人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时导学案

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明日复明日，明日何其多．我生待明日，万事成蹉跎．我们知道，时间具有周而复始的规律．如果今天是星期六，从明天起为第一天，那么至少再过几天为星期六？三角函数是否具有周期性？
知识点1 函数的周期性
(1)周期函数：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
周期函数的周期是唯一的吗？
[提示] 不是．如f(x)的最小正周期为T，则nT(n∈N*)都是f(x)的周期．
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)＋\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)，则eq \f(2π,3)是函数y＝sin x的一个周期．( )
(2)所有的周期函数都有最小正周期．( )
[答案] (1)× (2)×
2.对∀x∈R，函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，则f(x)的最小正周期为_______．
[答案] 1
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
3.函数f(x)＝eq \r(2)sin 2x的奇偶性为( )
A．奇函数B．偶函数
C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数
A [f(x)＝eq \r(2)sin 2x的定义域为R，f(－x)＝eq \r(2)sin 2(－x)＝－eq \r(2)sin 2x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．]
类型1 三角函数的周期问题及简单应用
【例1】 (对接教材人教A版P201例题)求下列函数的周期：
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))；
(2)y＝|sin x|.
你能借助定义或图象探求三角函数的周期吗？函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期有无规律可循？
[解] (1)法一：(定义法)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x＋π＋\f(π,4)))，
所以周期为π.
法二：(公式法)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))中ω＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)作图如下：
观察图象可知周期为π.
求三角函数周期的方法
(1)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq \f(2π,|ω|).
(2)定义法：即利用周期函数的定义求解．
(3)图象法：即通过观察函数图象求其周期．
提醒：y＝|Asin(ωx＋φ)|(A≠0，ω≠0)的最小正周期T＝eq \f(π,|ω|).
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．求下列函数的最小正周期：
(1)y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))；(2)y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))))).
[解] (1)∵sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2π,3)))＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))＋2π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3))).
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋eq \f(2π,3)，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))，x∈R的值才能重复出现，∴函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,3)))，x∈R的周期是eq \f(2π,3).
(2)∵函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的最小正周期为π，而函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))))的图象是将函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝eq \f(π,2).
类型2 三角函数奇偶性的判断
【例2】 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,2)))；
(2)f(x)＝eq \r(1－2cs x)＋eq \r(2cs x－1)；
(3)f(x)＝eq \f(1＋sin x－cs2x,1＋sin x).
[解] (1)显然x∈R，f(x)＝cseq \f(1,2)x，
∵f(－x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x))＝cseq \f(1,2)x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2cs x≥0，,2cs x－1≥0，))得cs x＝eq \f(1,2)，
∴f(0)＝0，x＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R且x≠2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z.
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数．
1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；
二看f(x)与f(－x)的关系．
2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．(多选)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下说法，正确的是( )
A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数
B．存在φ，使f(x)是奇函数
C．对任意的φ，f(x)都不是偶函数
D．不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数
BD [当φ＝π时，f(x)＝sin(x＋π)＝－sin x，是奇函数．
当φ＝eq \f(π,2)时，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，是偶函数．
所以A、C错误，B正确．
无论φ为何值，f(x)不可能恒为0，故不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数，故D正确．]
类型3 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
【例3】 (1)下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )
A．y＝cs|2x| B．y＝|sin 2x|
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))等于( )
A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2)
C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2)
(1)D (2)D [(1)y＝cs|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝cs 2x是偶函数，y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－2x))＝－sin 2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.
(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))
＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－π))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).]
若本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“eq \f(11π,12)”，其他条件不变，结果如何？
[解] f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－\f(11π,12)×2))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))
＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－sineq \f(π,6)＝－eq \f(1,2).
与三角函数奇偶性有关的结论
(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；
(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(3)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；
(4)要使y＝Acs(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．(1)奇函数f(x)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝f(x)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))时f(x)＝eq \r(3)cs x，则
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))的值为________．
(2)函数y＝f(x)是R上的周期为3的偶函数，且f(－1)＝3，则f(2 020)＝________.
(1)－eq \f(3,2) (2)3 [(1)由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝f(x)可知T＝eq \f(π,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,6)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3π＋\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6))).
又f(x)为奇函数，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))时f(x)＝eq \r(3)cs x，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(3,2).
(2)∵f(x)为周期是3的偶函数，
∴f(2 020)＝f(3×673＋1)＝f(1)＝f(－1)＝3.]
1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)＋\f(π,4)))的最小正周期为( )
A．π B．2π
C．4π D.eq \f(π,2)
C [T＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(2π,－\f(1,2))))＝4π.]
2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
A [f(x)＝sin(－x)＝－sin x，∴f(－x)＝sin x．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．]
3．如图所示的是定义在R上的四个函数的图象，其中不是周期函数的图象的是( )
A B
C D
D [观察图象易知，只有D选项中的图象不是周期函数的图象．]
4．已知a∈R，函数f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a等于________．
0 [因为f(x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f(0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0.]
5．若函数y＝f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数且f(1)＝3，则f(5)＝________.
－3 [由已知得f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(5)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－3.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．学习周期函数需要注意哪些问题？
[提示] (1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
(3)函数的周期性是函数在定义域上的整体性质．若一个函数为周期函数，则只需研究它在一个周期范围内的性质，就可以知道它的整体性质．
2．你能写出计算f(x)＝Asin(ωx＋φ)与g(x)＝Acs(ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？
[提示] 正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cs x的最小正周期T＝2π.
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)与g(x)＝Acs(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期都为T＝eq \f(2π,|ω|).
3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？
[提示] 因为sin(－x)＝－sin x，cs(－x)＝cs x，
所以正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．
正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解周期函数、周期、最小正周期的定义．
2．会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acs(ωx＋φ)的周期．(重点)
3．掌握函数y＝sin x，y＝cs x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(重点、易混点)
1．通过周期性的研究，培养逻辑推理素养．
2．借助奇偶性及图象的关系，提升直观想象素养.
函数
y＝sin x
y＝cs x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数