人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.1 任意角和弧度制导学案

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如图所示，当摩天轮在持续不断地转动时．
(1)摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
(2)如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？
从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？
知识点1 任意角
(1)角的旋转定义
(2)角的推广与分类——正角、负角和零角
1.终边和始边重合的角一定是零角吗？
[提示] 不一定，还有可能是±360°，±720°，…
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)大于90°的角都是钝角．( )
(2)零角的终边与始边重合．( )
(3)从13：00到13：10，分针转过的角度为60°.( )
(4)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________.
图(1) 图(2)
[答案] 390° －150° 60°
知识点2 角的加法与减法
设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．
(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.
(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．
3.如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________.
图(1) 图(2)
[答案] 110° －70°
知识点3 象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．
2.“锐角”“第一象限角”“小于90°的角”三者有何不同？
[提示] 锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
4.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)－30°是第四象限角．( )
(2)第二象限角是钝角．( )
(3)225°是第三象限角．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
知识点4 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
3.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
[提示] 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．
5.与610°角终边相同的角可以表示为(其中k∈Z)( )
A．k·360°＋230° B．k·360°＋250°
C．k·360°＋70°D．k·180°＋270°
B [∵610°＝360°＋250°，故选B.]
类型1 任意角的概念
【例1】 (1)下列结论：
①始边相同而终边不同的角一定不相等；
②小于90°的角是第一象限角；
③钝角比第三象限角小；
④角α与－α的终边关于x轴对称．
其中正确的结论为________(填序号)．
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________.
(1)①④ (2)－40° [(1)①正确；②错误；如α＝－30°是第四象限角；③错误，如α＝－110°；④正确．
(2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°.]
理解角的概念的关键与技巧
(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．
(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．
提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．(1)射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置，则∠AOC＝( )
A．150° B．－150°
C．390° D．－390°
(2)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A．120°B．－120°
C．－60°D．60°
(1)B (2)B [(1)各角和的旋转量等于各角旋转量的和，所以120°＋(－270°)＝－150°，故选B.
(2)由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－eq \f(4,12)×360°＝－120°.]
类型2 终边相同的角的表示及应用
【例2】 (1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来；
(2)写出终边落在直线y＝－x上的角β的集合S，S中适合不等式－360°