x,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,2)＋x)))＋tan2x＝
eq \f(csπ－x·tan－x,－cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)))＋tan2x＝eq \f(csx·tanx,sinx)＋tan2x＝1＋tan2x＝右边．故原式得证．
1．已知sin40°＝a，则cs130°等于( B )
A．a B．－a
C.eq \r(1－a2) D．－eq \r(1－a2)
解析：cs130°＝cs(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.
2．已知sin(α－eq \f(π,4))＝eq \f(1,3)，则cs(eq \f(π,4)＋α)的值等于( D )
A.eq \f(2\r(2),3) B．－eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
解析：∵eq \f(π,4)＋α－(α－eq \f(π,4))＝eq \f(π,2)，
∴cs(eq \f(π,4)＋α)＝cs[eq \f(π,2)＋(α－eq \f(π,4))]＝－sin(α－eq \f(π,4))＝－eq \f(1,3).
3．已知sin(eq \f(π,6)－θ)＝eq \f(1,3)，则cs(eq \f(π,3)＋θ)等于eq \f(1,3).
解析：cs(eq \f(π,3)＋θ)＝cs[eq \f(π,2)－(eq \f(π,6)－θ)]＝sin(eq \f(π,6)－θ)＝eq \f(1,3).
4．已知csα＝eq \f(1,5)，且α为第四象限角，那么cs(α＋eq \f(5π,2))等于eq \f(2\r(6),5).
解析：∵α为第四象限角且csα＝eq \f(1,5)，
∴sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(2\r(6),5).
∴cs(α＋eq \f(5π,2))＝－sinα＝eq \f(2\r(6),5).
5．化简 eq \r(1＋2sin\f(π,2)－2·cs\f(π,2)＋2).
解：原式＝eq \r(1＋2cs2·－sin2)＝eq \r(1－2sin2cs2)＝eq \r(sin2－cs22)＝|sin2－cs2|.
又∵sin2>cs2，∴原式＝sin2－cs2.
——本课须掌握的三大问题
1．学习了本节知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为“k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，得α的同名函数值；当k为奇数时，得α的异名函数值，然后前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号．
2．诱导公式反映了各种不同形式的角的三角函数之间的相互关系，并具有一定的规律性，“奇变偶不变，符号看象限”，是记住这些公式的有效方法．
3．诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通．