高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制导学案，共8页。

如图是一种折叠扇．折叠扇打开、合拢的过程可以抽象成扇形圆心角的变大、变小．那么在这个过程中，扇形的什么量在发生变化？什么量没发生变化？由此你能想到度量角的其他办法吗？
知识点1 角度制与弧度制
(1)度量角的两种制度
(2)弧度数的计算
比值eq \f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关？
[提示] 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
(3)角度制与弧度制的换算
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)1弧度的角是周角的eq \f(1,360).( )
(2)1弧度的角大于1度的角．( )
[答案] (1)× (2)√
2.一些特殊角与弧度数的对应关系
3.(1)eq \f(7π,5) rad化为角度是________．
(2)105°的弧度数是________．
(1)252° (2)eq \f(7π,12) [(1)eq \f(7π,5) rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,5)×\f(180,π)))°＝252°；
(2)105°＝105×eq \f(π,180) rad＝eq \f(7π,12) rad.]
知识点2 扇形的弧长和面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αR.
(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.
4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)扇形的半径为1 cm，圆心角为30°，则扇形的弧长l＝R|α|＝1×30＝30(cm)．( )
(2)若扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的2倍，则扇形的弧长也扩大为原来的2倍．( )
(3)若扇形的半径和弧长都变为原来的2倍，则扇形的面积变为原来的2倍．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
5.半径为2，圆心角为eq \f(π,6)的扇形的面积是________．
eq \f(π,3) [由已知得S扇＝eq \f(1,2)×eq \f(π,6)×22＝eq \f(π,3).]
类型1 角度与弧度的互化与应用
【例1】 (1)①将112°30′化为弧度为________．
②将－eq \f(5π,12)rad化为角度为________．
(2)已知α＝15°，β＝eq \f(π,10) rad，γ＝1 rad，θ＝105°，φ＝eq \f(7π,12) rad，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．
(1)①eq \f(5π,8)rad ②－75° [(1)①因为1°＝eq \f(π,180)rad，
所以112°30′＝eq \f(π,180)×112.5 rad＝eq \f(5π,8)rad.
②因为1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°，
所以－eq \f(5π,12)rad＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)×\f(180,π)))°＝－75°.]
(2)[解] 法一(化为弧度)：
α＝15°＝15×eq \f(π,180) rad＝eq \f(π,12) rad，θ＝105°＝105×eq \f(π,180) rad＝eq \f(7π,12) rad.
显然eq \f(π,12)＜eq \f(π,10)＜1＜eq \f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.
法二(化为角度)：
β＝eq \f(π,10) rad＝eq \f(π,10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°，
φ＝eq \f(7π,12)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝105°.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.
角度制与弧度制互化的关键与方法
(1)关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键．
(2)方法：度数×eq \f(π,180)＝弧度数；弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数．
(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．(1)将－157°30′化成弧度为________．
(2)将－eq \f(11π,5) rad化为度是________．
(1)－eq \f(7,8)π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－eq \f(315,2)×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(7,8)π rad.
(2)－eq \f(11π,5) rad＝－eq \f(11π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝－396°.]
2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示)
eq \f(2,5)π，eq \f(12,5)π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
当k＝0时，θ＝72°＝eq \f(2,5)π rad；
当k＝1时，θ＝432°＝eq \f(12,5)π rad，
所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有eq \f(2,5)π，eq \f(12,5)π.]
类型2 用弧度数表示角
【例2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角α的集合是( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．
[解] (1)D [因为角α的终边经过点(a，a)(a≠0)，
所以角α的终边落在直线y＝x上，
所以角α的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)))).]
(2)[解] 因为30°＝eq \f(π,6) rad,210°＝eq \f(7π,6) rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(θ\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,6)<θ1．弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤
(1)仔细观察图形．
(2)写出区域边界作为终边时角的表示．
(3)用不等式表示区域范围内的角．
提醒：角度制与弧度制不能混用.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋eq \f(9π,4)(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
C [A，B中弧度与角度混用，不正确．
eq \f(9,4)π＝2π＋eq \f(π,4)，所以eq \f(9,4)π与eq \f(π,4)终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]
4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．
[解] 30°＝eq \f(π,6) rad,150°＝eq \f(5π,6) rad.
终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ＜β＜\f(5π,6)＋kπ，k∈Z)))).
类型3 弧长公式与扇形面积公式的应用
【例3】 已知扇形的周长为8 cm.
(1)若该扇形的圆心角为2 rad，求该扇形的面积；
(2)求该扇形的面积的最大值，并指出对应的圆心角．
以扇形的面积和弧长公式为切入点，建立面积与变量r或l的关系式，并思考最值的求解方法．
[解] 设扇形的半径为r，弧长为l，面积为S.
(1)由题意得：2r＋l＝8，l＝2r，
解得r＝2，l＝4，S＝eq \f(1,2)lr＝4(cm2)．
(2)由2r＋l＝8得l＝8－2r，r∈(0,4)，
则S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)(8－2r)r＝4r－r2
＝－(r－2)2＋4，
当r＝2时，Smax＝4，此时l＝4，圆心角α＝eq \f(l,r)＝2.
扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
5．求半径为1 cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．
[解] 因为r＝1，α＝120×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,3)，
所以l＝αr＝eq \f(2π,3) cm，S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(π,3) cm2.
1．与1°角终边相同的角的集合是( )
A. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·360°＋\f(π,180)，k∈Z))))
B. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝k·360°＋\f(π,180°)，k∈Z))))
C. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,180)，k∈Z))))
D. eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f(π,180°)，k∈Z))))
C [角度制与弧度制不能混用，故选C.]
2．圆的半径为r，该圆上长为eq \f(3,2)r的弧所对的圆心角是( )
A．eq \f(2,3) rad B．eq \f(3,2) rad
C．eq \f(2π,3) radD．eq \f(3π,2) rad
B [由弧度数公式|α|＝eq \f(l,r)，得|α|＝eq \f(\f(3,2)r,r)＝eq \f(3,2)，因此圆弧所对的圆心角是eq \f(3,2) rad.]
3．(多选)下列转化结果正确的是( )
A．60°化成弧度是eq \f(π,3) rad
B．－eq \f(10,3)π rad化成度是－600°
C．－150°化成弧度是－eq \f(7,6)π rad
D．eq \f(π,12) rad化成度是15°
ABD [对于A,60°＝60×eq \f(π,180) rad＝eq \f(π,3) rad；对于B，－eq \f(10,3)π rad＝－eq \f(10,3)×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×eq \f(π,180) rad＝－eq \f(5,6)π rad；对于D，eq \f(π,12) rad＝eq \f(1,12)×180°＝15°.故选ABD.]
4．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________.
eq \f(5π,6) [－570°＝－eq \f(19π,6)＝－4π＋eq \f(5π,6).]
5．在直径为20 cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长为________．
eq \f(25,3)π [150°＝eq \f(5π,6)，∴弧长l＝eq \f(5π,6)×eq \f(20,2)＝eq \f(25,3)π.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．角度制与弧度制怎样转化？
[提示] 1°＝eq \f(π,180)rad,1rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
2．角度制和弧度制下，扇形的弧长和面积公式分别是什么？
[提示]
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．
2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)
3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
1.通过对弧度制概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助弧度制与角度制的换算，提升数学运算素养.
角度
制
定义
用度作为单位来度量角的单位制
1度的角
1度的角等于周角的eq \f(1,360)
弧度
制
定义
以弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角
度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧
度
0
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
π
eq \f(3π,2)
2π
角度制
弧度制
弧长
l＝eq \f(nπr,180)
l＝α·r
面积
S＝eq \f(nπr2,360)
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2