高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词导学案，共7页。
[重点] 对全称量词与存在量词的理解；能够用全称量词表示全称量词命题，用存在量词表示存在量词命题．
[难点] 全称量词命题与存在量词命题的真假判断．
知识点一 全称量词和全称量词命题
[填一填]
(1)全称量词：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)全称量词命题：
①定义：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
②一般形式：全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题．
[答一答]
1．常见的全称量词有哪些？
提示：常见的全称量词除了“所有的”“任意一个”，还有“一切”“每一个”“任给”等．
2．全称量词命题中的“x”，“M”与“p(x)”表达的含义分别是什么？
提示：元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”．
3．如何判断全称量词命题的真假呢？
提示：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．
知识点二 存在量词和存在量词命题
[填一填]
(1)存在量词：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
(2)存在量词命题：
①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
②一般形式：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”．
[答一答]
4．常见的存在量词有哪些？
提示：常见的存在量词除了“存在一个”“至少有一个”，还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．
5．如何判断存在量词命题的真假呢？
提示：要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题．
类型一 全称量词命题与存在量词命题的判定
【例1】 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题．
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径；
(3)至少有一个三角形没有外接圆；
(4)有些素数的和仍是素数；
(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．
【分析】 首先看命题中是否含有全称量词或存在量词，若含有相关量词，则根据量词确定命题是全称量词命题或者是存在量词命题；若没有，要结合命题的具体意义进行判断．
[解] (1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称量词命题．
(2)是全称量词命题，“任意”为全称量词．
(3)是存在量词命题，“至少有一个”为存在量词．
(4)含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．
(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤：
1首先判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题.
2若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题.
3当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.
4一个全称量词命题或存在量词命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称量词或存在量词，应结合具体问题多加体会.
[变式训练1] 下列命题中，是全称量词命题的是①②③，是存在量词命题的是④(填序号)．
①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．
类型二 用量词表示命题
【例2】 用全称量词或存在量词表示下列语句．
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)整数中1最小；
(3)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；
(4)有一个质数是偶数．
【分析】 eq \x(分析命题中所述对象的特征)→
eq \x(适当添加全称量词或存在量词)
[解] (1)任意一个有理数都能写成分数形式．
(2)所有的整数中1最小．
(3)存在实数x0，使xeq \\al(2,0)＋2x0＋8＝0成立．
(4)存在一个质数是偶数．
由于叙述的多样性，有些语句不是典型的全称量词命题或存在量词命题，但却表达了这两种命题的意思，如果能恰当地引入全称量词或存在量词，即可使题意清晰明了.
[变式训练2] 用量词符号表述全称量词命题．
(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；
(2)对任意实数x，都有x3>x2.
解：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.
(2)∀x∈R，x3>x2.
类型三 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例3】 判断下列命题的真假：
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
(4)存在一个实数x0，使等式xeq \\al(2,0)＋x0＋8＝0成立．
[解] (1)真命题．
(2)真命题．函数f(x)＝0就是满足要求的函数．
(3)假命题．如：边长为1的正方形的对角线长eq \r(2)，它的长度就不是有理数．
(4)假命题．因为xeq \\al(2,0)＋x0＋8＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0＋\f(1,2)))2＋eq \f(31,4)>0，所以等式xeq \\al(2,0)＋x0＋8＝0不成立．
1判断全称量词命题∀x∈M，px是真命题，要对集合M中的每个元素x，证明px成立；判断全称量词命题为假命题只需要在集合M中找到一个元素x，使得px不成立，即找反例.
2判断存在量词命题∃x∈M，px是真命题，只需在集合M中找到x，使得qx成立即可，即举例加以说明；判断存在量词命题为假命题，需要证明集合M中使得qx成立的元素不存在.
[变式训练3] 有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，xeq \\al(2,0)≤x0；④∃x0∈N*，x0为29的约数．其中真命题的个数为( C )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：对于①，这是全称量词命题，∵Δ＝9－32＝－230是真命题；对于②，这是全称量词命题，当x＝－1时，2x＋10可化为m0>－(x2－2x＋5)，
即m0>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m0>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m0>－4即可．
故存在实数m0使不等式m0＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m0>－4.
(2)不等式m－(xeq \\al(2,0)－2x0＋5)>0可化为m>xeq \\al(2,0)－2x0＋5，若存在一个实数x0使不等式m>xeq \\al(2,0)－2x0＋5成立，
只需m>(xeq \\al(2,0)－2x0＋5)min.
∵xeq \\al(2,0)－2x0＋5＝(x0－1)2＋4，
∴(xeq \\al(2,0)－2x0＋5)min＝4，∴m>4.
∴所求实数m的取值范围是{m|m>4}．
1．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是( C )
A．有一个x∈R，使得x2>3
B．对有些x∈R，使得x2>3
C．任选一个x∈R，使得x2>3
D．至少有一个x∈R，使得x2>3
解析：“∀”和“任选一个”都是全称量词．
2．既是存在量词命题，又是真命题的是( B )
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个x∈R，使x2≤0
C．两个无理数的和是无理数
D．存在一个负数x，使eq \f(1,x)>2
解析：如x＝0时，x2＝0，满足x2≤0.
3．(多选)下列存在量词命题中，是真命题的是( ABD )
A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．∃x∈R，|x|